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8. (2025·陕西)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”(分别记作A,B,C,D,E)共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了
，卡片背面保持完全相同.
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
，卡片背面保持完全相同.（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
$\frac{1}{5}$
；（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
答案
8. (1) $\frac{1}{5}$ (2) 画树状图如下：
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴ 这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
（1）第一小问是单步随机试验的概率计算，先确定所有等可能的总结果数，再找到“抽到科技”对应的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$即可求解。
（2）第二小问是有放回的两步抽取试验，可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再从中统计“两个小组研究方向不同”的结果数，代入概率公式计算即可。也可先找两个小组研究方向相同的结果，用总结果数减去相同结果数快速得到不同结果数，简化计算。
【解析】
（1）共有5张完全相同的卡片，随机抽取1张共有5种等可能的结果，其中抽到“科技”卡片的结果只有1种，因此抽到“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
（2）本次抽取为放回式抽取，画树状图如下：
由树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两个小组研究方向不同的结果有20种（也可通过排除法计算：两个小组方向相同的结果有AA、BB、CC、DD、EE共5种，因此不同结果数为$25-5=20$种）。
因此两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$
(2) 画树状图如下：
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴ 这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；放回试验概率计算
【点评】
本题是概率板块的常规基础题型，第一问考查单步事件概率的直接计算，第二问考查两步放回事件的概率求解，核心是掌握用树状图/列表法列举所有等可能结果的方法，熟练运用概率公式即可解答。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问是单步随机试验的概率计算，先确定所有等可能的总结果数，再找到“抽到科技”对应的结果数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$即可求解。
（2）第二小问是有放回的两步抽取试验，可通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再从中统计“两个小组研究方向不同”的结果数，代入概率公式计算即可。也可先找两个小组研究方向相同的结果，用总结果数减去相同结果数快速得到不同结果数，简化计算。
【解析】
（1）共有5张完全相同的卡片，随机抽取1张共有5种等可能的结果，其中抽到“科技”卡片的结果只有1种，因此抽到“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
（2）本次抽取为放回式抽取，画树状图如下：
由树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两个小组研究方向不同的结果有20种（也可通过排除法计算：两个小组方向相同的结果有AA、BB、CC、DD、EE共5种，因此不同结果数为$25-5=20$种）。
因此两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$
(2) 画树状图如下：
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴ 这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；放回试验概率计算
【点评】
本题是概率板块的常规基础题型，第一问考查单步事件概率的直接计算，第二问考查两步放回事件的概率求解，核心是掌握用树状图/列表法列举所有等可能结果的方法，熟练运用概率公式即可解答。
【难度系数】
0.8
9. 如图,三根同样的绳子$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$穿过一块木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两侧,每次各自选取本侧的一根绳子,每根绳子被选中的机会相等.
(1) 姐姐从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$BB_1$的概率为
(2) 在互相看不见的条件下,姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,妹妹从右端$A_1$、$B_1$、$C_1$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
(1) 姐姐从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子$BB_1$的概率为
$\frac{1}{3}$
;(2) 在互相看不见的条件下,姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,妹妹从右端$A_1$、$B_1$、$C_1$三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
答案
9. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 列举得:$ABA_1B_1,ABA_1C_1,ABB_1C_1,ACA_1B_1,ACA_1C_1,ACB_1C_1,BCA_1B_1,BCA_1C_1,BCB_1C_1;$
∴ 共有9种等可能的结果,其中符合题意的有6种,
∴ 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是:$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
∴ 共有9种等可能的结果,其中符合题意的有6种,
∴ 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是:$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
（1）第一问属于简单的等可能事件概率计算，总共有3根绳子，每根被选中的概率相等，符合条件的情况只有选中$BB_1$这1种，直接用概率公式计算即可。
（2）第二问需要先列出所有等可能的结果：姐姐从三个绳头选2个打结，共有AB、AC、BC3种选法；妹妹从右端三个绳头选2个打结，共有$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$3种选法，二者组合共有9种等可能的总结果。再判断哪些情况能让三根绳子连成一根长绳：若两人选择的打结组合是同一对绳子的两端（如姐姐选AB、妹妹选$A_1B_1$），则这两根绳子会形成独立的短段，剩下第三根绳子单独，无法连成一根长绳，其余情况都符合要求，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
（1）三根绳子被选中的机会相等，总共有3种等可能的选择结果，恰好选中绳子$BB_1$的情况有1种，
故恰好选中绳子$BB_1$的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）姐姐选两个绳头打结的所有可能为：AB、AC、BC，共3种；
妹妹选两个绳头打结的所有可能为：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$，共3种；
组合后所有等可能的结果为：$ABA_1B_1,ABA_1C_1,ABB_1C_1,ACA_1B_1,ACA_1C_1,ACB_1C_1,BCA_1B_1,BCA_1C_1,BCB_1C_1$，共9种。
其中能让三根绳子连接成一根长绳的结果有6种，
根据概率公式可得，这三根绳子能连接成一根长绳的概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{\frac{1}{3}}$；（2）$\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
简单概率计算、列举法求概率、等可能事件
【点评】
本题考查概率的相关计算，第一问属于基础题，直接套用概率公式即可求解；第二问需要先准确列举所有等可能的结果，再结合题意筛选出符合要求的情况，解题的关键是正确理解“三根绳子连接成一根长绳”的判定条件，避免错判结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于简单的等可能事件概率计算，总共有3根绳子，每根被选中的概率相等，符合条件的情况只有选中$BB_1$这1种，直接用概率公式计算即可。
（2）第二问需要先列出所有等可能的结果：姐姐从三个绳头选2个打结，共有AB、AC、BC3种选法；妹妹从右端三个绳头选2个打结，共有$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$3种选法，二者组合共有9种等可能的总结果。再判断哪些情况能让三根绳子连成一根长绳：若两人选择的打结组合是同一对绳子的两端（如姐姐选AB、妹妹选$A_1B_1$），则这两根绳子会形成独立的短段，剩下第三根绳子单独，无法连成一根长绳，其余情况都符合要求，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
（1）三根绳子被选中的机会相等，总共有3种等可能的选择结果，恰好选中绳子$BB_1$的情况有1种，
故恰好选中绳子$BB_1$的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）姐姐选两个绳头打结的所有可能为：AB、AC、BC，共3种；
妹妹选两个绳头打结的所有可能为：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$，共3种；
组合后所有等可能的结果为：$ABA_1B_1,ABA_1C_1,ABB_1C_1,ACA_1B_1,ACA_1C_1,ACB_1C_1,BCA_1B_1,BCA_1C_1,BCB_1C_1$，共9种。
其中能让三根绳子连接成一根长绳的结果有6种，
根据概率公式可得，这三根绳子能连接成一根长绳的概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{\frac{1}{3}}$；（2）$\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
简单概率计算、列举法求概率、等可能事件
【点评】
本题考查概率的相关计算，第一问属于基础题，直接套用概率公式即可求解；第二问需要先准确列举所有等可能的结果，再结合题意筛选出符合要求的情况，解题的关键是正确理解“三根绳子连接成一根长绳”的判定条件，避免错判结果。
【难度系数】
0.7
