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一、单选题
1. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是(
A.$x^2+4$
B.$x^2-1$
C.$x+9$
D.$x^2-6x$
1. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是(
B
)A.$x^2+4$
B.$x^2-1$
C.$x+9$
D.$x^2-6x$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确平方差公式因式分解的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此符合要求的多项式必须满足三个要点：第一，是二项式；第二，两项都能写成某个整式的平方的形式；第三，两项的符号相反。接下来逐一对照每个选项判断是否符合上述条件即可。
【解析】
解：平方差公式因式分解的结构为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，需满足二项式、两项均为平方形式、两项符号相反的特征。
逐一分析选项：
A. $x^2+4$为二项式，两项均为平方形式，但两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
B. $x^2-1 = x^2 - 1^2$，满足二项式、两项均为平方形式、符号相反，可分解为$(x+1)(x-1)$，符合要求；
C. $x+9$为二项式，但第一项$x$不是平方形式，不符合要求；
D. $x^2-6x$为二项式，但第二项$-6x$不是平方形式，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的关键是牢记平方差公式的结构特征，准确判断多项式的项的特点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确平方差公式因式分解的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此符合要求的多项式必须满足三个要点：第一，是二项式；第二，两项都能写成某个整式的平方的形式；第三，两项的符号相反。接下来逐一对照每个选项判断是否符合上述条件即可。
【解析】
解：平方差公式因式分解的结构为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，需满足二项式、两项均为平方形式、两项符号相反的特征。
逐一分析选项：
A. $x^2+4$为二项式，两项均为平方形式，但两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
B. $x^2-1 = x^2 - 1^2$，满足二项式、两项均为平方形式、符号相反，可分解为$(x+1)(x-1)$，符合要求；
C. $x+9$为二项式，但第一项$x$不是平方形式，不符合要求；
D. $x^2-6x$为二项式，但第二项$-6x$不是平方形式，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的关键是牢记平方差公式的结构特征，准确判断多项式的项的特点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是(
A.$x^2 + 2xy + 4y^2$
B.$x^2 - x + \frac{1}{4}$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 + 6x + 9$
A
)A.$x^2 + 2xy + 4y^2$
B.$x^2 - x + \frac{1}{4}$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 + 6x + 9$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即多项式需是三项式，其中两项为两个数（或式子）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需逐个对照选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
选项A：$x^2+2xy+4y^2$中，两个平方项为$x^2$和$4y^2=(2y)^2$，对应底数是$x$和$2y$，则中间项应为$\pm 2· x· 2y=\pm4xy$，但题中中间项是$2xy$，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 - x + \frac{1}{4}$中，平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2})^2$，中间项是$-2· x· \frac{1}{2}=-x$，符合结构，可分解为$(x-\frac{1}{2})^2$。
选项C：$x^2 -2x +1$中，平方项为$x^2$和$1^2$，中间项是$-2· x·1=-2x$，符合结构，可分解为$(x-1)^2$。
选项D：$x^2 +6x +9$中，平方项为$x^2$和$3^2$，中间项是$2· x·3=6x$，符合结构，可分解为$(x+3)^2$。
综上，只有A选项不能用完全平方公式分解因式。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的三项结构特征，尤其要注意中间项的系数是两个平方项底数乘积的2倍，避免因记错系数特征出错。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即多项式需是三项式，其中两项为两个数（或式子）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需逐个对照选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
选项A：$x^2+2xy+4y^2$中，两个平方项为$x^2$和$4y^2=(2y)^2$，对应底数是$x$和$2y$，则中间项应为$\pm 2· x· 2y=\pm4xy$，但题中中间项是$2xy$，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 - x + \frac{1}{4}$中，平方项为$x^2$和$(\frac{1}{2})^2$，中间项是$-2· x· \frac{1}{2}=-x$，符合结构，可分解为$(x-\frac{1}{2})^2$。
选项C：$x^2 -2x +1$中，平方项为$x^2$和$1^2$，中间项是$-2· x·1=-2x$，符合结构，可分解为$(x-1)^2$。
选项D：$x^2 +6x +9$中，平方项为$x^2$和$3^2$，中间项是$2· x·3=6x$，符合结构，可分解为$(x+3)^2$。
综上，只有A选项不能用完全平方公式分解因式。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的三项结构特征，尤其要注意中间项的系数是两个平方项底数乘积的2倍，避免因记错系数特征出错。
【难度系数】
0.8
3. 如果$x^2 - mx + 4$是一个完全平方式，那么$m$的值为(
A.-4
B.4
C.±2
D.±4
D
)A.-4
B.4
C.±2
D.±4
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2 = a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种情况。首先确定给定三项式的首项和常数项对应的a、b：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项$4=2^2$对应$b^2$，可得$b=2$。再根据中间项的两种可能（$\pm2ab$），结合原式的中间项建立关于m的等式，即可求出m的值，注意不要漏掉其中一种情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
已知$x^2 - mx + 4$是完全平方式：
首项$x^2=(x)^2$，常数项$4=2^2$，因此该完全平方式可表示为$(x\pm2)^2$
分别展开两种情况：
1. 当完全平方式为$(x+2)^2$时，展开得$x^2 + 4x + 4$，和原式$x^2 - mx +4$对比对应项系数，可得$-m=4$，解得$m=-4$
2. 当完全平方式为$(x-2)^2$时，展开得$x^2 - 4x + 4$，和原式对比对应项系数，可得$-m=-4$，解得$m=4$
综上，m的值为$\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；多项式对应项系数相等
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易只考虑差的平方或和的平方其中一种情况，导致漏解，解题时需牢记完全平方式有两种结构，全面分析所有可能情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2 = a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种情况。首先确定给定三项式的首项和常数项对应的a、b：首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项$4=2^2$对应$b^2$，可得$b=2$。再根据中间项的两种可能（$\pm2ab$），结合原式的中间项建立关于m的等式，即可求出m的值，注意不要漏掉其中一种情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
已知$x^2 - mx + 4$是完全平方式：
首项$x^2=(x)^2$，常数项$4=2^2$，因此该完全平方式可表示为$(x\pm2)^2$
分别展开两种情况：
1. 当完全平方式为$(x+2)^2$时，展开得$x^2 + 4x + 4$，和原式$x^2 - mx +4$对比对应项系数，可得$-m=4$，解得$m=-4$
2. 当完全平方式为$(x-2)^2$时，展开得$x^2 - 4x + 4$，和原式对比对应项系数，可得$-m=-4$，解得$m=4$
综上，m的值为$\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；多项式对应项系数相等
【点评】
本题核心考查完全平方公式的应用，易错点是容易只考虑差的平方或和的平方其中一种情况，导致漏解，解题时需牢记完全平方式有两种结构，全面分析所有可能情况。
【难度系数】
0.7
4. 计算$55^2 - 45^2$等于(
A.1 000
B.100
C.1 100
D.1110
A
)A.1 000
B.100
C.1 100
D.1110
答案
4.A
解析
【分析】
观察算式可知是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先选择平方差公式进行简便运算，无需分别计算两个数的平方再相减，可有效降低计算量。首先回忆平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，确定本题中$a=55$，$b=45$，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式计算如下：
$\begin{aligned}55^2 - 45^2&=(55+45)×(55-45)\\&=100×10\\&=1000\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题属于基础运算题，合理运用平方差公式可简化计算流程，相较于直接计算乘方再作差的方法，运算效率更高，也能减少计算失误的概率。
【难度系数】
0.9
观察算式可知是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先选择平方差公式进行简便运算，无需分别计算两个数的平方再相减，可有效降低计算量。首先回忆平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，确定本题中$a=55$，$b=45$，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式计算如下：
$\begin{aligned}55^2 - 45^2&=(55+45)×(55-45)\\&=100×10\\&=1000\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题属于基础运算题，合理运用平方差公式可简化计算流程，相较于直接计算乘方再作差的方法，运算效率更高，也能减少计算失误的概率。
【难度系数】
0.9
5.若$ax^2+by^2=(3x+4y)(3x-4y)$，则$a+b$的值为(
A.7
B.-1
C.25
D.-7
D
)A.7
B.-1
C.25
D.-7
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先观察等式右侧的乘积式符合平方差公式的结构特征，第一步先利用平方差公式将右侧式子展开，再根据等式两边同类项的系数对应相等的原则，分别求出a、b的取值，最后代入计算a+b的值即可得到答案。
【解析】
1. 利用平方差公式展开等式右侧：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，令$m=3x$，$n=4y$，可得：
$(3x+4y)(3x-4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2$
2. 对应同类项系数求a、b：
已知$ax^2+by^2=9x^2-16y^2$，等式两边同类项系数相等，因此$a=9$，$b=-16$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=9+(-16)=-7$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，同类项系数相等，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，核心考查平方差公式的正确应用，以及多项式相等时对应系数相等的性质，只要熟练掌握平方差公式的展开规则，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式右侧的乘积式符合平方差公式的结构特征，第一步先利用平方差公式将右侧式子展开，再根据等式两边同类项的系数对应相等的原则，分别求出a、b的取值，最后代入计算a+b的值即可得到答案。
【解析】
1. 利用平方差公式展开等式右侧：
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，令$m=3x$，$n=4y$，可得：
$(3x+4y)(3x-4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2$
2. 对应同类项系数求a、b：
已知$ax^2+by^2=9x^2-16y^2$，等式两边同类项系数相等，因此$a=9$，$b=-16$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=9+(-16)=-7$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，同类项系数相等，代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，核心考查平方差公式的正确应用，以及多项式相等时对应系数相等的性质，只要熟练掌握平方差公式的展开规则，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
6. 小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式$a^2 - □ b^2$中“$□$”的部分. 若该二项式能分解因式，则“$□$”不可能是(
A.$a$
B.$-9$
C.$25$
D.$a^2$
B
)A.$a$
B.$-9$
C.$25$
D.$a^2$
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查二项式的因式分解判定，解题思路是将各选项依次代入“□”的位置，分别判断得到的二项式能否用提公因式法或平方差公式进行因式分解，无法分解的即为所求选项。解题时需牢记：因式分解的常用方法为提公因式法和公式法，平方差公式适用条件是两项均为平方项且符号相反。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 代入选项A：原式为$a^2 - ab^2$，可提取公因式$a$，分解得$a(a - b^2)$，可以分解因式，不符合题意；
2. 代入选项B：原式为$a^2 - (-9)b^2 = a^2 + 9b^2$，该式是两个平方项的和，无公因式，也不符合平方差公式的结构，无法分解因式，符合题意；
3. 代入选项C：原式为$a^2 - 25b^2$，符合平方差公式结构，分解得$(a + 5b)(a - 5b)$，可以分解因式，不符合题意；
4. 代入选项D：原式为$a^2 - a^2b^2$，先提取公因式$a^2$得$a^2(1 - b^2)$，再用平方差公式分解得$a^2(1 + b)(1 - b)$，可以分解因式，不符合题意。
综上，只有选项B对应的二项式无法分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题需要熟练掌握因式分解的两种基本方法，解题时要注意先判断是否有公因式可提，再判断是否符合平方差公式的结构特征，尤其要注意平方差公式要求两项符号相反的条件，避免误判符号问题。
【难度系数】
0.7
本题考查二项式的因式分解判定，解题思路是将各选项依次代入“□”的位置，分别判断得到的二项式能否用提公因式法或平方差公式进行因式分解，无法分解的即为所求选项。解题时需牢记：因式分解的常用方法为提公因式法和公式法，平方差公式适用条件是两项均为平方项且符号相反。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
1. 代入选项A：原式为$a^2 - ab^2$，可提取公因式$a$，分解得$a(a - b^2)$，可以分解因式，不符合题意；
2. 代入选项B：原式为$a^2 - (-9)b^2 = a^2 + 9b^2$，该式是两个平方项的和，无公因式，也不符合平方差公式的结构，无法分解因式，符合题意；
3. 代入选项C：原式为$a^2 - 25b^2$，符合平方差公式结构，分解得$(a + 5b)(a - 5b)$，可以分解因式，不符合题意；
4. 代入选项D：原式为$a^2 - a^2b^2$，先提取公因式$a^2$得$a^2(1 - b^2)$，再用平方差公式分解得$a^2(1 + b)(1 - b)$，可以分解因式，不符合题意。
综上，只有选项B对应的二项式无法分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题需要熟练掌握因式分解的两种基本方法，解题时要注意先判断是否有公因式可提，再判断是否符合平方差公式的结构特征，尤其要注意平方差公式要求两项符号相反的条件，避免误判符号问题。
【难度系数】
0.7
7. 有下列多项式:①$-x^2+16y^2$;②$81(a^2-2ab+b^2)-(a+b)^2$;③$3n^2-\frac{2}{3}mn+\frac{1}{9}n^2$;④$-x^2-y^2$. 其中能用公式法分解因式的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.B
解析
【分析】
要判断多项式能否用公式法分解因式，首先要明确因式分解常用的两个公式：平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，牢记两个公式的结构特征，再逐一分析每个多项式是否符合对应公式的结构，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确两个因式分解公式的特征：
1. 平方差公式特征：①两项式；②两项均可写成平方形式；③两项符号相反。
2. 完全平方公式特征：①三项式；②有两项是同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。
逐一判断：
①$-x^2+16y^2=(4y)^2-x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4y+x)(4y-x)$，能用公式法分解；
②先整理原式：$81(a^2-2ab+b^2)-(a+b)^2=81(a-b)^2-(a+b)^2=[9(a-b)]^2-(a+b)^2$，符合平方差公式特征，可用公式法分解；
③$3n^2-\frac{2}{3}mn+\frac{1}{9}n^2$，合并同类项后为$\frac{28}{9}n^2-\frac{2}{3}mn$，既不符合平方差公式特征，也不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解；
④$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合平方差公式特征，也不是三项式，不能用公式法分解。
综上，能用公式法分解因式的有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
公式法分解因式；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题核心考查对因式分解常用公式结构特征的理解与应用，解题时需先对可化简的多项式先化简，再对照公式特征判断，避免未化简直接判断出错。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用公式法分解因式，首先要明确因式分解常用的两个公式：平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$、完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，牢记两个公式的结构特征，再逐一分析每个多项式是否符合对应公式的结构，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确两个因式分解公式的特征：
1. 平方差公式特征：①两项式；②两项均可写成平方形式；③两项符号相反。
2. 完全平方公式特征：①三项式；②有两项是同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。
逐一判断：
①$-x^2+16y^2=(4y)^2-x^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4y+x)(4y-x)$，能用公式法分解；
②先整理原式：$81(a^2-2ab+b^2)-(a+b)^2=81(a-b)^2-(a+b)^2=[9(a-b)]^2-(a+b)^2$，符合平方差公式特征，可用公式法分解；
③$3n^2-\frac{2}{3}mn+\frac{1}{9}n^2$，合并同类项后为$\frac{28}{9}n^2-\frac{2}{3}mn$，既不符合平方差公式特征，也不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解；
④$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合平方差公式特征，也不是三项式，不能用公式法分解。
综上，能用公式法分解因式的有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
公式法分解因式；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题核心考查对因式分解常用公式结构特征的理解与应用，解题时需先对可化简的多项式先化简，再对照公式特征判断，避免未化简直接判断出错。
【难度系数】
0.7
1. 因式分解：$m^2 - 16 =$
(m+4)(m-4)
.答案
1.(m+4)(m-4)
解析
【分析】
拿到因式分解题目先观察式子结构，本题中$m^2$是$m$的平方，16是$4$的平方，整个式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，确定公式中$a$对应$m$、$b$对应$4$，直接套用公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$m^2 - 16$
$=m^2 - 4^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=m$，$b=4$，可得：
原式$=(m+4)(m-4)$
【答案】
$(m+4)(m-4)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，牢记公式的形式特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目先观察式子结构，本题中$m^2$是$m$的平方，16是$4$的平方，整个式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，确定公式中$a$对应$m$、$b$对应$4$，直接套用公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$m^2 - 16$
$=m^2 - 4^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=m$，$b=4$，可得：
原式$=(m+4)(m-4)$
【答案】
$(m+4)(m-4)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，牢记公式的形式特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 因式分解：$a^2 -4ab +4b^2 =$
(a-2b)²
.答案
2.(a-2b)²
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，先判断是否有公因式，本题多项式无公因式，再观察项数：共3项，符合完全平方公式的项数特征。接下来对应完全平方公式的结构“首平方，尾平方，乘积两倍在中央”，确认首项是a的平方，尾项是(2b)的平方，中间项是a和2b乘积的2倍且符号为负，符合完全平方差公式的特征，因此可以套用完全平方差公式进行因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 -4ab +4b^2$，可将其变形为：
$a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2$
根据完全平方差公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$，令$m=a$，$n=2b$，代入得：
$a^2 -4ab +4b^2 = (a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确匹配公式对应的各项即可完成分解，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构，先判断是否有公因式，本题多项式无公因式，再观察项数：共3项，符合完全平方公式的项数特征。接下来对应完全平方公式的结构“首平方，尾平方，乘积两倍在中央”，确认首项是a的平方，尾项是(2b)的平方，中间项是a和2b乘积的2倍且符号为负，符合完全平方差公式的特征，因此可以套用完全平方差公式进行因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 -4ab +4b^2$，可将其变形为：
$a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2$
根据完全平方差公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$，令$m=a$，$n=2b$，代入得：
$a^2 -4ab +4b^2 = (a-2b)^2$
【答案】
$(a-2b)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的公式法应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确匹配公式对应的各项即可完成分解，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 若$a+b=2026,a-b=1$,则$a^2 - b^2 =$
2026
.答案
3.2026
解析
【分析】
首先观察所求的代数式$a^2 - b^2$，它符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，分解后式子为$(a+b)(a-b)$，题目中已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，直接将数值代入分解后的式子计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=2026$，$a-b=1$，将其代入上式计算：
原式$=2026×1=2026$
【答案】
2026
【知识点】
平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，将所求式子变形后直接代入已知条件计算即可，运算量很小。
【难度系数】
0.9
首先观察所求的代数式$a^2 - b^2$，它符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，分解后式子为$(a+b)(a-b)$，题目中已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，直接将数值代入分解后的式子计算即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=2026$，$a-b=1$，将其代入上式计算：
原式$=2026×1=2026$
【答案】
2026
【知识点】
平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，将所求式子变形后直接代入已知条件计算即可，运算量很小。
【难度系数】
0.9
4. 将$2mx^2 - 4mxy + 2my^2$分解因式后的结果为
2m(x-y)²
.答案
4.2m(x-y)²
解析
【分析】
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。本题先观察到各项都有公因式2m，提取后剩下的二次三项式刚好符合完全平方公式的结构，继续分解即可。
【解析】
对原式分步分解：
1. 提取公因式$2m$：
$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 = 2m(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 观察括号内的多项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
综上，原式分解结果为$2m(x-y)^2$
【答案】
$2m(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式，再结合公式分解，最后注意确认分解结果彻底，没有可继续分解的因式即可。
【难度系数】
0.8
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，保证每个因式都不能再分解。本题先观察到各项都有公因式2m，提取后剩下的二次三项式刚好符合完全平方公式的结构，继续分解即可。
【解析】
对原式分步分解：
1. 提取公因式$2m$：
$2mx^2 - 4mxy + 2my^2 = 2m(x^2 - 2xy + y^2)$
2. 观察括号内的多项式，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$，因此：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
综上，原式分解结果为$2m(x-y)^2$
【答案】
$2m(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的基本步骤，优先提取公因式，再结合公式分解，最后注意确认分解结果彻底，没有可继续分解的因式即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知正方形的面积为$9x^2+30xy+25y^2(x＞0,y＞0)$，利用因式分解可以求出正方形的边长为
3x+5y
（用代数式表示）答案
5.3x+5y
解析
【分析】
解题思路如下：1. 明确正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此只需将给出的面积代数式因式分解为完全平方的形式，其正的底数即为边长；2. 观察多项式$9x^2+30xy+25y^2$的结构，判断是否符合完全平方公式“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的特征；3. 结合$x＞0,y＞0$的条件，排除负的结果，得到边长的代数式。
【解析】
解：已知正方形面积 = 边长²，首先对面积代数式$9x^2+30xy+25y^2$进行因式分解：
$\because 9x^2=(3x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，中间项$30xy=2×3x×5y$
$\therefore$ 根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$9x^2+30xy+25y^2=(3x+5y)^2$
又$\because x＞0,y＞0$，$\therefore 3x+5y＞0$，正方形的边长为正数，
$\therefore$ 正方形的边长为$3x+5y$。
【答案】
$3x+5y$
【知识点】
完全平方公式因式分解，正方形面积公式，代数式非负性
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，需要熟练运用公式对多项式进行因式分解，同时注意结合给定的字母取值范围确定符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 明确正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此只需将给出的面积代数式因式分解为完全平方的形式，其正的底数即为边长；2. 观察多项式$9x^2+30xy+25y^2$的结构，判断是否符合完全平方公式“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的特征；3. 结合$x＞0,y＞0$的条件，排除负的结果，得到边长的代数式。
【解析】
解：已知正方形面积 = 边长²，首先对面积代数式$9x^2+30xy+25y^2$进行因式分解：
$\because 9x^2=(3x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，中间项$30xy=2×3x×5y$
$\therefore$ 根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$9x^2+30xy+25y^2=(3x+5y)^2$
又$\because x＞0,y＞0$，$\therefore 3x+5y＞0$，正方形的边长为正数，
$\therefore$ 正方形的边长为$3x+5y$。
【答案】
$3x+5y$
【知识点】
完全平方公式因式分解，正方形面积公式，代数式非负性
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，需要熟练运用公式对多项式进行因式分解，同时注意结合给定的字母取值范围确定符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知实数$a,b$满足$a+b=2$,则$a^2 - b^2 + 4b =$
4
.答案
6.4
解析
【分析】
解题思路有两种：方法一：观察所求式子中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构，可先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再将已知条件$a+b=2$整体代入，化简后再次整体代入$a+b=2$即可求出结果；方法二：根据已知$a+b=2$，用含$b$的式子表示$a$，直接代入所求代数式，合并同类项化简后也可得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式求解
$\because a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，且$a+b=2$
$\therefore$ 原式$=(a+b)(a-b)+4b$
$=2(a-b)+4b$
$=2a-2b+4b$
$=2a+2b$
$=2(a+b)$
将$a+b=2$代入得：$2×2=4$
方法二：代入消元法求解
$\because a+b=2$
$\therefore a=2-b$
将$a=2-b$代入$a^2 - b^2 +4b$得：
原式$=(2-b)^2 - b^2 +4b$
$=4-4b+b^2 - b^2 +4b$
$=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，既可以通过因式分解结合整体代入思想快速求解，也可以用消元代入的常规方法计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活选择简便方法。
【难度系数】
0.8
解题思路有两种：方法一：观察所求式子中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构，可先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再将已知条件$a+b=2$整体代入，化简后再次整体代入$a+b=2$即可求出结果；方法二：根据已知$a+b=2$，用含$b$的式子表示$a$，直接代入所求代数式，合并同类项化简后也可得到结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式求解
$\because a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，且$a+b=2$
$\therefore$ 原式$=(a+b)(a-b)+4b$
$=2(a-b)+4b$
$=2a-2b+4b$
$=2a+2b$
$=2(a+b)$
将$a+b=2$代入得：$2×2=4$
方法二：代入消元法求解
$\because a+b=2$
$\therefore a=2-b$
将$a=2-b$代入$a^2 - b^2 +4b$得：
原式$=(2-b)^2 - b^2 +4b$
$=4-4b+b^2 - b^2 +4b$
$=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，既可以通过因式分解结合整体代入思想快速求解，也可以用消元代入的常规方法计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活选择简便方法。
【难度系数】
0.8
