1. (1)点$M,N,P$在同一条直线上,已知$MN=7\ \mathrm{cm}$,$NP=3\ \mathrm{cm}$,则线段$MP$的长是。
(2)已知从点$O$出发的三条射线$OA,OB,OC$,若$∠ AOB=42°$,$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ AOB$,则$∠ AOC$的度数为。
(3)已知直线$l$上有两条线段$AB,AC$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$M,N$分别是$AB,AC$的中点,则$MN=$。
(4)已知$∠ AOB=30°$,$OD$平分$∠ AOB$,$∠ BOC=50°$,则$∠ DOC=$。

解：
(1) 分两种情况：
当点P在MN的延长线上时，$MP = MN + NP = 7 + 3 = 10\ \mathrm{cm}$；
当点P在线段MN上时，$MP = MN - NP = 7 - 3 = 4\ \mathrm{cm}$。
故线段MP的长是$10\ \mathrm{cm}$或$4\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算得$∠ BOC = \frac{1}{3}∠ AOB = \frac{1}{3} × 42° = 14°$，分两种情况：
当射线OC在$∠ AOB$内部时，$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 42° - 14° = 28°$；
当射线OC在$∠ AOB$外部时，$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 42° + 14° = 56°$。
故$∠ AOC$的度数为$28°$或$56°$。
(3) 由线段中点定义得：$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$，$AN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，分两种情况：
当点C在线段AB上时，$MN = AM - AN = 5 - 3 = 2\ \mathrm{cm}$；
当点C在线段BA的延长线上时，$MN = AM + AN = 5 + 3 = 8\ \mathrm{cm}$。
故$MN = 2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$。
(4) 由角平分线定义得：$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 30° = 15°$，分两种情况：
当射线OC与射线OA在OB的异侧时，$∠ DOC = ∠ BOD + ∠ BOC = 15° + 50° = 65°$；
当射线OC与射线OA在OB的同侧时，$∠ DOC = ∠ BOC - ∠ BOD = 50° - 15° = 35°$。
故$∠ DOC = 35°$或$65°$。

2. 如图12,已知点C在线段AB上,且$AC=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},M,N$分别是$AC,BC$的中点,易得线段$MN$的长度为$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
(1)若$C$是线段$AB$上任意一点,且$AC=a,BC=b,M,N$分别是$AC,BC$的中点,请直接写出线段$MN$的长度(用含$a,b$的代数式表示),并写出线段$MN$与线段$AB$的长度的关系。
(2)在(1)中,若把“$C$是线段$AB$上任意一点”改为“$C$是直线$AB$上任意一点”,其他条件不变,则线段$MN$与线段$AB$的长度的数量关系会变化吗?若有变化,请求出结果。

解：
(1)
∵ M是AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$，
∵ N是BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$，
∴ $MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$，
又∵ $AB=AC+BC=a+b$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AB$。
(2)
数量关系不会变化，分三种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，由(1)可得$MN=\frac{1}{2}AB$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，
∵ M是AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$，
∵ N是BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$，
∴ $MN=MC-CN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$，
又∵ $AB=AC-BC=a-b$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AB$；
③ 当点C在线段BA的延长线上时，
∵ M是AC的中点，
∴ $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$，
∵ N是BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{b}{2}$，
∴ $MN=CN-CM=\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}a=\frac{b-a}{2}$，
又∵ $AB=BC-AC=b-a$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AB$。
综上，当C是直线AB上任意一点时，线段MN与线段AB的数量关系不会变化，始终满足$MN=\frac{1}{2}AB$。