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1. 有下列说法:①若 C 是 AB 的中点,则 $ AC=BC $;②若 $ AC=BC $,则 C 是 AB 的中点;③若 OC 是 $ ∠ AOB $ 的平分线,则 $ ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB $;④若 $ ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB $,则 OC 是 $ ∠ AOB $ 的平分线。其中正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐一判断四个说法：
1. 根据线段中点的定义，若C是AB的中点，则AC=BC，①正确；
2. 若AC=BC，点C不一定在线段AB上，此时C不是AB的中点，②错误；
3. 根据角平分线的定义，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=1/2∠AOB，③正确；
4. 若∠AOC=1/2∠AOB，OC不一定在∠AOB的内部，此时OC不是∠AOB的平分线，④错误。
综上正确的说法共2个。
1. 根据线段中点的定义，若C是AB的中点，则AC=BC，①正确；
2. 若AC=BC，点C不一定在线段AB上，此时C不是AB的中点，②错误；
3. 根据角平分线的定义，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=1/2∠AOB，③正确；
4. 若∠AOC=1/2∠AOB，OC不一定在∠AOB的内部，此时OC不是∠AOB的平分线，④错误。
综上正确的说法共2个。
2. 在直线$ l $上顺次取$ A,B,C $三点，使得$ AB=4 \ \mathrm{cm} $，$ BC=3 \ \mathrm{cm} $，如果$ O $是线段$ AC $的中点，那么线段$ OB $的长度为 $\mathrm{cm}$。
答案
$\boldsymbol{0.5}$
解析
解：
由题意得，$AC = AB + BC = 4 + 3 = 7\ \mathrm{cm}$。
因为$O$是线段$AC$的中点，
所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 7 = 3.5\ \mathrm{cm}$。
因此$OB = AB - AO = 4 - 3.5 = 0.5\ \mathrm{cm}$。
由题意得，$AC = AB + BC = 4 + 3 = 7\ \mathrm{cm}$。
因为$O$是线段$AC$的中点，
所以$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 7 = 3.5\ \mathrm{cm}$。
因此$OB = AB - AO = 4 - 3.5 = 0.5\ \mathrm{cm}$。
3. 如图8,已知AB=26 cm,CD=12 cm,E,F分别为AC,BD的中点,则EF的长为 cm。
答案
19
解析
解：
因为AB = 26 cm，CD = 12 cm，
所以AC + BD = AB - CD = 26 - 12 = 14 cm。
因为E是AC的中点，F是BD的中点，
所以EC = $\frac{1}{2}$AC，DF = $\frac{1}{2}$BD，
所以EC + DF = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$ × 14 = 7 cm。
所以EF = EC + CD + DF = 7 + 12 = 19 cm。
因为AB = 26 cm，CD = 12 cm，
所以AC + BD = AB - CD = 26 - 12 = 14 cm。
因为E是AC的中点，F是BD的中点，
所以EC = $\frac{1}{2}$AC，DF = $\frac{1}{2}$BD，
所以EC + DF = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$ × 14 = 7 cm。
所以EF = EC + CD + DF = 7 + 12 = 19 cm。
4. (2024·南京)如图9,点A,O,B在同一条直线上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线。若∠AOE=162°,则∠BOD=°。
答案
$\boldsymbol{108}$
解析
解：
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB = 180°。
∵ ∠AOE = 162°，
∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 162° = 18°。
∵ OE是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOC = 2∠BOE = 2×18° = 36°。
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 36° = 144°。
∵ OD是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×144° = 72°。
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 72° = 108°。
最终
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB = 180°。
∵ ∠AOE = 162°，
∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 162° = 18°。
∵ OE是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOC = 2∠BOE = 2×18° = 36°。
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 36° = 144°。
∵ OD是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×144° = 72°。
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 72° = 108°。
最终
5. 如图10所示，线段$AB=16\ \mathrm{cm}$，$E$为线段$AB$的中点，$C$为线段$EB$上一点，且$EC=3\ \mathrm{cm}$，$D$为线段$AC$的中点，求线段$DE$的长度。
答案
解：
∵ E为线段AB的中点，AB=16 cm，
∴ AE = EB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$ cm。
∵ EC=3 cm，
∴ AC = AE + EC = 8 + 3 = 11 cm。
∵ D为线段AC的中点，
∴ DC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2} × 11 = 5.5$ cm。
∴ DE = DC - EC = 5.5 - 3 = 2.5 cm。
答：线段DE的长度为2.5 cm。
∵ E为线段AB的中点，AB=16 cm，
∴ AE = EB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2} × 16 = 8$ cm。
∵ EC=3 cm，
∴ AC = AE + EC = 8 + 3 = 11 cm。
∵ D为线段AC的中点，
∴ DC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2} × 11 = 5.5$ cm。
∴ DE = DC - EC = 5.5 - 3 = 2.5 cm。
答：线段DE的长度为2.5 cm。
6. 如图11所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠AOC=30°，∠BOE=2∠DOE，求∠BOE的度数。
答案
解：
∵ OC是∠AOD的平分线，∠AOC=30°
∴ ∠AOD = 2∠AOC = 2×30° = 60°
∵ AB为一条直线，∠AOB=180°
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 60° = 120°
∵ ∠BOE = 2∠DOE，且∠BOE + ∠DOE = ∠BOD
∴ 2∠DOE + ∠DOE = 120°
即 3∠DOE = 120°
∴ ∠DOE = 40°
∴ ∠BOE = 2∠DOE = 2×40° = 80°
∵ OC是∠AOD的平分线，∠AOC=30°
∴ ∠AOD = 2∠AOC = 2×30° = 60°
∵ AB为一条直线，∠AOB=180°
∴ ∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 60° = 120°
∵ ∠BOE = 2∠DOE，且∠BOE + ∠DOE = ∠BOD
∴ 2∠DOE + ∠DOE = 120°
即 3∠DOE = 120°
∴ ∠DOE = 40°
∴ ∠BOE = 2∠DOE = 2×40° = 80°
