3. 如图13①,已知O是直线AB上一点,$∠ COD$是直角,OE平分$∠ AOD$。
(1)如图13①,若$∠ COE=25°$,求$∠ DOB$的度数。
(2)如图13①,若$∠ COE=α$,求$∠ DOB$的度数(用含$α$的代数式表示)。
(3)将图13①中的$∠ COD$绕顶点O逆时针旋转至图13②所示的位置,其他条件不变,那么(2)中所求出的结论是否还成立?请说明理由。

解：
(1) 因为∠COD是直角，所以∠COD=90°。
因为∠COE=25°，所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - 25°=65°。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2×65°=130°。
又因为O是直线AB上一点，∠AOB=180°，
所以∠DOB=180° - ∠AOD=180° - 130°=50°。
(2) 因为∠COD=90°，∠COE=α，
所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - α。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2(90° - α)=180° - 2α。
所以∠DOB=180° - ∠AOD=180° - (180° - 2α)=2α。
(3) (2)中的结论仍然成立，即∠DOB=2α，理由如下：
因为∠COD是直角，所以∠COD=90°，
所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - α。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2(90° - α)=180° - 2α。
又因为∠AOB=180°，
所以∠DOB=180° - ∠AOD=180° - (180° - 2α)=2α。

1.若从一多边形的一个顶点出发,最多可引10条对角线,则它是（）

A.十三边形
B.十二边形
C.十一边形
D.十边形

A

从n边形的一个顶点出发，最多可引出(n-3)条对角线，该顶点不能向自身以及相邻的2个顶点引对角线。设这个多边形的边数为n，根据题意列方程：n-3=10，解得n=13，即该多边形为十三边形。

2. (2024·山西)图14①是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图14②是其几何示意图(阴影部分为花窗)。通过测量得到扇形$AOB$的圆心角为$90°$, $OA=1\ \mathrm{m}$,$C,D$分别为$OA,OB$的中点,则花窗的面积为 $\mathrm{m}^2$.

$\boldsymbol{\frac{2π -1}{8}}$

解：
已知$∠ AOB=90°$，$OA=1\ \mathrm{m}$，
扇形$AOB$的面积为：$\frac{90π × 1^2}{360} = \frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$。
因为$C$，$D$分别为$OA$，$OB$的中点，
所以$OC = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，$OD = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，
又$∠ AOB=90°$，$△ OCD$是直角三角形，
其面积为：$\frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
花窗的面积 = 扇形$AOB$的面积 $-$ $△ OCD$的面积 = $\frac{π}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2π -1}{8}\ \mathrm{m}^2$。
最终

3. 一个多边形对角线的条数是边数的2倍,这个多边形的边数是。

$\boldsymbol{7}$

解：设这个多边形的边数为$n$（$n≥3$，且$n$为整数）。
根据多边形对角线条数公式，该多边形对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
由题意列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=2n$
因为$n≠0$，方程两边同时除以$n$，得：
$\frac{n-3}{2}=2$
解得$n=7$。

4. 如图15,墙OA,OB(墙足够长)的夹角∠AOB=120°,一根9 m长的绳子一端固定在墙角O处,另一端固定着一只小狗,求小狗可活动的区域的面积。(结果保留π)

解：由题意可知，小狗可活动的区域是圆心角为$120°$，半径为9m的扇形。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，将$n=120$，$r=9$代入得：
$S=\frac{120×π×9^2}{360}=27π\ (\mathrm{m}^2)$
答：小狗可活动的区域的面积为$27π$平方米。