14. 如图,某小区的两个喷泉A、B之间的距离AB的长为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM、BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为120 m, BM的长为150 m.
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试说明∠AMB=90°.

14. (1) 由题意可知, $MN ⊥ AB$. 在$\mathrm{Rt}△MNB$中,$BN=\sqrt{BM^2 - MN^2}=\sqrt{150^2 - 120^2}=90(\mathrm{m}). \therefore AN=AB - BN=250 - 90=160(\mathrm{m}).$ 在$\mathrm{Rt}△AMN$中, $AM=\sqrt{AN^2 + MN^2}=\sqrt{160^2 + 120^2}=200(\mathrm{m}). \therefore$ 供水点$M$到喷泉$A$需要铺设的管道长为$200\ \mathrm{m}$ (2) $\because AB=250\ \mathrm{m}, AM=200\ \mathrm{m}, BM=150\ \mathrm{m}, \therefore AB^2=BM^2 + AM^2. \therefore ∠AMB=90°$

【分析】
（1）要求AM的长度，首先根据“点到直线的距离”可知MN⊥AB，因此△MNB和△AMN均为直角三角形。我们可以先在Rt△MNB中，用勾股定理求出BN的长度，再结合AB的总长度求出AN的长度，最后在Rt△AMN中用勾股定理即可求出AM的长度。
（2）要证明∠AMB=90°，我们已经得到了△AMB三边的长度，只需验证三边满足勾股定理的逆定理，即两条短边的平方和等于最长边的平方，就可以判定△AMB是直角三角形，最长边AB对应的角∠AMB就是直角。
【解析】
(1) 由题意可知$MN ⊥ AB$，即$∠ MNB=∠ MNA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△MNB$中，根据勾股定理：
$BN=\sqrt{BM^2 - MN^2}=\sqrt{150^2 - 120^2}=\sqrt{8100}=90(\mathrm{m})$
$\therefore AN=AB - BN=250 - 90=160(\mathrm{m})$
在$\mathrm{Rt}△AMN$中，根据勾股定理：
$AM=\sqrt{AN^2 + MN^2}=\sqrt{160^2 + 120^2}=\sqrt{40000}=200(\mathrm{m})$
(2) 已知$AB=250\ \mathrm{m}$，$AM=200\ \mathrm{m}$，$BM=150\ \mathrm{m}$，
计算得：$AM^2 + BM^2 = 200^2 +150^2=40000+22500=62500$，
$AB^2=250^2=62500$，
$\therefore AM^2 + BM^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ AMB$为直角三角形，且AB为斜边，
$\therefore ∠AMB=90°$。
【答案】
(1) $\boxed{200\ \mathrm{m}}$；
(2) $∠ AMB=90°$，证明如上。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；垂线的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，熟练运用勾股定理计算边长，用逆定理判定直角，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

15. 如图，在$△ ABC$中，边AB上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且$CB^2 = AE^2 - CE^2$。
（1）求证：$∠ C = 90°$；
（2）若$AC = 8$，$BC = 6$，求CE的长。

15. (1) 连结$BE$. $\because$ 边$AB$上的垂直平分线为$DE, \therefore AE=BE. \because CB^2=AE^2 - CE^2, \therefore CB^2=BE^2 - CE^2. \therefore CB^2 + CE^2=BE^2. \therefore ∠C=90°$ (2) 设$CE=x$,则$AE=BE=8 - x. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$EC^2 + BC^2=BE^2$,即$x^2 + 6^2=(8 - x)^2$. 解得$x=\frac{7}{4}$

【分析】
（1）要证明$∠ C=90°$，可借助勾股定理的逆定理，只要证明$△ BCE$的三边满足$CB^2+CE^2=BE^2$即可。已知$DE$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接$BE$可得$AE=BE$，再结合题目给出的$CB^2=AE^2-CE^2$，将$AE$替换为$BE$，就能得到勾股逆定理所需的三边关系，从而证出$∠ C=90°$。
（2）求$CE$的长，可设$CE$为$x$，结合$AC=8$可表示出$AE=8-x$，由$AE=BE$可得$BE=8-x$，在已经证明的$\mathrm{Rt}△ BCE$中，根据勾股定理列方程求解即可得到$CE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$BE$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE=BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
$\because CB^2 = AE^2 - CE^2$，
$\therefore$将$AE$替换为$BE$得：$CB^2 = BE^2 - CE^2$，
移项得：$CB^2 + CE^2 = BE^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ BCE$是直角三角形，即$∠ C=90°$。
（2）解：设$CE=x$，则$AE = AC - CE = 8 - x$，
由（1）知$AE=BE$，故$BE=8 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$EC^2 + BC^2 = BE^2$，
代入数值：$x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 36 = 64 - 16x + x^2$，
化简得：$16x=28$，
解得：$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
（1）$∠ C=90°$得证；（2）$CE$的长为$\frac{7}{4}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是通过连接$BE$作为辅助线，将已知条件和垂直平分线的性质结合起来。第一问利用勾股定理逆定理证明直角，第二问运用方程思想结合勾股定理求解线段长度，是几何类问题的常规考法，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7