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10. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动。活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会。抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖。同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份。现已知某顾客获得抽奖机会。
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由。
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由。
答案
10. （1）顾客首次摸球的所有可能结果为红,黄①,黄②,黄③,共4种等可能的结果,记“首次摸得红球”为事件A,则事件A发生的结果只有1种,
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$,
∴ 顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$；
（2）他应往袋中加入黄球;理由如下:记往袋中加入的球为“新”,摸得的两球所有可能的结果列表如下：
| | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | | 红,黄① | 红,黄② | 红,黄③ | 红,新 |
| 黄① | 黄①,红 | | 黄①,黄② | 黄①,黄③ | 黄①,新 |
| 黄② | 黄②,红 | 黄②,黄① | | 黄②,黄③ | 黄②,新 |
| 黄③ | 黄③,红 | 黄③,黄① | 黄③,黄② | | 黄③,新 |
| 新 | 新,红 | 新,黄① | 新,黄② | 新,黄③ | |
共有20种等可能结果,(i) 若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$;(ii) 若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$;
∵ $\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$,
∴ $P_1＜P_2$,
∴ 他应往袋中加入黄球.
∴ $P(A)=\frac{1}{4}$,
∴ 顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$；
（2）他应往袋中加入黄球;理由如下:记往袋中加入的球为“新”,摸得的两球所有可能的结果列表如下：
| | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | | 红,黄① | 红,黄② | 红,黄③ | 红,新 |
| 黄① | 黄①,红 | | 黄①,黄② | 黄①,黄③ | 黄①,新 |
| 黄② | 黄②,红 | 黄②,黄① | | 黄②,黄③ | 黄②,新 |
| 黄③ | 黄③,红 | 黄③,黄① | 黄③,黄② | | 黄③,新 |
| 新 | 新,红 | 新,黄① | 新,黄② | 新,黄③ | |
共有20种等可能结果,(i) 若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$;(ii) 若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$;
∵ $\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$,
∴ $P_1＜P_2$,
∴ 他应往袋中加入黄球.
解析
【分析】
（1）第一问属于古典概型的基础计算，首先明确首次摸球时袋中共有4个等可能被摸到的球，中奖的情况仅为摸到红球1种，直接代入概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$即可求解。
（2）第二问为概率决策类问题，需要分别计算加入红球、加入黄球两种情况下，两次不放回摸球颜色相同的概率，再比较两个概率的大小，选择概率更高的方案即可。计算概率时可通过列表法梳理所有等可能结果，再统计符合“两球颜色相同”的结果数，代入公式计算。
【解析】
（1）顾客首次摸球时，袋中共有1个红球、3个编号黄球，共4种等可能的结果，记“首次摸得红球中奖”为事件A，事件A包含的结果只有1种，因此：
$P(A)=\frac{1}{4}$
（2）该顾客应往袋中加入黄球，理由如下：
首次摸球未中奖，摸到的黄球已放回袋中，此时往袋中加入1个新球后袋中共有5个球，用列表法列举不放回摸两次球的所有等可能结果，共有20种等可能情况：
（i）若加入的是红球，此时袋中有2个红球、3个黄球，两球颜色相同的结果共8种，因此获得精美礼品的概率：
$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
（ii）若加入的是黄球，此时袋中有1个红球、4个黄球，两球颜色相同的结果共12种，因此获得精美礼品的概率：
$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，即$P_1＜P_2$，加入黄球获得礼品的概率更大，因此应选择加入黄球。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；
（2）应往袋中加入黄球，理由见解析。
【知识点】
古典概型计算、列举法求概率、概率实际应用
【点评】
本题结合生活中的抽奖促销场景考查概率知识，既巩固了概率的基础计算方法，也体现了概率在实际决策中的作用，解题的关键是准确梳理所有等可能事件，正确代入公式计算概率。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于古典概型的基础计算，首先明确首次摸球时袋中共有4个等可能被摸到的球，中奖的情况仅为摸到红球1种，直接代入概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$即可求解。
（2）第二问为概率决策类问题，需要分别计算加入红球、加入黄球两种情况下，两次不放回摸球颜色相同的概率，再比较两个概率的大小，选择概率更高的方案即可。计算概率时可通过列表法梳理所有等可能结果，再统计符合“两球颜色相同”的结果数，代入公式计算。
【解析】
（1）顾客首次摸球时，袋中共有1个红球、3个编号黄球，共4种等可能的结果，记“首次摸得红球中奖”为事件A，事件A包含的结果只有1种，因此：
$P(A)=\frac{1}{4}$
（2）该顾客应往袋中加入黄球，理由如下：
首次摸球未中奖，摸到的黄球已放回袋中，此时往袋中加入1个新球后袋中共有5个球，用列表法列举不放回摸两次球的所有等可能结果，共有20种等可能情况：
（i）若加入的是红球，此时袋中有2个红球、3个黄球，两球颜色相同的结果共8种，因此获得精美礼品的概率：
$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
（ii）若加入的是黄球，此时袋中有1个红球、4个黄球，两球颜色相同的结果共12种，因此获得精美礼品的概率：
$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，即$P_1＜P_2$，加入黄球获得礼品的概率更大，因此应选择加入黄球。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；
（2）应往袋中加入黄球，理由见解析。
【知识点】
古典概型计算、列举法求概率、概率实际应用
【点评】
本题结合生活中的抽奖促销场景考查概率知识，既巩固了概率的基础计算方法，也体现了概率在实际决策中的作用，解题的关键是准确梳理所有等可能事件，正确代入公式计算概率。
【难度系数】
0.7
11. 某商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动,顾客只能从以下两种方案中选择一种:
方案一:购物每满200元减66元;
方案二:顾客购物达到200元可抽奖一次,具体规则是:在一个箱子内装有四张一样的卡片,四张卡片中有2张写着数字1,2张写着数字5.顾客随机从箱子内抽出两张卡片,两张卡片上的数字和记为$ω$,$ω$的值和享受的优惠如表所示.
(1) 若按方案二的抽奖方式,利用树形图(或列表法)求一次抽奖获得7折优惠的概率;
(2) 若某顾客的购物金额为$a$元$(200＜a＜300)$,请用所学统计与概率的知识,求出选择方案二更优惠时$a$的取值范围.
方案一:购物每满200元减66元;
方案二:顾客购物达到200元可抽奖一次,具体规则是:在一个箱子内装有四张一样的卡片,四张卡片中有2张写着数字1,2张写着数字5.顾客随机从箱子内抽出两张卡片,两张卡片上的数字和记为$ω$,$ω$的值和享受的优惠如表所示.
(1) 若按方案二的抽奖方式,利用树形图(或列表法)求一次抽奖获得7折优惠的概率;
(2) 若某顾客的购物金额为$a$元$(200＜a＜300)$,请用所学统计与概率的知识,求出选择方案二更优惠时$a$的取值范围.
答案
11. （1）根据题意画图如下:
共有12种等可能的情况数,其中一次抽奖获得7折优惠的有8种,则一次抽奖获得7折优惠的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$；（2）由题意得:$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$,解得:$a＞220$,
∵ $220＜a＜300$,
∴ $220＜a＜300$.
解析
【分析】
(1) 要计算一次抽奖获得7折优惠的概率，首先明确7折对应卡片数字和$ω=6$，我们先通过树状图列出抽取2张卡片的所有等可能结果，统计出$ω=6$的结果数，再根据概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$”计算即可。
(2) 要确定方案二更优惠时$a$的范围，首先分别得出两种方案的实际付款：方案一因$200＜a＜300$，满200减66，实际付款为$(a-66)$元；方案二先算出不同折扣对应的概率，再计算方案二的平均实际付款，令方案一付款＞方案二平均付款，解不等式后结合$200＜a＜300$的限制，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将2张写1的卡片记为$1_1$、$1_2$，2张写5的卡片记为$5_1$、$5_2$，画树状图可得所有等可能的抽取情况共12种；其中两张卡片数字和$ω=6$（对应7折优惠）的情况共8种，因此一次抽奖获得7折优惠的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2) 先计算方案二各折扣对应的概率：$ω=2$（8折）的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，$ω=6$（7折）的概率为$\frac{2}{3}$，$ω=10$（6折）的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
方案二的平均实际付款为$a×0.8×\frac{1}{6}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{1}{6}$，方案一实际付款为$(a-66)$元，方案二更优惠时满足：
$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$
化简得：$a-66＞0.7a$，解得$a＞220$，结合$200＜a＜300$的条件，最终得$220＜a＜300$。
【答案】
11. （1）根据题意画图如下:共有12种等可能的情况数,其中一次抽奖获得7折优惠的有8种,则一次抽奖获得7折优惠的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$；
（2）由题意得:$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$,解得:$a＞220$,
∵ $220＜a＜300$,
∴ $220＜a＜300$.
【知识点】
树状图求概率，概率的实际应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的商场促销场景，既考查了概率的基础计算能力，又考查了运用概率知识解决实际决策问题的能力，贴近生活实际，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算一次抽奖获得7折优惠的概率，首先明确7折对应卡片数字和$ω=6$，我们先通过树状图列出抽取2张卡片的所有等可能结果，统计出$ω=6$的结果数，再根据概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$”计算即可。
(2) 要确定方案二更优惠时$a$的范围，首先分别得出两种方案的实际付款：方案一因$200＜a＜300$，满200减66，实际付款为$(a-66)$元；方案二先算出不同折扣对应的概率，再计算方案二的平均实际付款，令方案一付款＞方案二平均付款，解不等式后结合$200＜a＜300$的限制，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将2张写1的卡片记为$1_1$、$1_2$，2张写5的卡片记为$5_1$、$5_2$，画树状图可得所有等可能的抽取情况共12种；其中两张卡片数字和$ω=6$（对应7折优惠）的情况共8种，因此一次抽奖获得7折优惠的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(2) 先计算方案二各折扣对应的概率：$ω=2$（8折）的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，$ω=6$（7折）的概率为$\frac{2}{3}$，$ω=10$（6折）的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
方案二的平均实际付款为$a×0.8×\frac{1}{6}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{1}{6}$，方案一实际付款为$(a-66)$元，方案二更优惠时满足：
$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$
化简得：$a-66＞0.7a$，解得$a＞220$，结合$200＜a＜300$的条件，最终得$220＜a＜300$。
【答案】
11. （1）根据题意画图如下:
共有12种等可能的情况数,其中一次抽奖获得7折优惠的有8种,则一次抽奖获得7折优惠的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$；（2）由题意得:$a-66＞a×0.8×\frac{2}{12}+a×0.7×\frac{2}{3}+a×0.6×\frac{2}{12}$,解得:$a＞220$,
∵ $220＜a＜300$,
∴ $220＜a＜300$.
【知识点】
树状图求概率，概率的实际应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活中的商场促销场景，既考查了概率的基础计算能力，又考查了运用概率知识解决实际决策问题的能力，贴近生活实际，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
