【典例1】如图,在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中,点$O$为斜边$AC$上一点,作$\odot O$与$AB$相切于点$D$,交$BC$于$E,F$,若$AB=BC=9,CF=1$,则$BE$的长为()

A.1
B.2
C.1.5
D.3

解:连接OE,OD,作$OH ⊥ BC$于 H,
设 $OD=r$,在 $\mathrm{Rt}△ OEH$ 中,
$(8-r)^2+(9-r)^2=r^2$,
$r=5(r=29$ 已舍),
$\therefore BE=2r-8=2.$

变式.如图，PA，PC为$\odot O$的两条切线，A，C为切点，AB为$\odot O$直径，$AB=PA$，弦$BM // PC$，连接AM.
(1)求证：$PA=AM+\frac{1}{2}BM$；
(2)若$AB=PA=5$，求BM的长.

(1)证明:连接OC,交BM于点G,延长AM交PC于点N,
$\because BM// PC,\therefore OC⊥ BM,AM⊥ PC$,
$\therefore$ 四边形MNCG为矩形,$\therefore CN=MG=\frac{1}{2}BM$,
又$\because △ PAN≌ △ ABM,\therefore PN=AM$,
$\therefore PA=PC=AM+\frac{1}{2}BM$;
(2)解:设$BG=x$,
$\therefore CN=x,\therefore PN=5-x=AM$,
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$5^2=(5-x)^2+(2x)^2$,
$\therefore x=2,\therefore BM=4.$

【典例2】(2026·大兴)如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，CM，AM为$\odot O$的两条切线，连接ME，若$R=10$，$AE=4$，则ME的长为。

解:连接CO,则 $CE=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
过点 M 作 $MH ⊥ CE$ 于点 H,
设 $MC=x$,在 $\mathrm{Rt}△ CMH$ 中,
$(8-x)^2+4^2=x^2$,
$\therefore x=5$,
$\therefore ME=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}.$

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径。

解:连接OE,反向延长交AD于点F,
连接OA,证$△ AOF$为直角三角形,
则 $OF^2+AF^2=OA^2$,
$(8-r)^2+36=r^2,r=\frac{25}{4}.$

变式.如图,正方形ABCD,点E在CD上,以AE为直径的⊙O切BC于点M,CE=1,求这个正方形边长.

解:连接OM,过点O作$ON⊥ DE$于点N,
设$EN=x,\therefore CN=OM=x+1$,
$ON=\frac{2x+1}{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ OEN$中,
$(x+1)^2=(\frac{2x+1}{2})^2+x^2$,
$\therefore x=\frac{3}{2},\therefore CD=4.$