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22. 生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图1）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图2，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.
（1）用树状图或列表格的方法，求图3可表示不同信息的总个数；（图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图4为$2 × 2$的网格图，它可表示不同信息的总个数为
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用$n × n$的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则$n$的最小值为
（1）用树状图或列表格的方法，求图3可表示不同信息的总个数；（图中标号1，2表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图4为$2 × 2$的网格图，它可表示不同信息的总个数为
16
；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用$n × n$的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则$n$的最小值为
3
.答案
22. (1) 画树状图如图
:共有4种等可能结果,∴ 图③可表示不同信息的总个数为4; (2) 16 (3) 3.
解析
【分析】
（1）图3包含2个不同位置的小方格，每个方格均有涂色、不涂色2种选择，可通过树状图列举所有等可能的情况，统计总个数即可。
（2）图4是2×2网格，共4个独立小方格，每个方格有2种选择，总信息数为每个方格选择数的乘积，即2的4次方。
（3）n×n网格共有n²个小方格，总信息数为$2^{n^2}$，只需找到使$2^{n^2}≥492$的最小正整数n即可。
【解析】
（1）画树状图如图：
由树状图可得，共有4种等可能的结果，因此图3可表示不同信息的总个数为4。
（2）2×2网格共有4个小方格，每个方格有2种选择，总个数为$2 × 2 × 2 × 2 = 2^4 = 16$。
（3）n×n网格共有$n^2$个小方格，可表示的信息总个数为$2^{n^2}$：
当n=2时，$2^{2^2}=2^4=16＜492$，不满足要求；
当n=3时，$2^{3^2}=2^9=512＞492$，满足要求，因此n的最小值为3。
【答案】
(1) 画树状图如图:共有4种等可能结果,
∴ 图③可表示不同信息的总个数为4; (2) 16 (3) 3.
【知识点】
列举法计数，乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合二维码的实际应用考查计数相关知识，从简单的单格、双格网格入手，逐步推导n×n网格的信息总数规律，既考查了列举法的应用，也要求学生能总结规律解决实际问题，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）图3包含2个不同位置的小方格，每个方格均有涂色、不涂色2种选择，可通过树状图列举所有等可能的情况，统计总个数即可。
（2）图4是2×2网格，共4个独立小方格，每个方格有2种选择，总信息数为每个方格选择数的乘积，即2的4次方。
（3）n×n网格共有n²个小方格，总信息数为$2^{n^2}$，只需找到使$2^{n^2}≥492$的最小正整数n即可。
【解析】
（1）画树状图如图
：由树状图可得，共有4种等可能的结果，因此图3可表示不同信息的总个数为4。
（2）2×2网格共有4个小方格，每个方格有2种选择，总个数为$2 × 2 × 2 × 2 = 2^4 = 16$。
（3）n×n网格共有$n^2$个小方格，可表示的信息总个数为$2^{n^2}$：
当n=2时，$2^{2^2}=2^4=16＜492$，不满足要求；
当n=3时，$2^{3^2}=2^9=512＞492$，满足要求，因此n的最小值为3。
【答案】
(1) 画树状图如图
:共有4种等可能结果,∴ 图③可表示不同信息的总个数为4; (2) 16 (3) 3.
【知识点】
列举法计数，乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合二维码的实际应用考查计数相关知识，从简单的单格、双格网格入手，逐步推导n×n网格的信息总数规律，既考查了列举法的应用，也要求学生能总结规律解决实际问题，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.7
23. 用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性. 每个元件正常工作的概率均为$\frac{1}{2}$，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.
（1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________；
如图2，用2个电子元件①②组成一个电路系统，系统正常工作的概率为________；
（2）如图3，用3个电子元件①②③组成一个电路系统，现提供两种连接方案，已知方案1电路系统正常工作的概率为$\frac{7}{8}$，求出方案2电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠.（用画树状图或列表方法求解）
（1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为________；
如图2，用2个电子元件①②组成一个电路系统，系统正常工作的概率为________；
（2）如图3，用3个电子元件①②③组成一个电路系统，现提供两种连接方案，已知方案1电路系统正常工作的概率为$\frac{7}{8}$，求出方案2电路系统正常工作的概率，说明哪种连接方案更稳定可靠.（用画树状图或列表方法求解）
答案
23. (1) 如图1,只用1个电子元件①,共有2种等可能的结果,该电路为断路的只有1种,所以该电路为断路的概率为概率为$\frac{1}{2}$,如图2,用2个电子元件①②组成一个电路系统,所有可能出现的结果如图1所示,共有4种等可能出现的结果,其中可以接通的有1种,所以由2个电子元件①②组成一个电路系统,系统正常工作的概率为$\frac{1}{4}$,故答案为:$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$; (2) 方案2电路系统,所有接法的等可能出现的结果如图
所示,共有8种等可能出现的结果情况,其中系统正常工作的概率为$\frac{3}{8}$,因为$\frac{7}{8}＞\frac{3}{8}$,所以方案1更可靠,答:方案2电路系统正常工作的概率为$\frac{3}{8}$,方案1的连接更稳定可靠.解析
【分析】
本题考查概率在电路可靠性场景的应用，解题思路清晰可循：1. 单个元件仅存在通、断2种等可能结果，可直接计算断路概率；2. 串联电路的通路要求是所有元件均正常工作，先枚举所有等可能的元件状态组合，再统计符合通路要求的组合数，即可算出对应概率；3. 方案2为混联电路，先明确通路条件：并联的①②至少一个正常工作，且串联的③必须正常工作，用树状图列出所有8种等可能的状态组合，统计符合通路条件的组合数算出概率后，和方案1的概率比较，概率更高的方案更可靠。
【解析】
（1）图1中元件①有“通”“断”2种等可能结果，断路为其中1种情况，因此电路断路的概率为$\frac{1}{2}$；
图2为①②串联电路，系统正常工作需要两个元件均为通路，枚举所有状态可得：（通，通）、（通，断）、（断，通）、（断，断）共4种等可能结果，仅（通，通）1种符合通路要求，因此系统正常工作的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）方案2电路为①②并联后与③串联，系统正常工作需同时满足：③为通路，且①②至少有一个为通路。
每个元件有2种状态，三个元件总共有$2×2×2=8$种等可能的状态组合，分别为：①通②通③通、①通②通③断、①通②断③通、①通②断③断、①断②通③通、①断②通③断、①断②断③通、①断②断③断。
其中符合正常工作要求的组合有3种：①通②通③通、①通②断③通、①断②通③通，因此方案2正常工作的概率为$\frac{3}{8}$。
已知方案1正常工作概率为$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}＞\frac{3}{8}$，因此方案1更稳定可靠。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；
(2) 方案2电路系统正常工作的概率为$\frac{3}{8}$，方案1的连接更稳定可靠。
【知识点】
概率计算，树状图法求概率，电路可靠性分析
【点评】
本题属于概率的实际应用类题目，将概率计算和电路通路规则结合，解题核心是先准确判断不同连接方式下电路通路的条件，再通过枚举或树状图统计所有等可能结果和符合要求的结果数，代入概率公式计算即可，做题时要注意区分串并联电路的通路要求，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
本题考查概率在电路可靠性场景的应用，解题思路清晰可循：1. 单个元件仅存在通、断2种等可能结果，可直接计算断路概率；2. 串联电路的通路要求是所有元件均正常工作，先枚举所有等可能的元件状态组合，再统计符合通路要求的组合数，即可算出对应概率；3. 方案2为混联电路，先明确通路条件：并联的①②至少一个正常工作，且串联的③必须正常工作，用树状图列出所有8种等可能的状态组合，统计符合通路条件的组合数算出概率后，和方案1的概率比较，概率更高的方案更可靠。
【解析】
（1）图1中元件①有“通”“断”2种等可能结果，断路为其中1种情况，因此电路断路的概率为$\frac{1}{2}$；
图2为①②串联电路，系统正常工作需要两个元件均为通路，枚举所有状态可得：（通，通）、（通，断）、（断，通）、（断，断）共4种等可能结果，仅（通，通）1种符合通路要求，因此系统正常工作的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）方案2电路为①②并联后与③串联，系统正常工作需同时满足：③为通路，且①②至少有一个为通路。
每个元件有2种状态，三个元件总共有$2×2×2=8$种等可能的状态组合，分别为：①通②通③通、①通②通③断、①通②断③通、①通②断③断、①断②通③通、①断②通③断、①断②断③通、①断②断③断。
其中符合正常工作要求的组合有3种：①通②通③通、①通②断③通、①断②通③通，因此方案2正常工作的概率为$\frac{3}{8}$。
已知方案1正常工作概率为$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}＞\frac{3}{8}$，因此方案1更稳定可靠。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；
(2) 方案2电路系统正常工作的概率为$\frac{3}{8}$，方案1的连接更稳定可靠。
【知识点】
概率计算，树状图法求概率，电路可靠性分析
【点评】
本题属于概率的实际应用类题目，将概率计算和电路通路规则结合，解题核心是先准确判断不同连接方式下电路通路的条件，再通过枚举或树状图统计所有等可能结果和符合要求的结果数，代入概率公式计算即可，做题时要注意区分串并联电路的通路要求，避免判断失误。
【难度系数】
0.6
