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1. 篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是 （
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
B
）A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. B
解析
【分析】
要计算抛掷均匀硬币一次正面朝上的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题：第一步先确定抛掷一次硬币所有可能出现的结果总数，第二步确定正面朝上的结果数，最后用符合条件的结果数除以所有等可能的结果总数，即可得到对应概率。
【解析】
抛掷一枚均匀的硬币一次，出现的所有等可能结果共有2种：正面朝上、反面朝上；其中满足“正面朝上”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，可得正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、概率的意义
【点评】
本题是概率模块的基础题型，主要考查对简单随机事件概率的计算能力，只要掌握等可能事件的概率计算方法，就能快速得出结果，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.9
要计算抛掷均匀硬币一次正面朝上的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题：第一步先确定抛掷一次硬币所有可能出现的结果总数，第二步确定正面朝上的结果数，最后用符合条件的结果数除以所有等可能的结果总数，即可得到对应概率。
【解析】
抛掷一枚均匀的硬币一次，出现的所有等可能结果共有2种：正面朝上、反面朝上；其中满足“正面朝上”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}}$，可得正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、概率的意义
【点评】
本题是概率模块的基础题型，主要考查对简单随机事件概率的计算能力，只要掌握等可能事件的概率计算方法，就能快速得出结果，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.9
2. 在英语单词$polynomial$(多项式)中任意选出一个字母,选出的字母为“n”的概率是 (
A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{5}$
A
)A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算选到字母“n”的概率，需遵循等可能事件概率的计算思路：先确定所有等可能的总情况数，也就是单词polynomial的总字母个数，再确定符合条件的情况数，也就是单词中“n”的个数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
首先统计单词polynomial的总字母数：逐个计数可得，该单词共有10个字母，任意选一个字母时，每个字母被选中的可能性相等。
再统计单词中字母“n”的个数：可得“n”的个数为1。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，因此选出的字母为“n”的概率为$\frac{1}{10}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题的核心是准确计数总字母数和目标字母的数量，再正确套用概率公式求解，计数时注意避免漏数、多数字母的失误。
【难度系数】
0.8
要计算选到字母“n”的概率，需遵循等可能事件概率的计算思路：先确定所有等可能的总情况数，也就是单词polynomial的总字母个数，再确定符合条件的情况数，也就是单词中“n”的个数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。
【解析】
首先统计单词polynomial的总字母数：逐个计数可得，该单词共有10个字母，任意选一个字母时，每个字母被选中的可能性相等。
再统计单词中字母“n”的个数：可得“n”的个数为1。
根据等可能事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，因此选出的字母为“n”的概率为$\frac{1}{10}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算、概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题的核心是准确计数总字母数和目标字母的数量，再正确套用概率公式求解，计数时注意避免漏数、多数字母的失误。
【难度系数】
0.8
3. 从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先需要明确两个核心要点：一是确定这组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数；二是利用古典概率的计算方法，用选到众数的情况数除以所有等可能的选取总情况数，即可得到所求概率。具体步骤：第一步统计每个数字出现的次数，找出众数；第二步数出众数的个数和数据总个数；第三步代入概率公式计算，化简后对应选项即可。
【解析】
首先判定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字1、2、3、4各出现1次，数字5出现2次，5是出现次数最多的数，因此该组数据的众数为5。
其次计算概率：从6个数中随机选1个数，总共有6种等可能的结果，其中选到众数5的结果有2种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得选取的数恰为众数的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 众数的判定
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，将统计中的众数概念和概率计算结合考查，难度较低，只要熟练掌握众数的定义和古典概率的计算方法，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要明确两个核心要点：一是确定这组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数；二是利用古典概率的计算方法，用选到众数的情况数除以所有等可能的选取总情况数，即可得到所求概率。具体步骤：第一步统计每个数字出现的次数，找出众数；第二步数出众数的个数和数据总个数；第三步代入概率公式计算，化简后对应选项即可。
【解析】
首先判定众数：在数据1,2,3,4,5,5中，数字1、2、3、4各出现1次，数字5出现2次，5是出现次数最多的数，因此该组数据的众数为5。
其次计算概率：从6个数中随机选1个数，总共有6种等可能的结果，其中选到众数5的结果有2种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得选取的数恰为众数的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 众数的判定
2. 简单概率计算
【点评】
本题属于基础题型，将统计中的众数概念和概率计算结合考查，难度较低，只要熟练掌握众数的定义和古典概率的计算方法，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
4. (2024·辽宁)一个不透明袋子中装有4个白球,3个红球,2个绿球,1个黑球,每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,则下列事件发生的概率为$\frac{3}{10}$的是 (
A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
B
)A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先计算袋子中球的总个数，再根据“等可能事件的概率=所求情况数÷总情况数”的公式，分别计算四个选项对应事件的概率，最后选出概率为$\frac{3}{10}$的选项即可。
【解析】
首先计算袋子中球的总数量：$4+3+2+1=10$（个），每个球除颜色外都相同，所以每个球被摸到的可能性相等。
根据概率公式分别计算各选项的概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 等可能事件概率求解
【点评】
本题属于基础概率应用题，核心考查等可能事件的概率计算方法，解题时只要准确统计总球数和对应颜色球的数量，代入公式计算即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先计算袋子中球的总个数，再根据“等可能事件的概率=所求情况数÷总情况数”的公式，分别计算四个选项对应事件的概率，最后选出概率为$\frac{3}{10}$的选项即可。
【解析】
首先计算袋子中球的总数量：$4+3+2+1=10$（个），每个球除颜色外都相同，所以每个球被摸到的可能性相等。
根据概率公式分别计算各选项的概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 等可能事件概率求解
【点评】
本题属于基础概率应用题，核心考查等可能事件的概率计算方法，解题时只要准确统计总球数和对应颜色球的数量，代入公式计算即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
5. (2025·深圳)某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先判断该试验属于等可能试验，每本书被抽到的可能性相等；其次确定所有等可能的总结果数，四本书任取一本，总共有4种不同的结果；再找到满足“抽到《九章算术》”的结果数，只有1种；最后根据古典概型的概率公式，用满足条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
解：从《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》4本不同的书中任取一本，每本书被抽到的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到《九章算术》的结果有1种。
根据概率公式：$ P(\mathrm{事件发生}) = \frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $
可得恰好抽到《九章算术》的概率为$ P = \frac{1}{4} $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算 2. 等可能事件
【点评】
本题结合传统文化背景出题，属于基础概率应用题，难度较低，只要准确识别总情况数和目标情况数，代入概率公式即可求解。
【难度系数】
0.9
本题考查古典概型的概率计算，解题思路如下：首先判断该试验属于等可能试验，每本书被抽到的可能性相等；其次确定所有等可能的总结果数，四本书任取一本，总共有4种不同的结果；再找到满足“抽到《九章算术》”的结果数，只有1种；最后根据古典概型的概率公式，用满足条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率。
【解析】
解：从《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》4本不同的书中任取一本，每本书被抽到的可能性相等，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到《九章算术》的结果有1种。
根据概率公式：$ P(\mathrm{事件发生}) = \frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $
可得恰好抽到《九章算术》的概率为$ P = \frac{1}{4} $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 古典概型概率计算 2. 等可能事件
【点评】
本题结合传统文化背景出题，属于基础概率应用题，难度较低，只要准确识别总情况数和目标情况数，代入概率公式即可求解。
【难度系数】
0.9
6. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是 （
A.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C.不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
A
）A.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C.不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
答案
6. A
解析
【分析】
解决本题首先要掌握“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，首先观察折线图确定频率的稳定值，得到对应事件的概率估计值，再分别计算四个选项中各事件的概率，选出概率与估计值最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件的频率逐渐稳定在约0.17附近，因此估计该事件的概率约为0.17。
分别计算各选项对应事件的概率：
A选项：掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的结果只有1种，总共有6种等可能结果，概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与估计概率接近，符合题意；
B选项：去掉大小王的扑克牌共52张，其中梅花有13张，抽中梅花的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
C选项：袋中共有4个球，其中红球1个，取出红球的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
D选项：“石头、剪刀、布”共有3种等可能的出法，出“布”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率、简单事件概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，只需准确计算各选项事件的概率，和频率稳定值对比就能得出答案。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握“大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，首先观察折线图确定频率的稳定值，得到对应事件的概率估计值，再分别计算四个选项中各事件的概率，选出概率与估计值最接近的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件的频率逐渐稳定在约0.17附近，因此估计该事件的概率约为0.17。
分别计算各选项对应事件的概率：
A选项：掷质地均匀的正六面体骰子，朝上点数为6的结果只有1种，总共有6种等可能结果，概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与估计概率接近，符合题意；
B选项：去掉大小王的扑克牌共52张，其中梅花有13张，抽中梅花的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
C选项：袋中共有4个球，其中红球1个，取出红球的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
D选项：“石头、剪刀、布”共有3种等可能的出法，出“布”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率、简单事件概率计算
【点评】
本题考查频率与概率的关系，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为事件的概率，只需准确计算各选项事件的概率，和频率稳定值对比就能得出答案。
【难度系数】
0.7
7. 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
7. A
解析
【分析】
这是古典概型类的概率计算问题，解题思路为：首先给两双鞋做标记方便计数，先统计出从4只鞋中随机取2只的所有等可能结果总数，再统计取出的2只鞋属于同一双的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
将两双不同的鞋分别标记：第一双鞋记为$A_1$、$A_2$，第二双鞋记为$B_1$、$B_2$。
1. 统计总等可能结果：从4只鞋中随机取2只，共有6种不重复的等可能组合：$(A_1,A_2)$、$(A_1,B_1)$、$(A_1,B_2)$、$(A_2,B_1)$、$(A_2,B_2)$、$(B_1,B_2)$，即总结果数为6。
2. 统计符合条件的结果：取出的鞋是同一双的组合为$(A_1,A_2)$、$(B_1,B_2)$，共2种结果。
3. 计算概率：$P(\mathrm{取出的鞋是同一双})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型概率计算，列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是准确列举所有等可能结果，避免计数重复或遗漏，掌握概率基本计算公式即可解答。
【难度系数】
0.8
这是古典概型类的概率计算问题，解题思路为：首先给两双鞋做标记方便计数，先统计出从4只鞋中随机取2只的所有等可能结果总数，再统计取出的2只鞋属于同一双的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
将两双不同的鞋分别标记：第一双鞋记为$A_1$、$A_2$，第二双鞋记为$B_1$、$B_2$。
1. 统计总等可能结果：从4只鞋中随机取2只，共有6种不重复的等可能组合：$(A_1,A_2)$、$(A_1,B_1)$、$(A_1,B_2)$、$(A_2,B_1)$、$(A_2,B_2)$、$(B_1,B_2)$，即总结果数为6。
2. 统计符合条件的结果：取出的鞋是同一双的组合为$(A_1,A_2)$、$(B_1,B_2)$，共2种结果。
3. 计算概率：$P(\mathrm{取出的鞋是同一双})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型概率计算，列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用题，核心是准确列举所有等可能结果，避免计数重复或遗漏，掌握概率基本计算公式即可解答。
【难度系数】
0.8
8. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐. 假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
A
）A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
8. A
解析
【分析】
本题是两步等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：第一步，确定所有等可能的结果总数：每辆车有3种行驶方向，两辆车的行驶方向互不影响，可通过列举法列出所有情况，总情况数为3×3=9种；第二步，找出符合“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果：该情况包含两种顺序，即第一辆车直行、第二辆车左拐，以及第一辆车左拐、第二辆车直行，共2种符合条件的结果；第三步，根据概率公式计算概率即可。
【解析】
我们通过列举法列出两辆车经过路口的所有等可能行驶情况：
将直行记为Z，左拐记为L，右拐记为R，所有结果为：
(Z,Z)、(Z,L)、(Z,R)、(L,Z)、(L,L)、(L,R)、(R,Z)、(R,L)、(R,R)，共9种等可能的结果。
其中满足“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果为(Z,L)和(L,Z)，共2种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{2}{9}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确列举所有等可能结果，注意所求事件包含两种不同的顺序情况，避免漏算导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是两步等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：第一步，确定所有等可能的结果总数：每辆车有3种行驶方向，两辆车的行驶方向互不影响，可通过列举法列出所有情况，总情况数为3×3=9种；第二步，找出符合“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果：该情况包含两种顺序，即第一辆车直行、第二辆车左拐，以及第一辆车左拐、第二辆车直行，共2种符合条件的结果；第三步，根据概率公式计算概率即可。
【解析】
我们通过列举法列出两辆车经过路口的所有等可能行驶情况：
将直行记为Z，左拐记为L，右拐记为R，所有结果为：
(Z,Z)、(Z,L)、(Z,R)、(L,Z)、(L,L)、(L,R)、(R,Z)、(R,L)、(R,R)，共9种等可能的结果。
其中满足“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果为(Z,L)和(L,Z)，共2种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{2}{9}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是准确列举所有等可能结果，注意所求事件包含两种不同的顺序情况，避免漏算导致出错。
【难度系数】
0.7
