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9. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下：
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是 (
A.0.85
B.0.57
C.0.42
D.0.15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180 cm的概率是 (
D
)A.0.85
B.0.57
C.0.42
D.0.15
答案
9. D
解析
【分析】
要估计该地区九年级男生身高不低于180cm的概率，可采用样本频率估计总体概率的思路。首先明确“身高不低于180cm”对应表格中x≥180的组别，先找到该组的人数，再统计抽取的总样本数，用符合条件的人数除以总人数得到样本频率，该频率即可作为所求概率的估计值。
【解析】
首先，由表格可知，身高不低于180cm（即x≥180）的人数为15人；
抽取的样本总人数为$5+38+42+15=100$人；
根据用频率估计概率的知识，抽查该地区一名九年级男生，身高不低于180cm的概率约为$\frac{15}{100}=0.15$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率，统计表解读
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对统计表格的信息提取能力和用频率估计概率的方法，解题的核心是准确找到对应组别的人数，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.9
要估计该地区九年级男生身高不低于180cm的概率，可采用样本频率估计总体概率的思路。首先明确“身高不低于180cm”对应表格中x≥180的组别，先找到该组的人数，再统计抽取的总样本数，用符合条件的人数除以总人数得到样本频率，该频率即可作为所求概率的估计值。
【解析】
首先，由表格可知，身高不低于180cm（即x≥180）的人数为15人；
抽取的样本总人数为$5+38+42+15=100$人；
根据用频率估计概率的知识，抽查该地区一名九年级男生，身高不低于180cm的概率约为$\frac{15}{100}=0.15$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率，统计表解读
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对统计表格的信息提取能力和用频率估计概率的方法，解题的核心是准确找到对应组别的人数，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.9
10. 根据频率估计概率原理,可以用随机模拟的方法对圆周率$π$进行估计. 用计算机随机产生$m$个有序数对$(x,y)(0≤ x≤1,0≤ y≤1)$,它们对应的点全部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部. 若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有$n$个,则可估计$π$的值是（
A.$\frac{m}{n}$
B.$\frac{n}{m}$
C.$\frac{2n}{m}$
D.$\frac{4n}{m}$
D
）A.$\frac{m}{n}$
B.$\frac{n}{m}$
C.$\frac{2n}{m}$
D.$\frac{4n}{m}$
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率结合几何面积求解的问题，解题思路如下：第一步先确定所有随机点对应的总区域的面积，第二步找到满足“到原点距离小于等于1”的点对应的区域面积，第三步根据频率近似等于概率（即两个区域的面积比）建立等式，最后变形求出π的估计值即可。
【解析】
1. 确定总区域面积：
有序数对$(x,y)$满足$0≤x≤1$、$0≤y≤1$，对应的区域是边长为1的正方形，面积为$S_{正方形}=1×1=1$。
2. 确定符合条件的区域面积：
到原点距离小于等于1的点满足$x^2+y^2≤1$，结合x、y的取值范围，该区域是圆心在原点、半径为1的四分之一圆，面积为$S_{四分之一圆}=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
3. 利用频率估计概率列等式：
根据频率估计概率的原理，符合条件的点的频率$\frac{n}{m}$近似等于两个区域的面积比，即：
$\frac{n}{m}\approx\frac{S_{四分之一圆}}{S_{正方形}}=\frac{\frac{π}{4}}{1}$
整理等式可得：$π\approx\frac{4n}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 频率估计概率 2. 几何概率计算 3. 图形面积计算
【点评】
本题属于跨知识点的应用类题型，将圆周率的估算与概率知识结合，解题的核心是准确识别两个对应的几何区域并计算其面积，体现了数学建模的思想，需要同学们熟练掌握不同知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
本题考查利用频率估计概率结合几何面积求解的问题，解题思路如下：第一步先确定所有随机点对应的总区域的面积，第二步找到满足“到原点距离小于等于1”的点对应的区域面积，第三步根据频率近似等于概率（即两个区域的面积比）建立等式，最后变形求出π的估计值即可。
【解析】
1. 确定总区域面积：
有序数对$(x,y)$满足$0≤x≤1$、$0≤y≤1$，对应的区域是边长为1的正方形，面积为$S_{正方形}=1×1=1$。
2. 确定符合条件的区域面积：
到原点距离小于等于1的点满足$x^2+y^2≤1$，结合x、y的取值范围，该区域是圆心在原点、半径为1的四分之一圆，面积为$S_{四分之一圆}=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}$。
3. 利用频率估计概率列等式：
根据频率估计概率的原理，符合条件的点的频率$\frac{n}{m}$近似等于两个区域的面积比，即：
$\frac{n}{m}\approx\frac{S_{四分之一圆}}{S_{正方形}}=\frac{\frac{π}{4}}{1}$
整理等式可得：$π\approx\frac{4n}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 频率估计概率 2. 几何概率计算 3. 图形面积计算
【点评】
本题属于跨知识点的应用类题型，将圆周率的估算与概率知识结合，解题的核心是准确识别两个对应的几何区域并计算其面积，体现了数学建模的思想，需要同学们熟练掌握不同知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
11. 某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是
$\frac{1}{3}$
.(用最简分数表示)答案
11. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确随机抽取1件产品时，所有等可能的结果总数等于一箱产品的总件数，再确定能中奖的结果数量，最后根据概率的计算公式，用中奖结果数除以总结果数，将结果约分为最简分数即可。
【解析】
解：已知一箱共有6件产品，其中2件能中奖，从箱中随机抽取1件产品，共有6种等可能的结果，其中抽到中奖产品的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得$P(\mathrm{中奖})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，分数约分
【点评】
本题是概率基础题型，难度较低，核心是准确找到总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，解题时需注意最终结果要化为最简分数，避免因未约分失分。
【难度系数】
0.9
本题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确随机抽取1件产品时，所有等可能的结果总数等于一箱产品的总件数，再确定能中奖的结果数量，最后根据概率的计算公式，用中奖结果数除以总结果数，将结果约分为最简分数即可。
【解析】
解：已知一箱共有6件产品，其中2件能中奖，从箱中随机抽取1件产品，共有6种等可能的结果，其中抽到中奖产品的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$
可得$P(\mathrm{中奖})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，分数约分
【点评】
本题是概率基础题型，难度较低，核心是准确找到总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，解题时需注意最终结果要化为最简分数，避免因未约分失分。
【难度系数】
0.9
12. (2025·贵州)一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
12. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率的计算公式为$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果的总数}$；第一步先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步确定摸到红球的等可能结果数；最后代入公式计算即可得到摸到红球的概率。
【解析】
解：首先计算袋子中球的总数量：
总球数 = 红球个数 + 黄球个数 = $2+3=5$个，
任意摸出1个球时，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，
根据概率公式可得：
$P(摸到红球)=\frac{摸到红球的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只要准确统计总情况数和符合要求的情况数，代入公式即可求解，属于概率部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确概率的计算公式为$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果的总数}$；第一步先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第二步确定摸到红球的等可能结果数；最后代入公式计算即可得到摸到红球的概率。
【解析】
解：首先计算袋子中球的总数量：
总球数 = 红球个数 + 黄球个数 = $2+3=5$个，
任意摸出1个球时，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，
根据概率公式可得：
$P(摸到红球)=\frac{摸到红球的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对等可能事件概率计算方法的掌握，只要准确统计总情况数和符合要求的情况数，代入公式即可求解，属于概率部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
13. 在4张完全相同的卡片上，分别标出1,2,3,4. 从中随机抽取1张后，放回再混合在一起. 再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是
$\frac{1}{2}$
.答案
13. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题属于有放回抽样的古典概型问题，解题思路如下：首先明确两次抽取是独立的，先计算所有等可能的总结果数；其次根据“第二次抽取的数字能整除第一次抽取的数字”的要求，按第一次抽到的数字分类枚举所有符合条件的情况，注意“a整除b”等价于b是a的整数倍，不要混淆两个数的顺序；最后根据古典概型概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
解：由于是有放回抽取，第一次抽取有4种等可能的结果，第二次抽取也有4种等可能的结果，因此所有等可能的结果总数为 $ 4 × 4 = 16 $ 种。
接下来枚举满足“第二次卡片数字能整除第一次卡片数字”的情况：
1. 若第一次抽到1：只有第二次抽到1时满足，共1种情况；
2. 若第一次抽到2：第二次抽到1、2时满足，共2种情况；
3. 若第一次抽到3：第二次抽到1、3时满足，共2种情况；
4. 若第一次抽到4：第二次抽到1、2、4时满足，共3种情况。
符合条件的情况总数为 $ 1 + 2 + 2 + 3 = 8 $ 种。
根据概率公式，所求概率 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型概率计算、列举法求概率、整除的概念
【点评】
本题重点考查古典概型的实际应用，解题的核心是准确枚举所有符合条件的情况，要特别注意整除的逻辑顺序，枚举时做到不重复、不遗漏，避免因混淆两次抽取数字的先后逻辑出错。
【难度系数】
0.7
本题属于有放回抽样的古典概型问题，解题思路如下：首先明确两次抽取是独立的，先计算所有等可能的总结果数；其次根据“第二次抽取的数字能整除第一次抽取的数字”的要求，按第一次抽到的数字分类枚举所有符合条件的情况，注意“a整除b”等价于b是a的整数倍，不要混淆两个数的顺序；最后根据古典概型概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
解：由于是有放回抽取，第一次抽取有4种等可能的结果，第二次抽取也有4种等可能的结果，因此所有等可能的结果总数为 $ 4 × 4 = 16 $ 种。
接下来枚举满足“第二次卡片数字能整除第一次卡片数字”的情况：
1. 若第一次抽到1：只有第二次抽到1时满足，共1种情况；
2. 若第一次抽到2：第二次抽到1、2时满足，共2种情况；
3. 若第一次抽到3：第二次抽到1、3时满足，共2种情况；
4. 若第一次抽到4：第二次抽到1、2、4时满足，共3种情况。
符合条件的情况总数为 $ 1 + 2 + 2 + 3 = 8 $ 种。
根据概率公式，所求概率 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型概率计算、列举法求概率、整除的概念
【点评】
本题重点考查古典概型的实际应用，解题的核心是准确枚举所有符合条件的情况，要特别注意整除的逻辑顺序，枚举时做到不重复、不遗漏，避免因混淆两次抽取数字的先后逻辑出错。
【难度系数】
0.7
14.（2025·湖北）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
14. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是简单的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的选择结果总数；第二步，确定选中“步步锦”这一事件包含的结果数；第三步，根据等可能事件的概率公式，用所求事件的结果数除以总结果数即可得到对应的概率。
【解析】
已知共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”3种窗格构造方式，随机选择一种时，每种方式被选中的可能性相等，即总共有3种等可能的结果，其中选中“步步锦”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，可得选中“步步锦”的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算，等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，贴近生活实际，主要考查对基础概率计算方法的掌握，只要理清总情况数和目标事件的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是简单的等可能事件概率计算问题，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的选择结果总数；第二步，确定选中“步步锦”这一事件包含的结果数；第三步，根据等可能事件的概率公式，用所求事件的结果数除以总结果数即可得到对应的概率。
【解析】
已知共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”3种窗格构造方式，随机选择一种时，每种方式被选中的可能性相等，即总共有3种等可能的结果，其中选中“步步锦”的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，可得选中“步步锦”的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算，等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题，贴近生活实际，主要考查对基础概率计算方法的掌握，只要理清总情况数和目标事件的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
15. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字$-\sqrt{3},\sqrt{6},0,2,π$的小球，这些小球除数字外其他完全相同. 从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为
$\frac{2}{5}$
.答案
15. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，枚举从5个小球中随机摸出2个的所有等可能结果，统计总结果数；第二步，根据有理数的定义，结合二次根式、含π的数的乘法运算规则，逐一判断每一组两个数的乘积是否为有理数，统计符合条件的结果数；第三步，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。注意摸出两个球的顺序不影响结果，枚举时避免重复计数。
【解析】
首先枚举从5个小球中随机摸出2个的所有等可能结果，共10种：
1. 摸出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$：乘积为$-\sqrt{3}×\sqrt{6}=-3\sqrt{2}$，是无理数，不符合要求；
2. 摸出$-\sqrt{3}$和$0$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
3. 摸出$-\sqrt{3}$和$2$：乘积为$-2\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
4. 摸出$-\sqrt{3}$和$π$：乘积为$-\sqrt{3}π$，是无理数，不符合要求；
5. 摸出$\sqrt{6}$和$0$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
6. 摸出$\sqrt{6}$和$2$：乘积为$2\sqrt{6}$，是无理数，不符合要求；
7. 摸出$\sqrt{6}$和$π$：乘积为$\sqrt{6}π$，是无理数，不符合要求；
8. 摸出$0$和$2$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
9. 摸出$0$和$π$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
10. 摸出$2$和$π$：乘积为$2π$，是无理数，不符合要求。
统计得符合条件的结果共4种，因此所求概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
古典概型概率计算，有理数的定义，二次根式乘法
【点评】
本题将概率计算与实数的运算性质相结合，难度适中，解题的核心是准确枚举所有情况，同时注意0乘任意实数都为0（0是有理数）这一特殊性质，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，枚举从5个小球中随机摸出2个的所有等可能结果，统计总结果数；第二步，根据有理数的定义，结合二次根式、含π的数的乘法运算规则，逐一判断每一组两个数的乘积是否为有理数，统计符合条件的结果数；第三步，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。注意摸出两个球的顺序不影响结果，枚举时避免重复计数。
【解析】
首先枚举从5个小球中随机摸出2个的所有等可能结果，共10种：
1. 摸出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$：乘积为$-\sqrt{3}×\sqrt{6}=-3\sqrt{2}$，是无理数，不符合要求；
2. 摸出$-\sqrt{3}$和$0$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
3. 摸出$-\sqrt{3}$和$2$：乘积为$-2\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
4. 摸出$-\sqrt{3}$和$π$：乘积为$-\sqrt{3}π$，是无理数，不符合要求；
5. 摸出$\sqrt{6}$和$0$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
6. 摸出$\sqrt{6}$和$2$：乘积为$2\sqrt{6}$，是无理数，不符合要求；
7. 摸出$\sqrt{6}$和$π$：乘积为$\sqrt{6}π$，是无理数，不符合要求；
8. 摸出$0$和$2$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
9. 摸出$0$和$π$：乘积为$0$，是有理数，符合要求；
10. 摸出$2$和$π$：乘积为$2π$，是无理数，不符合要求。
统计得符合条件的结果共4种，因此所求概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
古典概型概率计算，有理数的定义，二次根式乘法
【点评】
本题将概率计算与实数的运算性质相结合，难度适中，解题的核心是准确枚举所有情况，同时注意0乘任意实数都为0（0是有理数）这一特殊性质，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
16. (2025·黑龙江)如图，随机闭合开关$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1$，$\mathrm{L}_2$同时发光的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
16. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是概率与电路知识结合的综合题，解题思路如下：首先用列举法找出随机闭合3个开关中2个的所有等可能情况；再结合电路的通路、短路知识，逐一判断每种情况是否能让两盏灯泡同时发光，统计符合要求的情况数；最后根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数，计算出最终结果。
【解析】
首先，随机闭合开关$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中的两个，所有等可能的情况共有3种，分别为：闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_2$、闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_3$、闭合$\mathrm{K}_2$和$\mathrm{K}_3$。
接下来逐一判断电路工作状态：
1. 闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_2$时，$\mathrm{K}_3$断开，整个电路为断路，两盏灯都不发光，不符合要求；
2. 闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_3$时，电流依次经过$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{L}_2$、$\mathrm{K}_3$回到电源负极，电路为通路，$\mathrm{L}_1$和$\mathrm{L}_2$串联，两灯同时发光，符合要求；
3. 闭合$\mathrm{K}_2$和$\mathrm{K}_3$时，$\mathrm{K}_2$闭合将$\mathrm{L}_1$短路，只有$\mathrm{L}_2$接入电路发光，$\mathrm{L}_1$不发光，不符合要求。
综上，能让两盏灯泡同时发光的情况有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，电路状态判断
【点评】
本题融合了概率统计和基础电路的知识，考查学生的综合分析能力，解题时要注意不要漏算、错算开关组合的情况，同时要准确判断不同开关组合下电路的通路、短路状态，避免因电路分析错误导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是概率与电路知识结合的综合题，解题思路如下：首先用列举法找出随机闭合3个开关中2个的所有等可能情况；再结合电路的通路、短路知识，逐一判断每种情况是否能让两盏灯泡同时发光，统计符合要求的情况数；最后根据概率公式：概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数，计算出最终结果。
【解析】
首先，随机闭合开关$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中的两个，所有等可能的情况共有3种，分别为：闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_2$、闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_3$、闭合$\mathrm{K}_2$和$\mathrm{K}_3$。
接下来逐一判断电路工作状态：
1. 闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_2$时，$\mathrm{K}_3$断开，整个电路为断路，两盏灯都不发光，不符合要求；
2. 闭合$\mathrm{K}_1$和$\mathrm{K}_3$时，电流依次经过$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{L}_2$、$\mathrm{K}_3$回到电源负极，电路为通路，$\mathrm{L}_1$和$\mathrm{L}_2$串联，两灯同时发光，符合要求；
3. 闭合$\mathrm{K}_2$和$\mathrm{K}_3$时，$\mathrm{K}_2$闭合将$\mathrm{L}_1$短路，只有$\mathrm{L}_2$接入电路发光，$\mathrm{L}_1$不发光，不符合要求。
综上，能让两盏灯泡同时发光的情况有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，电路状态判断
【点评】
本题融合了概率统计和基础电路的知识，考查学生的综合分析能力，解题时要注意不要漏算、错算开关组合的情况，同时要准确判断不同开关组合下电路的通路、短路状态，避免因电路分析错误导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
17. 合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
17. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：首先明确事件的所有等可能结果：学生B、C、D随机坐1、2、3号三个座位，每个同学坐到任意座位的可能性相等。我们可以通过两种思路求解：一是直接分析学生B的可选座位，总共有3个等可能的座位选择，其中2号座位是1种符合要求的情况；二是用列举法列出所有座位排列的等可能结果，再统计学生B坐在2号座位的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
方法1：学生B可选择的座位共有1号、2号、3号3种情况，且每种情况的可能性相等，其中满足“学生B坐在2号座位”的情况只有1种，根据古典概型概率公式：
$ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} = \frac{1}{3} $
方法2（列举法验证）：B、C、D三人坐三个座位的所有等可能排列共有6种：
①B坐1号，C坐2号，D坐3号；②B坐1号，C坐3号，D坐2号；
③B坐2号，C坐1号，D坐3号；④B坐2号，C坐3号，D坐1号；
⑤B坐3号，C坐1号，D坐2号；⑥B坐3号，C坐2号，D坐1号。
其中学生B坐在2号座位的情况有③、④共2种，因此概率为：
$ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型、概率计算、等可能事件
【点评】
本题是概率的基础题型，既可以通过直接分析目标事件的可选情况快速求解，也可以通过列举法验证结果，解题的关键是判断事件的等可能性，避免重复或遗漏计数。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路如下：首先明确事件的所有等可能结果：学生B、C、D随机坐1、2、3号三个座位，每个同学坐到任意座位的可能性相等。我们可以通过两种思路求解：一是直接分析学生B的可选座位，总共有3个等可能的座位选择，其中2号座位是1种符合要求的情况；二是用列举法列出所有座位排列的等可能结果，再统计学生B坐在2号座位的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
方法1：学生B可选择的座位共有1号、2号、3号3种情况，且每种情况的可能性相等，其中满足“学生B坐在2号座位”的情况只有1种，根据古典概型概率公式：
$ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} = \frac{1}{3} $
方法2（列举法验证）：B、C、D三人坐三个座位的所有等可能排列共有6种：
①B坐1号，C坐2号，D坐3号；②B坐1号，C坐3号，D坐2号；
③B坐2号，C坐1号，D坐3号；④B坐2号，C坐3号，D坐1号；
⑤B坐3号，C坐1号，D坐2号；⑥B坐3号，C坐2号，D坐1号。
其中学生B坐在2号座位的情况有③、④共2种，因此概率为：
$ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型、概率计算、等可能事件
【点评】
本题是概率的基础题型，既可以通过直接分析目标事件的可选情况快速求解，也可以通过列举法验证结果，解题的关键是判断事件的等可能性，避免重复或遗漏计数。
【难度系数】
0.8
18. 若关于$x$的方程$x^2 - 3x + m = 0$有两个不相等的实数根，且$m ≥ -3$，则从满足条件的所有整数$m$中随机选取一个，恰好是负数的概率是
$\frac{1}{2}$
。答案
18. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，通过根的判别式Δ＞0求出m的取值上限，再结合已知的m≥-3的限制，确定m的完整取值范围，随后找出范围内所有整数m，统计符合条件的整数总个数和其中负数的个数，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$，其根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即：
$(-3)^2 - 4×1× m ＞ 0$
$9 - 4m ＞ 0$
解得$m ＜ 2.25$。
结合题目给出的$m ≥ -3$，且m为整数，可得满足条件的整数m为：$-3、-2、-1、0、1、2$，共6个。
其中负数m有$-3、-2、-1$，共3个。
根据概率公式，随机选取一个恰好是负数的概率为$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；概率计算
【点评】
本题是代数与概率的综合基础题，解题的核心是先通过根的判别式准确求出参数m的取值范围，注意不要遗漏整数和m≥-3的限制条件，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，通过根的判别式Δ＞0求出m的取值上限，再结合已知的m≥-3的限制，确定m的完整取值范围，随后找出范围内所有整数m，统计符合条件的整数总个数和其中负数的个数，最后根据概率公式计算所求概率即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$，其根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=m$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即：
$(-3)^2 - 4×1× m ＞ 0$
$9 - 4m ＞ 0$
解得$m ＜ 2.25$。
结合题目给出的$m ≥ -3$，且m为整数，可得满足条件的整数m为：$-3、-2、-1、0、1、2$，共6个。
其中负数m有$-3、-2、-1$，共3个。
根据概率公式，随机选取一个恰好是负数的概率为$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；概率计算
【点评】
本题是代数与概率的综合基础题，解题的核心是先通过根的判别式准确求出参数m的取值范围，注意不要遗漏整数和m≥-3的限制条件，再代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.7
