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三、解答题
19.（2025·淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率.
19.（2025·淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.
（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是
$\frac{1}{4}$
；（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率.
答案
19. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 画树状图如图
,共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种,∴ 抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
（1）第一问为一步概率问题，先明确所有等可能的结果总数，再确定抽到“淮”的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”直接计算即可。
（2）第二问是不放回的两步抽取问题，可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“恰好1张为‘美’、1张为‘好’”的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意抽取2张卡片为不放回试验，第二次抽取的卡片不能与第一次重复。
【解析】
（1）
∵盒子中共有4张除文字外完全相同的卡片，随机抽取1张共有4种等可能的结果，其中抽到“淮”的结果有1种，
∴恰好抽到“淮”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，分别为（美，好）、（好，美），
∴所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图,共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种,
∴ 抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，不放回抽样
【点评】
本题是概率的常规基础题，第一问直接套用概率公式即可求解；第二问需要用树状图或列表法梳理所有等可能情况，解题时要注意区分放回与不放回试验，避免结果计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为一步概率问题，先明确所有等可能的结果总数，再确定抽到“淮”的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”直接计算即可。
（2）第二问是不放回的两步抽取问题，可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再从中筛选出“恰好1张为‘美’、1张为‘好’”的结果数，最后代入概率公式计算即可，注意抽取2张卡片为不放回试验，第二次抽取的卡片不能与第一次重复。
【解析】
（1）
∵盒子中共有4张除文字外完全相同的卡片，随机抽取1张共有4种等可能的结果，其中抽到“淮”的结果有1种，
∴恰好抽到“淮”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据题意画树状图：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，分别为（美，好）、（好，美），
∴所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图
,共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种,∴ 抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，不放回抽样
【点评】
本题是概率的常规基础题，第一问直接套用概率公式即可求解；第二问需要用树状图或列表法梳理所有等可能情况，解题时要注意区分放回与不放回试验，避免结果计数错误。
【难度系数】
0.7
20. (2025·南京)甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1,2和4.先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球.
（1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是
（2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
（1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是
$\frac{1}{3}$
；（2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
答案
20. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图
,共有6种等可能的结果,取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种,∴ 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道两步试验的概率计算题，解题思路如下：1. 先确定所有等可能的结果总数：第一步从甲袋取1个球，有2种等可能结果；第二步从乙袋取2个球，先列举出乙袋取2个球的所有组合，共3种等可能结果，因此总共有2×3=6种等可能的结果。2. 针对两个小问，分别找出符合条件的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
解：首先列举所有等可能的结果：
从甲袋取球的结果：1、3，共2种；
从乙袋取2个球的所有组合：$(1,2)$、$(1,4)$、$(2,4)$，共3种；
因此总共有$2×3=6$种等可能的结果。
（1）取出的3个小球上所写数字没有4，即乙袋取出的2个球不含4，仅乙取$(1,2)$这1种情况，对应甲的2种取法，共2种符合条件的结果，
故$P(\mathrm{没有4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）画树状图如图，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上数字都不相同的结果有4种，
故$P(\mathrm{都不相同})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图,共有6种等可能的结果,取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种,
∴ 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
概率计算，树状图法，等可能事件
【点评】
本题考查等可能事件的概率求解，解题核心是准确列举出所有等可能的结果，注意乙袋是取2个小球，避免重复计数，掌握概率公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道两步试验的概率计算题，解题思路如下：1. 先确定所有等可能的结果总数：第一步从甲袋取1个球，有2种等可能结果；第二步从乙袋取2个球，先列举出乙袋取2个球的所有组合，共3种等可能结果，因此总共有2×3=6种等可能的结果。2. 针对两个小问，分别找出符合条件的结果数，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
解：首先列举所有等可能的结果：
从甲袋取球的结果：1、3，共2种；
从乙袋取2个球的所有组合：$(1,2)$、$(1,4)$、$(2,4)$，共3种；
因此总共有$2×3=6$种等可能的结果。
（1）取出的3个小球上所写数字没有4，即乙袋取出的2个球不含4，仅乙取$(1,2)$这1种情况，对应甲的2种取法，共2种符合条件的结果，
故$P(\mathrm{没有4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）画树状图如图
，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上数字都不相同的结果有4种，故$P(\mathrm{都不相同})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图
,共有6种等可能的结果,取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种,∴ 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
概率计算，树状图法，等可能事件
【点评】
本题考查等可能事件的概率求解，解题核心是准确列举出所有等可能的结果，注意乙袋是取2个小球，避免重复计数，掌握概率公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
21. 现有A,B两个不透明的袋子,A袋的4个小球分别标有数字1,2,3,4;B袋的3个小球分别标有数字1,2,3.(每个袋中的小球除数字外,其他完全相同.)
（1）从A,B两个袋中各随机摸出一个小球,则两个小球上数字相同的概率是
（2）甲、乙两人玩摸球游戏,规则是:甲从A袋中随机摸出一个小球,乙从B袋中随机摸出一个小球,若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时,则甲胜;否则乙胜,用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平.
（1）从A,B两个袋中各随机摸出一个小球,则两个小球上数字相同的概率是
$\frac{1}{4}$
;（2）甲、乙两人玩摸球游戏,规则是:甲从A袋中随机摸出一个小球,乙从B袋中随机摸出一个小球,若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时,则甲胜;否则乙胜,用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平.
答案
21. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 这个规则对甲、乙两人是公平的，画树状图如图
:由树状图知,共有12种等可能结果,其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种,两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种,∴ $P_{甲获胜}=P_{乙获胜}=\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏对双方是公平的
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先计算从A、B两袋各摸1个球的所有等可能结果总数，再找出两球数字相同的结果数，最后结合概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）判断游戏规则是否公平，本质是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。我们可以通过树状图或列表法列出所有等可能的结果，分别统计数字和为奇数、偶数的结果数，计算对应概率后比较大小，若两者概率相等则规则公平，否则不公平。
【解析】
（1）从A袋随机摸1个球有4种等可能结果，从B袋随机摸1个球有3种等可能结果，因此所有等可能的结果总数为$4×3=12$种；其中两个小球数字相同的情况为（1,1）、（2,2）、（3,3），共3种，因此两个小球上数字相同的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中两人摸到小球的数字之和为奇数的结果有6种，数字之和为偶数的结果有6种。
因此$P_{甲获胜}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P_{乙获胜}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$P_{甲获胜}=P_{乙获胜}$，所以这个规则对甲、乙两人是公平的。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$ (2) 这个规则对甲、乙两人是公平的，画树状图如图:由树状图知,共有12种等可能结果,其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种,两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种,
∴ $P_{甲获胜}=P_{乙获胜}=\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏对双方是公平的
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率的实际应用，解题核心是准确找出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性只需比较双方获胜概率是否相等即可。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先计算从A、B两袋各摸1个球的所有等可能结果总数，再找出两球数字相同的结果数，最后结合概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）判断游戏规则是否公平，本质是比较甲、乙两人获胜的概率是否相等。我们可以通过树状图或列表法列出所有等可能的结果，分别统计数字和为奇数、偶数的结果数，计算对应概率后比较大小，若两者概率相等则规则公平，否则不公平。
【解析】
（1）从A袋随机摸1个球有4种等可能结果，从B袋随机摸1个球有3种等可能结果，因此所有等可能的结果总数为$4×3=12$种；其中两个小球数字相同的情况为（1,1）、（2,2）、（3,3），共3种，因此两个小球上数字相同的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中两人摸到小球的数字之和为奇数的结果有6种，数字之和为偶数的结果有6种。
因此$P_{甲获胜}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P_{乙获胜}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$P_{甲获胜}=P_{乙获胜}$，所以这个规则对甲、乙两人是公平的。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$ (2) 这个规则对甲、乙两人是公平的，画树状图如图
:由树状图知,共有12种等可能结果,其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种,两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种,∴ $P_{甲获胜}=P_{乙获胜}=\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏对双方是公平的
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率的实际应用，解题核心是准确找出所有等可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性只需比较双方获胜概率是否相等即可。
【难度系数】
0.7
