【典例1】(2026·许昌)如图，AB是$\odot O$直径，CD与$\odot O$相切于点C，交BA的延长线于点D，点E在$\odot O$上，$AE// CD$交BC于点M.
(1)求证:$BC$平分$∠ ABE$；
(2)若$CM=1$，$∠ CBE=∠ BAE$，求$\odot O$的半径长.

(1)证明:连接CO，
$\therefore CO⊥ CD$，
又$\because AE// CD,\therefore CO⊥ AE$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE},\therefore BC$平分$∠ ABE$；
(2)又$\because ∠ CBE=∠ BAM$，
设$∠ BAE=α$，
$\therefore α+2α=90°,\therefore α=30°$，
连接AC,在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，
$∠ CAM=30°,AM=2$，
$AC=R=\sqrt{3}$.

【典例2】(2026·四川)如图,平行四边形ABCD的顶点A,B和对角线交点F均在⊙O上,⊙O与BC相切于点B,边AD经过圆心O与⊙O交于另一点E,则∠ABD=。

解:连接OB,OF，
则$OB⊥ BC$，
$\therefore ∠ ABO=45°$，
$OF=BF=OB$，
$\therefore ∠ OBF=60°$，
$\therefore ∠ ABD=105°$.

【典例3】(教材P155T10变式)如图，$\odot O$的直径AB与弦CD相交，过点D作$\odot O$的切线与AB的延长线相交于点P，$DP // AC$，若$∠ ACD = α (α ＞ 45°)$，则$∠ BAC$的大小为（用$α$表示）。

$2α-90°$

【典例4】(2026·宁德)如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，FC是$\odot O$的切线，连接BD交CF于点F，CD的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：$∠ ACF=2∠ ABD$；
(2)若$EC=EF$，求证：$AB=2DH$.

证明:(1)连接CO，
$\therefore ∠ ACF=∠ OCB=∠ OBC=2∠ ABD$；
(2)连接OD,$\because EC=EF$，
$\therefore ∠ COD=2∠ DBC=∠ ABC=∠ F$，
又$\because ∠ FCD=∠ FBC=∠ DBO$，
$\therefore ∠ F=∠ H$，
又$\because ∠ COD=∠ AOD$，
$\therefore OD⊥ AC$,而$BC⊥ AC$，
$\therefore OD// BC,\therefore ∠ AOD=∠ ABC$，
$\therefore ∠ H=∠ HOD,\therefore DH=OD$，
$\therefore AB=2DH$.