1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.$ a(x-y)=ax-ay $
B.$ x^2+2x+1=x(x+2)+1 $
C.$ (x+1)(x+3)=x^2+4x+3 $
D.$ x^2y-y^3=y(x+y)(x-y) $

1. D

【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，满足两个关键要求：①变形的对象是多项式；②最终的变形结果必须是几个整式相乘的形式，且变形前后等式成立。解题时可逐一对照定义排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
对各选项逐一分析：
A选项：等式左边是整式的乘积，右边是多项式的和差形式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆变形，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：等式右边为$x(x+2)+1$，是单项式乘多项式与常数的和，不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，排除；
C选项：等式左边是两个整式的乘积，右边是多项式，同样属于整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，排除；
D选项：等式左边是多项式$x^2y - y^3$，右边先提取公因式$y$，再利用平方差公式将$x^2 - y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，最终结果是$y$、$(x+y)$、$(x-y)$三个整式的积，完全符合因式分解的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对因式分解定义的理解，解题时要注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，牢牢抓住“结果是整式乘积”这一核心判断标准即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 将多项式$-4a^3 + 16a^2 + 12a$分解因式，应提取的公因式是()

A.$4a^3$
B.$4a^2$
C.$-4a^2$
D.$-4a$

2. D

【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需按三步思考：第一步看系数，先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负数，通常要把负号一起提出来；第二步看字母，找各项都包含的相同字母；第三步看指数，取相同字母的最低次幂，三部分组合起来就是公因式。
【解析】
我们对多项式$-4a^3 + 16a^2 + 12a$按步骤分析：
1. 定系数：各项系数分别是$-4$、$16$、$12$，绝对值的最大公约数是$4$，且首项系数为负，所以系数部分公因式为$-4$；
2. 定字母：三项都含有相同字母$a$；
3. 定指数：$a$在三项中的次数分别是3、2、1，最低次幂是1，即$a$。
将三部分组合，得到公因式为$-4a$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式中对公因式的判断，属于基础题，解题的关键是牢记确定公因式的三个步骤，尤其注意首项系数为负时要将负号纳入公因式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

3. 下列用提公因式法分解因式正确的是()

A.$3(x-2)-2x(x-2)=(x-2)(3+2x)$
B.$3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3-2x)$
C.$3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3+2x)$
D.$3(x-2)-2x(2-x)=x(x-2)$

3. C

【分析】
要判断用提公因式法分解因式是否正确，首先需掌握提公因式的步骤：第一步先统一式子中相同形式的因式，注意(2-x)与(x-2)互为相反数，可变形为$2-x=-(x-2)$；第二步找出公因式，第三步提取公因式后合并剩余项，最后逐一核对各选项即可。
【解析】
首先明确因式变形规则：$2-x=-(x-2)$，我们逐一分析选项：
1. 分析A选项：
$3(x-2)-2x(x-2)$的公因式为$(x-2)$，提取公因式后得$(x-2)(3-2x)$，选项中结果为$(x-2)(3+2x)$，符号错误，故A错误。
2. 分析B、C、D选项，先化简原式$3(x-2)-2x(2-x)$：
先将$2-x$变形为$-(x-2)$，代入原式得：
$3(x-2)-2x×[-(x-2)]=3(x-2)+2x(x-2)$
此时公因式为$(x-2)$，提取公因式得：
$(x-2)(3+2x)$
对比选项：
B选项结果为$(x-2)(3-2x)$，符号错误，故B错误；
C选项结果为$(x-2)(3+2x)$，计算正确；
D选项结果为$x(x-2)$，剩余项合并错误，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，因式的符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，易错点是处理互为相反数的因式时容易弄错符号，做题时可先统一因式形式再提取公因式，能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7

4. 将多项式 $a - b + c(a - b)$ 分解因式的结果是()

A.$(a - b)(c + 1)$
B.$(b - a)(c + 1)$
C.$(a - b)(c - 1)$
D.$(b - a)(c - 1)$

4. A

【分析】
这是一道因式分解的基础题，解题核心是使用提公因式法。首先观察多项式的结构：原式可以看成两项，分别是$(a-b)$和$c(a-b)$，两项都含有相同的因式$(a-b)$，我们可以把$(a-b)$作为公因式提取出来，提取公因式后，原本的第一项$(a-b)$提取公因式后剩余1，第二项$c(a-b)$提取公因式后剩余$c$，最后合并剩余项即可得到分解结果，再匹配选项即可。
【解析】
对多项式$a - b + c(a - b)$进行因式分解：
第一步，识别公因式：将$(a-b)$看作整体，可知两项的公因式为$(a-b)$；
第二步，提取公因式：
$\begin{aligned}a - b + c(a - b)&=1·(a - b) + c·(a - b)\\&=(a - b)(1 + c)\\&=(a - b)(c + 1)\end{aligned}$
与选项对比，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对提公因式法的掌握，解题时要注意将多项式中相同的多项式因式看作整体识别公因式，提取公因式后不要漏写常数项1，避免出错。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a+b=4$，$ab=2$，则$3a^2b+3ab^2$的值为()

A.6
B.8
C.10
D.24

5. D

【分析】
首先观察所求代数式$3a^2b+3ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$3ab$，因此可以先通过提公因式法对代数式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a+b$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
第一步：对所求代数式提取公因式因式分解：
$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$
第二步：将已知$a+b=4$，$ab=2$整体代入变形后的式子：
原式$=3×2×4=24$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题型，解题关键是熟练掌握提公因式法因式分解的方法，灵活运用整体代入思想简化计算，避免无意义的单独求解a、b的数值。
【难度系数】
0.8

6. 已知$m$为有理数，则整式$m^2(m^2 -1) - m^2 +1$的值（）

A.不是负数
B.恒为负数
C.恒为正数
D.不等于0

6. A

【分析】
要判断整式的取值情况，首先需要对整式进行化简，我们可以观察式子的结构，将后两项变形后提取公因式，再进一步整理为平方的形式，最后结合有理数平方的非负性即可判断整式的取值范围。
【解析】
先对整式进行化简：
$\begin{aligned}m^2(m^2 -1) - m^2 +1&=m^2(m^2 -1)-(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)^2\end{aligned}$
因为m是有理数，所以根据平方的非负性，任何有理数的平方都大于等于0，即$(m^2 -1)^2≥0$，说明该整式的值不是负数。
【答案】
A
【知识点】
因式分解，平方的非负性
【点评】
本题解题的核心是通过因式分解将原式转化为完全平方的形式，再利用非负数的性质判断取值，属于基础题型，重点考查对因式分解方法的掌握和非负数性质的应用。
【难度系数】
0.8

7. 计算$3^2×2026+42×2026+7^2×2026$的结果为()

A.2026
B.20260
C.202600
D.2026000

7. C

【分析】
首先观察算式结构，发现三项中都含有公共因数2026，第一步可先提取公因式2026，简化运算量；再观察括号内的部分：$3^2+42+7^2$，其中42恰好等于$2×3×7$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，可利用公式快速算出括号内的结果，最后做乘法即可得到答案，该方法可避免直接计算大数乘积，降低出错概率。
【解析】
解：$\begin{split}原式&=2026×(3^2 + 42 + 7^2) \\&=2026×(9 + 42 + 49) \\&=2026×(9+49+42) \\&=2026×100 \\&=202600\end{split}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，有理数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题核心是观察算式的结构特征，合理选择提取公因式结合乘法公式简化计算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8

1. 在$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$中，从左到右的变形是，从右到左的变形是。

1. 整式乘法；因式分解

【分析】
解题时首先要明确整式乘法和因式分解的核心区别：整式乘法的特征是“积化和差”，即把几个整式相乘的积的形式转化为多项式（和差形式）；因式分解的特征是“和差化积”，即把多项式（和差形式）转化为几个整式相乘的积的形式。接下来分别判断两个方向的变形：首先看从左到右的变形，左边是两个整式的乘积，右边是多项式，符合整式乘法的特征；再看从右到左的变形，右边是多项式，左边是两个整式的乘积，符合因式分解的特征，即可得出答案。
【解析】
1. 分析从左到右的变形：
左边$(x+y)(x-y)$是两个整式相乘的积的形式，右边$x^2-y^2$是多项式（和差形式），属于“积化和差”的运算，符合整式乘法的定义，因此该变形是整式乘法。
2. 分析从右到左的变形：
右边$x^2-y^2$是多项式（和差形式），左边$(x+y)(x-y)$是两个整式相乘的积的形式，属于“和差化积”的变形，符合因式分解的定义，因此该变形是因式分解。
【答案】
整式乘法；因式分解
【知识点】
整式乘法的定义；因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查整式乘法与因式分解的概念区别，解题的关键是抓住两种变形的形式特征，判断变形前后是乘积形式还是多项式形式即可，是对代数基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9

2. 若$x^2 + 3x + c = (x+1)(x+2)$，则$c$的值为。

2. 2

【分析】
要计算c的值，首先可以将等式右侧的两个一次多项式展开，再根据两个相等的多项式对应同类项的系数完全相同的性质，对比等式左右两侧的常数项，就能直接得到c的取值。
【解析】
先计算等式右侧的整式乘法：
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 1×2 = x^2 + 3x + 2$
已知等式$x^2 + 3x + c = (x+1)(x+2)$，代入右侧展开结果可得：
$x^2 + 3x + c = x^2 + 3x + 2$
两个多项式相等时对应同类项的系数相等，因此常数项对应相等，即$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
多项式乘多项式运算；多项式相等的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘法的基本运算能力，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 已知$4x^2+mx+1=(2x-1)^2$成立,有以下说法:
①从左到右的变形是因式分解；
②从左到右的变形是整式乘法；
③$m=4$.
其中正确的说法是.(填序号)

3. ①

【分析】
解题思路可分三步：第一步，先回忆因式分解与整式乘法的定义，二者是互逆的变形，因式分解是多项式变整式乘积，整式乘法是整式乘积变多项式，根据变形方向判断①②的正误；第二步，利用完全平方公式将等式右侧的式子展开，对比左右两边多项式的对应项系数，求出m的取值，判断③的正误；第三步，汇总所有正确的说法即可。
【解析】
1. 判断①②的正误：
因式分解的定义是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是把几个整式乘积的形式转化为一个多项式的形式。本题的变形是从左边的多项式$4x^2+mx+1$转化为右边的整式乘积$(2x-1)^2$，符合因式分解的定义，因此①正确，②错误。
2. 判断③的正误：
先利用完全平方公式展开右侧的式子：
$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$
将展开后的式子和左侧的$4x^2+mx+1$对比，两个多项式相等则对应项的系数相等，因此一次项系数$m=-4$，故③中说$m=4$的说法错误。
综上，只有说法①正确。
【答案】
①
【知识点】
因式分解的定义，完全平方公式，整式乘法的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查因式分解和整式乘法的区分，以及利用完全平方公式求参数，解题的核心是准确把握两个互逆变形的方向，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7