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3.如图,某电信公司提供了A,B两种方案的移动通信费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系,则以下说法错误的是 (
A.若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元
B.若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元
C.若通信费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多
D.若两种方案通信费用相差10元,则通话时间是145分或185分
D
)A.若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元
B.若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元
C.若通信费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多
D.若两种方案通信费用相差10元,则通话时间是145分或185分
答案
D
解析
【分析】
本题是一次函数在方案选择中的实际应用，解题思路如下：1. 先根据图像给出的点，分别求出A、B两种方案通信费用y关于通话时间x的分段函数解析式；2. 按照x的不同取值区间，对四个选项逐一验证计算，判断说法是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
首先根据图像求两个方案的函数解析式：
1. 求A方案解析式：
当$0≤ x≤120$时，$y_A=30$；
当$x≥120$时，设$y_A=kx+b$，将$(120,30)$、$(170,50)$代入得：
$\begin{cases}120k+b=30\\170k+b=50\end{cases}$，解得$k=0.4，b=-18$，即$y_A=0.4x-18$。
2. 求B方案解析式：
当$0≤ x≤200$时，$y_B=50$；
当$x≥200$时，设$y_B=mx+n$，将$(200,50)$、$(250,70)$代入得：
$\begin{cases}200m+n=50\\250m+n=70\end{cases}$，解得$m=0.4，n=-30$，即$y_B=0.4x-30$。
逐一验证选项：
选项A：当$x＜120$时，$y_A=30$，$y_B=50$，$50-30=20$元，A方案比B方案便宜20元，说法正确。
选项B：当$x＞200$时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-(0.4x-30)=12$元，即B方案比A方案便宜12元，说法正确。
选项C：当$y=60$时，对A方案：$0.4x-18=60$，解得$x=195$分；对B方案：$0.4x-30=60$，解得$x=225$分，$225＞195$，B方案通话时间更长，说法正确。
选项D：费用相差10元分情况讨论：
①$0≤ x≤120$时，$y_B-y_A=20$，不符合相差10元；
②$120＜x≤200$时，$y_B=50$，若$y_B-y_A=10$，则$50-(0.4x-18)=10$，解得$x=145$；若$y_A-y_B=10$，则$(0.4x-18)-50=10$，解得$x=195$；
③$x＞200$时，$y_A-y_B=12$，不可能相差10元。
因此相差10元时通话时间是145分或195分，不是185分，说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合通信资费的生活场景，考查分段函数的求解与分类讨论思想，解题时需注意不同自变量区间对应的函数关系不同，讨论差值问题时不要漏解。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数在方案选择中的实际应用，解题思路如下：1. 先根据图像给出的点，分别求出A、B两种方案通信费用y关于通话时间x的分段函数解析式；2. 按照x的不同取值区间，对四个选项逐一验证计算，判断说法是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
首先根据图像求两个方案的函数解析式：
1. 求A方案解析式：
当$0≤ x≤120$时，$y_A=30$；
当$x≥120$时，设$y_A=kx+b$，将$(120,30)$、$(170,50)$代入得：
$\begin{cases}120k+b=30\\170k+b=50\end{cases}$，解得$k=0.4，b=-18$，即$y_A=0.4x-18$。
2. 求B方案解析式：
当$0≤ x≤200$时，$y_B=50$；
当$x≥200$时，设$y_B=mx+n$，将$(200,50)$、$(250,70)$代入得：
$\begin{cases}200m+n=50\\250m+n=70\end{cases}$，解得$m=0.4，n=-30$，即$y_B=0.4x-30$。
逐一验证选项：
选项A：当$x＜120$时，$y_A=30$，$y_B=50$，$50-30=20$元，A方案比B方案便宜20元，说法正确。
选项B：当$x＞200$时，$y_A-y_B=(0.4x-18)-(0.4x-30)=12$元，即B方案比A方案便宜12元，说法正确。
选项C：当$y=60$时，对A方案：$0.4x-18=60$，解得$x=195$分；对B方案：$0.4x-30=60$，解得$x=225$分，$225＞195$，B方案通话时间更长，说法正确。
选项D：费用相差10元分情况讨论：
①$0≤ x≤120$时，$y_B-y_A=20$，不符合相差10元；
②$120＜x≤200$时，$y_B=50$，若$y_B-y_A=10$，则$50-(0.4x-18)=10$，解得$x=145$；若$y_A-y_B=10$，则$(0.4x-18)-50=10$，解得$x=195$；
③$x＞200$时，$y_A-y_B=12$，不可能相差10元。
因此相差10元时通话时间是145分或195分，不是185分，说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；方案选择
【点评】
本题结合通信资费的生活场景，考查分段函数的求解与分类讨论思想，解题时需注意不同自变量区间对应的函数关系不同，讨论差值问题时不要漏解。
【难度系数】
0.6
4.一次招聘会上，A，B两公司都在招聘销售人员.A公司给出的工资待遇是：每月5000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司给出的工资待遇是：每月3000元基本工资，另加销售额的4%作为奖金.如果你去应聘，那么你将选择哪家公司从而使得自己的待遇较佳？
答案
设销售额为x元,则当$0≤ x＜100000$时,选A公司;当$x=100000$时,两者皆可;当$x＞100000$时,选B公司
解析
【分析】
这是典型的方案择优问题，解题核心是先将两家公司的月工资用含销售额的代数式表示，再通过比较两个代数式的大小分情况讨论：首先设每月销售额为x元，分别写出A、B两公司的月工资表达式，再分别令A公司工资大于、等于、小于B公司工资，解对应的不等式或方程，就能得到不同销售额下的最优选择，同时要注意销售额x的实际取值为非负数。
【解析】
设每月的销售额为x元（x≥0），则：
A公司的月工资为：$y_A = 5000 + 2\%x$
B公司的月工资为：$y_B = 3000 + 4\%x$
① 若A公司待遇更佳，即$y_A ＞ y_B$：
$5000 + 0.02x ＞ 3000 + 0.04x$
移项得：$5000 - 3000 ＞ 0.04x - 0.02x$
合并同类项得：$2000 ＞ 0.02x$
系数化为1得：$x ＜ 100000$
结合x≥0，即当$0≤x＜100000$时，选A公司；
② 若两家公司待遇相同，即$y_A = y_B$：
$5000 + 0.02x = 3000 + 0.04x$
解得：$x = 100000$
即当x=100000时，两家公司待遇一致，两者皆可；
③ 若B公司待遇更佳，即$y_A ＜ y_B$：
$5000 + 0.02x ＜ 3000 + 0.04x$
解得：$x ＞ 100000$
即当x＞100000时，选B公司。
【答案】
设销售额为x元,则当$0≤ x＜100000$时,选A公司;当$x=100000$时,两者皆可;当$x＞100000$时,选B公司
【知识点】
一元一次不等式应用，最优方案选择，列代数式
【点评】
本题贴近生活实际，解题关键是用代数式准确表示两种方案的收益，再通过比较大小分情况讨论，解题时要注意结合变量的实际意义确定取值范围，核心考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
这是典型的方案择优问题，解题核心是先将两家公司的月工资用含销售额的代数式表示，再通过比较两个代数式的大小分情况讨论：首先设每月销售额为x元，分别写出A、B两公司的月工资表达式，再分别令A公司工资大于、等于、小于B公司工资，解对应的不等式或方程，就能得到不同销售额下的最优选择，同时要注意销售额x的实际取值为非负数。
【解析】
设每月的销售额为x元（x≥0），则：
A公司的月工资为：$y_A = 5000 + 2\%x$
B公司的月工资为：$y_B = 3000 + 4\%x$
① 若A公司待遇更佳，即$y_A ＞ y_B$：
$5000 + 0.02x ＞ 3000 + 0.04x$
移项得：$5000 - 3000 ＞ 0.04x - 0.02x$
合并同类项得：$2000 ＞ 0.02x$
系数化为1得：$x ＜ 100000$
结合x≥0，即当$0≤x＜100000$时，选A公司；
② 若两家公司待遇相同，即$y_A = y_B$：
$5000 + 0.02x = 3000 + 0.04x$
解得：$x = 100000$
即当x=100000时，两家公司待遇一致，两者皆可；
③ 若B公司待遇更佳，即$y_A ＜ y_B$：
$5000 + 0.02x ＜ 3000 + 0.04x$
解得：$x ＞ 100000$
即当x＞100000时，选B公司。
【答案】
设销售额为x元,则当$0≤ x＜100000$时,选A公司;当$x=100000$时,两者皆可;当$x＞100000$时,选B公司
【知识点】
一元一次不等式应用，最优方案选择，列代数式
【点评】
本题贴近生活实际，解题关键是用代数式准确表示两种方案的收益，再通过比较大小分情况讨论，解题时要注意结合变量的实际意义确定取值范围，核心考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7
5. 甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元。现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠。某班级需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）。
(1)设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为$y_甲$(元)，在乙店购买的付款数为$y_乙$(元)，分别写出在两家商店购买的付款数和乒乓球盒数x之间的函数关系式。
(2)就乒乓球盒数讨论，通过不等式(方程)比较去哪家商店买合算。
(3)分别在同一坐标系内画出两函数的图象，并通过图象分析比较去哪家商店买合算。
(1)设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为$y_甲$(元)，在乙店购买的付款数为$y_乙$(元)，分别写出在两家商店购买的付款数和乒乓球盒数x之间的函数关系式。
(2)就乒乓球盒数讨论，通过不等式(方程)比较去哪家商店买合算。
(3)分别在同一坐标系内画出两函数的图象，并通过图象分析比较去哪家商店买合算。
答案
(1)$y_甲=60+5x(x≥4)$ $y_乙=72+4.5x$
(2)当购买乒乓球盒数为24盒时,两店一样;当购买乒乓球盒数小于24盒时,去甲店合算;当购买乒乓球盒数大于24盒时,则去乙店购买合算
(3)作图略
(2)当购买乒乓球盒数为24盒时,两店一样;当购买乒乓球盒数小于24盒时,去甲店合算;当购买乒乓球盒数大于24盒时,则去乙店购买合算
(3)作图略
解析
【分析】
(1) 梳理两家商店的优惠规则推导函数式：甲店买4副球拍赠送4盒乒乓球，付款由4副球拍的固定费用+超出赠送数量的乒乓球费用组成；乙店全部商品按定价9折收费，付款为商品总定价乘0.9，代入对应数值化简即可得到两个函数关系式。
(2) 哪家商店合算本质是比较两个付款函数的大小，分y甲=y乙、y甲＜y乙、y甲＞y乙三种情况，分别解方程或不等式，即可得到对应乒乓球盒数的取值范围。
(3) 两个函数均为一次函数，图像是直线，画出图像后交点对应两店费用相同的情况，直线位置更低的对应付款更少，即可直观得到合算的方案。
【解析】
(1) 推导甲店付款函数：
购买4副球拍费用为$4×20=80$元，赠送4盒乒乓球，因此需要额外付费的乒乓球为$(x-4)$盒，费用为$5(x-4)$元，
则$y_甲=80+5(x-4)=60+5x$，其中$x≥4$。
推导乙店付款函数：
4副球拍和$x$盒乒乓球的总定价为$4×20+5x=80+5x$元，打9折后，
$y_乙=(80+5x)×0.9=72+4.5x$，其中$x≥4$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当两店付款相同时：$y_甲=y_乙$
即$60+5x=72+4.5x$
解得$x=24$，即购买24盒乒乓球时两店费用相同。
② 当甲店更合算时：$y_甲＜y_乙$
即$60+5x＜72+4.5x$
解得$x＜24$，结合$x≥4$，即购买乒乓球盒数不少于4盒且小于24盒时，甲店更合算。
③ 当乙店更合算时：$y_甲＞y_乙$
即$60+5x＞72+4.5x$
解得$x＞24$，即购买乒乓球盒数大于24盒时，乙店更合算。
(3) 以x为横轴，y为纵轴建立平面直角坐标系：$y_甲=60+5x$是斜率为5、截距为60的射线（x≥4），$y_乙=72+4.5x$是斜率为4.5、截距为72的射线（x≥4），两射线交点为(24,180)。观察图像可得：当$4≤ x＜24$时$y_甲$图像在下方，甲店合算；当$x=24$时两图像相交，费用相同；当$x＞24$时$y_乙$图像在下方，乙店合算。作图略。
【答案】
(1)$y_甲=60+5x(x≥4)$ $y_乙=72+4.5x$
(2)当购买乒乓球盒数为24盒时,两店一样;当购买乒乓球盒数小于24盒时,去甲店合算;当购买乒乓球盒数大于24盒时,则去乙店购买合算
(3)作图略
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查方案选择问题，需要学生掌握将实际问题转化为函数、不等式模型的方法，渗透了分类讨论和数形结合的数学思想，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 梳理两家商店的优惠规则推导函数式：甲店买4副球拍赠送4盒乒乓球，付款由4副球拍的固定费用+超出赠送数量的乒乓球费用组成；乙店全部商品按定价9折收费，付款为商品总定价乘0.9，代入对应数值化简即可得到两个函数关系式。
(2) 哪家商店合算本质是比较两个付款函数的大小，分y甲=y乙、y甲＜y乙、y甲＞y乙三种情况，分别解方程或不等式，即可得到对应乒乓球盒数的取值范围。
(3) 两个函数均为一次函数，图像是直线，画出图像后交点对应两店费用相同的情况，直线位置更低的对应付款更少，即可直观得到合算的方案。
【解析】
(1) 推导甲店付款函数：
购买4副球拍费用为$4×20=80$元，赠送4盒乒乓球，因此需要额外付费的乒乓球为$(x-4)$盒，费用为$5(x-4)$元，
则$y_甲=80+5(x-4)=60+5x$，其中$x≥4$。
推导乙店付款函数：
4副球拍和$x$盒乒乓球的总定价为$4×20+5x=80+5x$元，打9折后，
$y_乙=(80+5x)×0.9=72+4.5x$，其中$x≥4$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当两店付款相同时：$y_甲=y_乙$
即$60+5x=72+4.5x$
解得$x=24$，即购买24盒乒乓球时两店费用相同。
② 当甲店更合算时：$y_甲＜y_乙$
即$60+5x＜72+4.5x$
解得$x＜24$，结合$x≥4$，即购买乒乓球盒数不少于4盒且小于24盒时，甲店更合算。
③ 当乙店更合算时：$y_甲＞y_乙$
即$60+5x＞72+4.5x$
解得$x＞24$，即购买乒乓球盒数大于24盒时，乙店更合算。
(3) 以x为横轴，y为纵轴建立平面直角坐标系：$y_甲=60+5x$是斜率为5、截距为60的射线（x≥4），$y_乙=72+4.5x$是斜率为4.5、截距为72的射线（x≥4），两射线交点为(24,180)。观察图像可得：当$4≤ x＜24$时$y_甲$图像在下方，甲店合算；当$x=24$时两图像相交，费用相同；当$x＞24$时$y_乙$图像在下方，乙店合算。作图略。
【答案】
(1)$y_甲=60+5x(x≥4)$ $y_乙=72+4.5x$
(2)当购买乒乓球盒数为24盒时,两店一样;当购买乒乓球盒数小于24盒时,去甲店合算;当购买乒乓球盒数大于24盒时,则去乙店购买合算
(3)作图略
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查方案选择问题，需要学生掌握将实际问题转化为函数、不等式模型的方法，渗透了分类讨论和数形结合的数学思想，实用性较强。
【难度系数】
0.7
