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9. 在$△ ABC$中，已知$AB=8$，$AC=15$，$BC=17$，则$△ ABC$的面积为 【 】
A.136
B.68
C.120
D.60
A.136
B.68
C.120
D.60
答案
D
解析
【分析】
遇到已知三角形三边长度求面积的问题，首先可观察三边的数值特征，优先验证是否符合勾股定理的逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，说明该三角形是直角三角形，两条短边就是直角边，后续直接用直角三角形面积公式计算即可。本题中我们先计算8、15的平方和，再和17的平方对比，验证是否为直角三角形后再求面积。
【解析】
先验证三边的平方关系：
∵ $AB^2 + AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，
$BC^2 = 17^2 = 289$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A = 90°$，
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形的形状，再代入对应公式求解，计算量小，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
遇到已知三角形三边长度求面积的问题，首先可观察三边的数值特征，优先验证是否符合勾股定理的逆定理：若两条较短边的平方和等于最长边的平方，说明该三角形是直角三角形，两条短边就是直角边，后续直接用直角三角形面积公式计算即可。本题中我们先计算8、15的平方和，再和17的平方对比，验证是否为直角三角形后再求面积。
【解析】
先验证三边的平方关系：
∵ $AB^2 + AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，
$BC^2 = 17^2 = 289$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A = 90°$，
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 8 × 15 = 60$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形的形状，再代入对应公式求解，计算量小，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
10. 对于题目“已知3、4、m是一组勾股数，求m的值”，甲的结果是$m=5$，乙的结果是$m=5$或$\sqrt{7}$，丙的结果是$m$的值不确定，则
【 】
A.甲对
B.乙对
C.丙对
D.甲、乙、丙都不对
【 】
A.甲对
B.乙对
C.丙对
D.甲、乙、丙都不对
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确勾股数的核心定义：满足勾股定理的三个正整数才叫勾股数，两个条件缺一不可。接下来分两种情况讨论m的取值：①当m为斜边长时，根据勾股定理计算m的值，判断是否为正整数；②当4为斜边长时，同理计算m的值，判断是否符合勾股数的要求，最后舍去不符合条件的结果，即可判断三人答案的对错。
【解析】
首先，勾股数的定义为：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，需同时满足：①三个数都是正整数；②满足两数的平方和等于第三数的平方。
分两种情况计算：
1. 当m为斜边长时，由勾股定理得：
$m^2=3^2+4^2=9+16=25$
解得$m=5$（m为边长，取正值），5是正整数，符合勾股数要求。
2. 当4为斜边长时，由勾股定理得：
$m^2=4^2-3^2=16-9=7$
解得$m=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，故舍去。
综上，m的值只能是5，甲的结果正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略勾股数必须是正整数的前提条件，仅根据勾股定理计算得出m=5或$\sqrt{7}$，错选B。解答此类题时要先牢记概念的限定条件，再结合定理分类计算，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确勾股数的核心定义：满足勾股定理的三个正整数才叫勾股数，两个条件缺一不可。接下来分两种情况讨论m的取值：①当m为斜边长时，根据勾股定理计算m的值，判断是否为正整数；②当4为斜边长时，同理计算m的值，判断是否符合勾股数的要求，最后舍去不符合条件的结果，即可判断三人答案的对错。
【解析】
首先，勾股数的定义为：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，需同时满足：①三个数都是正整数；②满足两数的平方和等于第三数的平方。
分两种情况计算：
1. 当m为斜边长时，由勾股定理得：
$m^2=3^2+4^2=9+16=25$
解得$m=5$（m为边长，取正值），5是正整数，符合勾股数要求。
2. 当4为斜边长时，由勾股定理得：
$m^2=4^2-3^2=16-9=7$
解得$m=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，故舍去。
综上，m的值只能是5，甲的结果正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略勾股数必须是正整数的前提条件，仅根据勾股定理计算得出m=5或$\sqrt{7}$，错选B。解答此类题时要先牢记概念的限定条件，再结合定理分类计算，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
11. 探索勾股数的规律.观察下列各数组:(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，…，请写出第6个数组：
(13，84，85)
。答案
11. (13, 84, 85)
解析
【分析】
遇到数组找规律的问题，我们可以分位置逐一找每个位置上数的变化规律：
1. 先观察每组的第一个数：依次为3、5、7、9，是从3开始的连续奇数，可推导第n组的第一个数为2n+1；
2. 再观察每组的后两个数：发现每组后两个数是相邻的正整数，第三个数比第二个数大1，结合勾股数满足勾股定理的性质，设第二个数为x，第三个数为x+1，代入勾股定理公式可推导出第二个数和第一个数的关系为x=(a²-1)/2（a为每组第一个数），第三个数为x+1=(a²+1)/2；
3. 要求第6个数组，将n=6代入上述规律计算即可。
【解析】
第一步：求第6组的第一个数
由规律可知，第n组第一个数为2n+1，当n=6时，第一个数为$2×6+1=13$；
第二步：求第6组的第二个数
设第二个数为x，第三个数为x+1，根据勾股定理列方程：
$13^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开得：$169 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
消去$x^2$后化简得：$2x = 168$，解得$x=84$；
第三步：求第6组的第三个数
第三个数为$84+1=85$。
【答案】
(13, 84, 85)
【知识点】
勾股数的特征，数字规律探究，勾股定理
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是先按位置拆解数组，分别找各位置数值的变化特征，再结合勾股定理推导数与数之间的关系即可求解。
【难度系数】
0.7
遇到数组找规律的问题，我们可以分位置逐一找每个位置上数的变化规律：
1. 先观察每组的第一个数：依次为3、5、7、9，是从3开始的连续奇数，可推导第n组的第一个数为2n+1；
2. 再观察每组的后两个数：发现每组后两个数是相邻的正整数，第三个数比第二个数大1，结合勾股数满足勾股定理的性质，设第二个数为x，第三个数为x+1，代入勾股定理公式可推导出第二个数和第一个数的关系为x=(a²-1)/2（a为每组第一个数），第三个数为x+1=(a²+1)/2；
3. 要求第6个数组，将n=6代入上述规律计算即可。
【解析】
第一步：求第6组的第一个数
由规律可知，第n组第一个数为2n+1，当n=6时，第一个数为$2×6+1=13$；
第二步：求第6组的第二个数
设第二个数为x，第三个数为x+1，根据勾股定理列方程：
$13^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开得：$169 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
消去$x^2$后化简得：$2x = 168$，解得$x=84$；
第三步：求第6组的第三个数
第三个数为$84+1=85$。
【答案】
(13, 84, 85)
【知识点】
勾股数的特征，数字规律探究，勾股定理
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是先按位置拆解数组，分别找各位置数值的变化特征，再结合勾股定理推导数与数之间的关系即可求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$BC = 13$，点$D$为边$AB$上一点，且满足$CD = 12$，$BD = 5$.
（1）判断$△ BCD$的形状，并说明理由；
（2）求$AC$的长.
（1）判断$△ BCD$的形状，并说明理由；
（2）求$AC$的长.
答案
12. (1) $△BCD$为直角三角形. 理由如下: $\because BC=13, CD=12, BD=5, \therefore BC^2=BD^2 + CD^2. \therefore △BCD$为直角三角形 (2) 设$AB=x. \because △ABC$是等腰三角形,$\therefore AC=AB=x. \because △BCD$为直角三角形,且$∠BDC=90°, \therefore ∠ADC=90°. \therefore AC^2=AD^2 + CD^2$,即$x^2=(x-5)^2 + 12^2$. 解得$x=16.9. \therefore AC=16.9$
解析
【分析】
（1）要判断△BCD的形状，已知三边长度，可根据勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先确定△BCD的最长边为BC=13，计算BD²+CD²是否等于BC²即可得出结论。
（2）已知AB=AC，要求AC的长，可设AC=AB=x，那么AD=AB-BD=x-5。由（1）的结论可知∠BDC=90°，因此∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，再根据勾股定理列关于x的方程，求解即可得到AC的长度。
【解析】
（1）△BCD是直角三角形，理由如下：
已知CD=12，BD=5，BC=13，
计算得：$BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
$BC^2 = 13^2 = 169$，
因此$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCD为直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
（2）设$AC=x$，
∵$AB=AC$，
∴$AB=x$，
∴$AD=AB - BD = x - 5$，
由（1）知$∠ BDC=90°$，
∴$∠ ADC=180° - ∠ BDC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，根据勾股定理可得：$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
代入数值列方程：$x^2 = (x - 5)^2 + 12^2$，
展开右边：$x^2 = x^2 - 10x + 25 + 144$，
化简得：$10x = 169$，
解得：$x = 16.9$，
即$AC=16.9$。
【答案】
(1) $△ BCD$为直角三角形，理由见解析；(2) $AC=16.9$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，先通过勾股定理的逆定理判断直角三角形，再利用得到的直角条件结合勾股定理列方程求解，既考查了定理的直接应用，也渗透了方程思想，是直角三角形判定和性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.75
（1）要判断△BCD的形状，已知三边长度，可根据勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先确定△BCD的最长边为BC=13，计算BD²+CD²是否等于BC²即可得出结论。
（2）已知AB=AC，要求AC的长，可设AC=AB=x，那么AD=AB-BD=x-5。由（1）的结论可知∠BDC=90°，因此∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，再根据勾股定理列关于x的方程，求解即可得到AC的长度。
【解析】
（1）△BCD是直角三角形，理由如下：
已知CD=12，BD=5，BC=13，
计算得：$BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
$BC^2 = 13^2 = 169$，
因此$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCD为直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
（2）设$AC=x$，
∵$AB=AC$，
∴$AB=x$，
∴$AD=AB - BD = x - 5$，
由（1）知$∠ BDC=90°$，
∴$∠ ADC=180° - ∠ BDC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，根据勾股定理可得：$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
代入数值列方程：$x^2 = (x - 5)^2 + 12^2$，
展开右边：$x^2 = x^2 - 10x + 25 + 144$，
化简得：$10x = 169$，
解得：$x = 16.9$，
即$AC=16.9$。
【答案】
(1) $△ BCD$为直角三角形，理由见解析；(2) $AC=16.9$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，先通过勾股定理的逆定理判断直角三角形，再利用得到的直角条件结合勾股定理列方程求解，既考查了定理的直接应用，也渗透了方程思想，是直角三角形判定和性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.75
13. 如图，图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面的简化示意图. 测得支架 $AC = 24\ \mathrm{cm}$，$CB = 18\ \mathrm{cm}$，两轮中心的距离 $AB = 30\ \mathrm{cm}$.
（1）连结 $AB$，则 $△ ABC$是
（2）求点 $C$ 到 $AB$ 的距离.
（1）连结 $AB$，则 $△ ABC$是
直角
三角形，请写出推理过程；（2）求点 $C$ 到 $AB$ 的距离.
答案
13. （1）直角 推理过程如下:在$△ABC$中,$\because AC^2 + BC^2=24^2 + 18^2=30^2=AB^2, \therefore △ABC$为直角三角形,边$AB$所对的角是直角 （2）设点$C$到$AB$的距离是$h$ cm. 由(1)知,$△ABC$为直角三角形,边$AB$所对的角是直角. $\because AC=24\ \mathrm{cm}, CB=18\ \mathrm{cm}, AB=30\ \mathrm{cm}, \therefore AC· CB=AB· h$,即$24× 18=30h$. 解得$h=\frac{72}{5}$,即点$C$到$AB$的距离是$\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）要判断△ABC的形状，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证：先计算较短两边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形。（2）求点C到AB的距离，即求AB边上的高，已知△ABC是直角三角形，可利用等面积法计算：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立等式即可求出高的长度。
【解析】
（1）在△ABC中，已知$AC = 24\ \mathrm{cm}$，$CB = 18\ \mathrm{cm}$，$AB = 30\ \mathrm{cm}$。
计算较短两边的平方和：$AC^2 + BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$，
最长边的平方：$AB^2 = 30^2 = 900$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且AB边所对的∠C为直角。
（2）设点C到AB的距离为$h$ cm。
由（1）可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，代入数值可得：
$24 × 18 = 30h$
解得：$h = \frac{24 × 18}{30} = \frac{72}{5}$
【答案】
（1）直角，推理过程见解析；（2）点C到AB的距离是$\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；等面积法求高；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的购物车场景命题，将几何知识与实际生活结合，考查了勾股定理逆定理的应用和等面积法求线段长度的方法，解题的关键是熟练掌握勾股逆定理的判定条件，灵活运用面积相等关系求解未知线段。
【难度系数】
0.7
（1）要判断△ABC的形状，已知三边长度，可利用勾股定理的逆定理验证：先计算较短两边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形。（2）求点C到AB的距离，即求AB边上的高，已知△ABC是直角三角形，可利用等面积法计算：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立等式即可求出高的长度。
【解析】
（1）在△ABC中，已知$AC = 24\ \mathrm{cm}$，$CB = 18\ \mathrm{cm}$，$AB = 30\ \mathrm{cm}$。
计算较短两边的平方和：$AC^2 + BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$，
最长边的平方：$AB^2 = 30^2 = 900$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且AB边所对的∠C为直角。
（2）设点C到AB的距离为$h$ cm。
由（1）可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · h$
两边同时约去$\frac{1}{2}$，代入数值可得：
$24 × 18 = 30h$
解得：$h = \frac{24 × 18}{30} = \frac{72}{5}$
【答案】
（1）直角，推理过程见解析；（2）点C到AB的距离是$\frac{72}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；等面积法求高；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的购物车场景命题，将几何知识与实际生活结合，考查了勾股定理逆定理的应用和等面积法求线段长度的方法，解题的关键是熟练掌握勾股逆定理的判定条件，灵活运用面积相等关系求解未知线段。
【难度系数】
0.7
