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4. 因式分解：$a^2 - a =$
$a(a-1)$
.答案
4. $a(a-1)$
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，该多项式共有两项，无平方差、完全平方公式的结构特征，因此优先考虑提公因式法分解。第一步找公因式：先看各项系数的最大公约数，两项系数都是1，最大公约数为1；再看各项都含有的相同字母为a，a的最低次幂是1次，因此公因式为a。第二步提取公因式，将公因式a提出后，用原多项式的每一项除以a得到括号内的项，最后检查分解结果是否为整式乘积、是否分解彻底即可。
【解析】
对多项式$a^2 - a$提取公因式$a$：
$a^2 - a = a · a - a · 1 = a(a - 1)$
【答案】
$a(a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证结果是否已经分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构，该多项式共有两项，无平方差、完全平方公式的结构特征，因此优先考虑提公因式法分解。第一步找公因式：先看各项系数的最大公约数，两项系数都是1，最大公约数为1；再看各项都含有的相同字母为a，a的最低次幂是1次，因此公因式为a。第二步提取公因式，将公因式a提出后，用原多项式的每一项除以a得到括号内的项，最后检查分解结果是否为整式乘积、是否分解彻底即可。
【解析】
对多项式$a^2 - a$提取公因式$a$：
$a^2 - a = a · a - a · 1 = a(a - 1)$
【答案】
$a(a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证结果是否已经分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
5. 因式分解：$3ay -4a =$
$a(3y-4)$
.答案
5. $a(3y-4)$
解析
【分析】
首先观察多项式的项数，该式共两项，优先考虑提公因式法因式分解。第一步先找两项的公因式：先看系数，3和-4的最大公约数是1，再看相同字母，两项都含有字母a，且a的最低次数是1，因此公因式为a。接下来提取公因式a，将每一项除以公因式得到的剩余项放在括号内，最后检查括号内的式子是否还能继续分解，确认不能分解即得到最终结果。
【解析】
解：观察多项式$3ay - 4a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$3ay - 4a = a · 3y - a · 4 = a(3y - 4)$
括号内$3y-4$没有公因式，也不能用其他方法继续分解，因此分解完成。
【答案】
$a(3y-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的项数，该式共两项，优先考虑提公因式法因式分解。第一步先找两项的公因式：先看系数，3和-4的最大公约数是1，再看相同字母，两项都含有字母a，且a的最低次数是1，因此公因式为a。接下来提取公因式a，将每一项除以公因式得到的剩余项放在括号内，最后检查括号内的式子是否还能继续分解，确认不能分解即得到最终结果。
【解析】
解：观察多项式$3ay - 4a$，两项的公因式为$a$，提取公因式$a$：
$3ay - 4a = a · 3y - a · 4 = a(3y - 4)$
括号内$3y-4$没有公因式，也不能用其他方法继续分解，因此分解完成。
【答案】
$a(3y-4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后注意检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.9
6. 把多项式$-6ab+18abx+24aby$提取公因式$-6ab$后，另一个因式是
$1-3x-4y$
.答案
6. $1-3x-4y$
解析
【分析】
本题考查提取公因式法分解因式，已知公因式为$-6ab$，解题思路是将原多项式的每一项分别除以公因式$-6ab$，把得到的商相加就是剩余的另一个因式。计算时要重点注意符号变化：因为公因式是负数，原多项式每一项除以负数后符号要反向，同时注意不要漏除常数项。
【解析】
用原多项式的每一项分别除以公因式$-6ab$：
第一项：$-6ab ÷ (-6ab) = 1$
第二项：$18abx ÷ (-6ab) = -3x$
第三项：$24aby ÷ (-6ab) = -4y$
将上述结果相加，可得另一个因式为$1-3x-4y$。
验证：$-6ab × (1-3x-4y) = -6ab + 18abx + 24aby$，与原多项式一致，结果正确。
【答案】
$1-3x-4y$
【知识点】
提取公因式法因式分解、单项式除以单项式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考查提取负系数公因式时的符号处理，计算时需注意每一项都要除以公因式，避免出现漏项、符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查提取公因式法分解因式，已知公因式为$-6ab$，解题思路是将原多项式的每一项分别除以公因式$-6ab$，把得到的商相加就是剩余的另一个因式。计算时要重点注意符号变化：因为公因式是负数，原多项式每一项除以负数后符号要反向，同时注意不要漏除常数项。
【解析】
用原多项式的每一项分别除以公因式$-6ab$：
第一项：$-6ab ÷ (-6ab) = 1$
第二项：$18abx ÷ (-6ab) = -3x$
第三项：$24aby ÷ (-6ab) = -4y$
将上述结果相加，可得另一个因式为$1-3x-4y$。
验证：$-6ab × (1-3x-4y) = -6ab + 18abx + 24aby$，与原多项式一致，结果正确。
【答案】
$1-3x-4y$
【知识点】
提取公因式法因式分解、单项式除以单项式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考查提取负系数公因式时的符号处理，计算时需注意每一项都要除以公因式，避免出现漏项、符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 分解因式：
(1)$3x - 12x^2$.
(2)$n^2(m - 2) - n(2 - m)$.
1. 分解因式：
(1)$3x - 12x^2$.
(2)$n^2(m - 2) - n(2 - m)$.
答案
1. (1) $3x(1-4x).$
(2) $n(m-2)(n+1).$
(2) $n(m-2)(n+1).$
解析
【分析】
分解因式优先采用提公因式法，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式；第三步检查结果是否不能再分解。(1)题可直接找两项的公因式提取；(2)题先将$(2-m)$变形为$-(m-2)$，统一两项的公因式后再提取，注意变形时的符号变化。
【解析】
(1) 观察多项式$3x - 12x^2$，两项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次幂是$x$，因此公因式为$3x$，提取公因式得：
$\begin{aligned}3x - 12x^2&=3x·1 - 3x·4x\\&=3x(1 - 4x)\end{aligned}$
(2) 先对式子做符号变形：$2-m=-(m-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}n^2(m - 2) - n(2 - m)&=n^2(m - 2) + n(m - 2)\end{aligned}$
此时两项公因式为$n(m-2)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}&=n(m - 2)· n + n(m - 2)·1\\&=n(m - 2)(n + 1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $3x(1-4x)$
(2) $n(m-2)(n+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变形
【点评】
本题是分解因式的基础题，主要考查提公因式法的应用，解题的易错点是处理互为相反数的因式时符号出错，提取公因式后要注意检查剩余项是否漏写常数项。
【难度系数】
0.7
分解因式优先采用提公因式法，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余多项式的形式；第三步检查结果是否不能再分解。(1)题可直接找两项的公因式提取；(2)题先将$(2-m)$变形为$-(m-2)$，统一两项的公因式后再提取，注意变形时的符号变化。
【解析】
(1) 观察多项式$3x - 12x^2$，两项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次幂是$x$，因此公因式为$3x$，提取公因式得：
$\begin{aligned}3x - 12x^2&=3x·1 - 3x·4x\\&=3x(1 - 4x)\end{aligned}$
(2) 先对式子做符号变形：$2-m=-(m-2)$，代入原式得：
$\begin{aligned}n^2(m - 2) - n(2 - m)&=n^2(m - 2) + n(m - 2)\end{aligned}$
此时两项公因式为$n(m-2)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}&=n(m - 2)· n + n(m - 2)·1\\&=n(m - 2)(n + 1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $3x(1-4x)$
(2) $n(m-2)(n+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变形
【点评】
本题是分解因式的基础题，主要考查提公因式法的应用，解题的易错点是处理互为相反数的因式时符号出错，提取公因式后要注意检查剩余项是否漏写常数项。
【难度系数】
0.7
2. 因式分解:(1)$3x^2 - 9x + 3$. (2)$4x^2 - 9$.
小明是这样做的:
解:(1)$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 6x + 1)$.
(2)$4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)$.
请利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明的因式分解过程是否正确.
小明是这样做的:
解:(1)$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 6x + 1)$.
(2)$4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)$.
请利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明的因式分解过程是否正确.
答案
解：
(1) 将小明第(1)题因式分解的结果用整式乘法展开：
$3(x^2 - 6x + 1) = 3x^2 - 18x + 3$，
因为$3x^2 - 18x + 3 ≠ 3x^2 - 9x + 3$，展开结果与原式不相等，
所以小明第(1)题的因式分解过程不正确。
正确因式分解结果为：$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 3x + 1)$。
(2) 将小明第(2)题因式分解的结果用整式乘法展开：
$(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9$，
展开结果与原式完全相等，
所以小明第(2)题的因式分解过程正确。
(1) 将小明第(1)题因式分解的结果用整式乘法展开：
$3(x^2 - 6x + 1) = 3x^2 - 18x + 3$，
因为$3x^2 - 18x + 3 ≠ 3x^2 - 9x + 3$，展开结果与原式不相等，
所以小明第(1)题的因式分解过程不正确。
正确因式分解结果为：$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 3x + 1)$。
(2) 将小明第(2)题因式分解的结果用整式乘法展开：
$(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9$，
展开结果与原式完全相等，
所以小明第(2)题的因式分解过程正确。
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，核心依据是因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，因此只需将因式分解得到的结果通过整式乘法展开，对比展开后的式子和原式是否完全相等即可。本题我们分别对小明两小题的分解结果展开验证，先验证第(1)题，再验证第(2)题。
【解析】
(1) 验证第(1)题：将小明的分解结果用整式乘法展开，
$3(x^2 - 6x + 1) = 3x^2 - 18x + 3$，
和原式$3x^2 - 9x + 3$对比，一次项系数不相等，两个式子不相等，因此小明第(1)题的因式分解过程不正确，正确结果应为$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 3x + 1)$。
(2) 验证第(2)题：将小明的分解结果用整式乘法展开，
$(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9$，
展开结果和原式完全相等，因此小明第(2)题的因式分解过程正确。
【答案】
(1) 第(1)题因式分解不正确；(2) 第(2)题因式分解正确。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的关系
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础验证类题目，掌握因式分解和整式乘法的互逆关系是解题关键，日常做因式分解题目时可以用这种逆推的方法快速检验结果是否正确，提公因式时要注意每一项都除以公因式，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，核心依据是因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形，因此只需将因式分解得到的结果通过整式乘法展开，对比展开后的式子和原式是否完全相等即可。本题我们分别对小明两小题的分解结果展开验证，先验证第(1)题，再验证第(2)题。
【解析】
(1) 验证第(1)题：将小明的分解结果用整式乘法展开，
$3(x^2 - 6x + 1) = 3x^2 - 18x + 3$，
和原式$3x^2 - 9x + 3$对比，一次项系数不相等，两个式子不相等，因此小明第(1)题的因式分解过程不正确，正确结果应为$3x^2 - 9x + 3 = 3(x^2 - 3x + 1)$。
(2) 验证第(2)题：将小明的分解结果用整式乘法展开，
$(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9$，
展开结果和原式完全相等，因此小明第(2)题的因式分解过程正确。
【答案】
(1) 第(1)题因式分解不正确；(2) 第(2)题因式分解正确。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的关系
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础验证类题目，掌握因式分解和整式乘法的互逆关系是解题关键，日常做因式分解题目时可以用这种逆推的方法快速检验结果是否正确，提公因式时要注意每一项都除以公因式，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 利用因式分解说明$25^5 + 5^{11}$能被30整除.
答案
解：
因为$25^5=(5^2)^5=5^{10}$，
所以
$\begin{aligned}25^5 + 5^{11}&=5^{10} + 5^{11}\\&=5^{10}×(1+5)\\&=5^{10}×6\\&=5^9×5×6\\&=5^9×30\end{aligned}$
$25^5+5^{11}$可表示为整数$5^9$与30的乘积，因此$25^5+5^{11}$能被30整除。
因为$25^5=(5^2)^5=5^{10}$，
所以
$\begin{aligned}25^5 + 5^{11}&=5^{10} + 5^{11}\\&=5^{10}×(1+5)\\&=5^{10}×6\\&=5^9×5×6\\&=5^9×30\end{aligned}$
$25^5+5^{11}$可表示为整数$5^9$与30的乘积，因此$25^5+5^{11}$能被30整除。
解析
【分析】
要判断一个整式能被30整除，只需将该整式变形为30与某个正整数的乘积形式即可。解题时首先统一底数：25是5的平方，可先利用幂的乘方法则将$25^5$转化为以5为底的幂，再找到两个项的公因式提取，整理后验证是否含有因数30即可。
【解析】
先将$25^5$转化为以5为底的幂：
$25^5=(5^2)^5=5^{10}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}25^5 + 5^{11}&=5^{10} + 5^{11}\\&=5^{10}×(1+5)\\&=5^{10}×6\\&=5^9×5×6\\&=5^9×30\end{aligned}$
因为$5^9$是正整数，所以$25^5+5^{11}$是30与正整数$5^9$的乘积，因此$25^5+5^{11}$能被30整除。
【答案】
$25^5 + 5^{11}$能被30整除
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法因式分解、整除的定义
【点评】
本题侧重考查代数变形能力，解题的关键是先通过幂的运算统一底数，再用提公因式法分解因式，构造出目标因数30，属于基础应用类题型，熟练掌握幂的运算性质和因式分解的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断一个整式能被30整除，只需将该整式变形为30与某个正整数的乘积形式即可。解题时首先统一底数：25是5的平方，可先利用幂的乘方法则将$25^5$转化为以5为底的幂，再找到两个项的公因式提取，整理后验证是否含有因数30即可。
【解析】
先将$25^5$转化为以5为底的幂：
$25^5=(5^2)^5=5^{10}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}25^5 + 5^{11}&=5^{10} + 5^{11}\\&=5^{10}×(1+5)\\&=5^{10}×6\\&=5^9×5×6\\&=5^9×30\end{aligned}$
因为$5^9$是正整数，所以$25^5+5^{11}$是30与正整数$5^9$的乘积，因此$25^5+5^{11}$能被30整除。
【答案】
$25^5 + 5^{11}$能被30整除
【知识点】
幂的乘方运算、提公因式法因式分解、整除的定义
【点评】
本题侧重考查代数变形能力，解题的关键是先通过幂的运算统一底数，再用提公因式法分解因式，构造出目标因数30，属于基础应用类题型，熟练掌握幂的运算性质和因式分解的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
