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8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点P沿A→B→C→D→A路线运动,设点P的运动路程为x,△ABP的面积为y,则能大致刻画y与x之间的关系图象的是 （
D
）答案
8.D
解析
【分析】
解决本题需要分阶段分析点P在矩形四条边上运动时，△ABP的面积变化规律：先将点P的运动过程按运动路径分为P在AB上、BC上、CD上、DA上四个阶段，再结合矩形性质和三角形面积公式，逐段判断面积y随运动路程x的变化趋势，最后匹配对应图像即可。
【解析】
我们按点P的运动路径分段讨论：
1. 当点P在AB段运动，即运动路程$0≤ x≤2$时：
点A、B、P共线，△ABP的高为0，因此面积$y=0$，对应图像是x轴上0到2的线段。
2. 当点P在BC段运动，即运动路程$2＜ x≤6$时：
△ABP的底$AB=2$，高为BP的长度$x-2$，由三角形面积公式得：
$y=\frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×2×(x-2)=x-2$
此时y随x的增大而增大，当x=6（P到达C点）时，$y=4$。
3. 当点P在CD段运动，即运动路程$6＜ x≤8$时：
AB与CD平行，点P到AB的距离恒等于BC的长度4，因此：
$y=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×2×4=4$
此时y保持4不变，对应图像是水平线段。
4. 当点P在DA段运动，即运动路程$8＜ x≤12$时：
点P到AB的距离为$12-x$，因此：
$y=\frac{1}{2}×2×(12-x)=12-x$
此时y随x的增大而减小，当x=12（P回到A点）时，$y=0$。
综上，符合该变化规律的图像是D选项。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图像；三角形面积计算；矩形的性质
【点评】
本题是典型的函数与几何结合的动点题型，解题核心是按动点位置分段分析，结合图形性质推导变量的变化规律，能有效考查学生的数形结合能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分阶段分析点P在矩形四条边上运动时，△ABP的面积变化规律：先将点P的运动过程按运动路径分为P在AB上、BC上、CD上、DA上四个阶段，再结合矩形性质和三角形面积公式，逐段判断面积y随运动路程x的变化趋势，最后匹配对应图像即可。
【解析】
我们按点P的运动路径分段讨论：
1. 当点P在AB段运动，即运动路程$0≤ x≤2$时：
点A、B、P共线，△ABP的高为0，因此面积$y=0$，对应图像是x轴上0到2的线段。
2. 当点P在BC段运动，即运动路程$2＜ x≤6$时：
△ABP的底$AB=2$，高为BP的长度$x-2$，由三角形面积公式得：
$y=\frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×2×(x-2)=x-2$
此时y随x的增大而增大，当x=6（P到达C点）时，$y=4$。
3. 当点P在CD段运动，即运动路程$6＜ x≤8$时：
AB与CD平行，点P到AB的距离恒等于BC的长度4，因此：
$y=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×2×4=4$
此时y保持4不变，对应图像是水平线段。
4. 当点P在DA段运动，即运动路程$8＜ x≤12$时：
点P到AB的距离为$12-x$，因此：
$y=\frac{1}{2}×2×(12-x)=12-x$
此时y随x的增大而减小，当x=12（P回到A点）时，$y=0$。
综上，符合该变化规律的图像是D选项。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图像；三角形面积计算；矩形的性质
【点评】
本题是典型的函数与几何结合的动点题型，解题核心是按动点位置分段分析，结合图形性质推导变量的变化规律，能有效考查学生的数形结合能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9. 已知矩形ABCD，请添加一个条件：
9. 已知矩形ABCD，请添加一个条件：
AB=BC(答案不唯一)
，使得矩形ABCD成为正方形。答案
9.AB=BC(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确矩形和正方形的关联：正方形是特殊的矩形，矩形已经满足四个角为直角的性质，要让矩形变为正方形，只需补充矩形成为正方形的判定条件即可。常见思路有两种：一是添加“一组邻边相等”的条件，二是添加“对角线互相垂直”的条件，任选其一填写即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，此时它已具备四个角均为直角、对边相等、对角线相等的性质。根据正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可添加邻边相等的条件，例如AB=BC；也可根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，添加AC⊥BD等条件，答案不唯一。
【答案】
AB=BC(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊四边形之间的判定关联，熟练掌握特殊四边形的判定定理即可快速作答，填写的条件合理即可得分。
【难度系数】
0.9
首先明确矩形和正方形的关联：正方形是特殊的矩形，矩形已经满足四个角为直角的性质，要让矩形变为正方形，只需补充矩形成为正方形的判定条件即可。常见思路有两种：一是添加“一组邻边相等”的条件，二是添加“对角线互相垂直”的条件，任选其一填写即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形，此时它已具备四个角均为直角、对边相等、对角线相等的性质。根据正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”，可添加邻边相等的条件，例如AB=BC；也可根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，添加AC⊥BD等条件，答案不唯一。
【答案】
AB=BC(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，考查特殊四边形之间的判定关联，熟练掌握特殊四边形的判定定理即可快速作答，填写的条件合理即可得分。
【难度系数】
0.9
10.一个水池的容积是90 m³，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1 h后水池的水量是15 m³，5 h后水池的水量是35 m³，那么8 h后水池的水量是
50
m³.答案
10.50
解析
【分析】
由题意可知蓄水速度恒定，因此水池水量随蓄水时间呈线性变化，符合一次函数的特征。解题时首先设出水量与时间的一次函数关系式，再将题目给出的两组时间、水量对应值代入，通过解方程组求出函数的系数，得到完整的函数解析式，最后将t=8代入解析式计算即可，注意结果不能超过水池的最大容积90m³。
【解析】
设蓄水时间为$ t $小时，水池内的水量为$ y \, \mathrm{m}^3 $。
因为蓄水速度恒定，故$ y $是$ t $的一次函数，设解析式为$ y = kt + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ t=1, y=15 $和$ t=5, y=35 $代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}k + b = 15 \\5k + b = 35\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ 4k = 20 $，解得$ k=5 $。
将$ k=5 $代入$ k + b =15 $，得$ 5 + b =15 $，解得$ b=10 $。
因此函数解析式为$ y = 5t + 10 $。
当$ t=8 $时，$ y = 5 × 8 + 10 = 50 $。
验证：$ 50 ＜ 90 $，未超过水池容积，符合实际意义。
【答案】
50
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合生活中的蓄水场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是先根据匀速变化的特征确定函数模型，再通过待定系数法求出解析式，最后代入求值即可，求解后要注意结合实际场景验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
由题意可知蓄水速度恒定，因此水池水量随蓄水时间呈线性变化，符合一次函数的特征。解题时首先设出水量与时间的一次函数关系式，再将题目给出的两组时间、水量对应值代入，通过解方程组求出函数的系数，得到完整的函数解析式，最后将t=8代入解析式计算即可，注意结果不能超过水池的最大容积90m³。
【解析】
设蓄水时间为$ t $小时，水池内的水量为$ y \, \mathrm{m}^3 $。
因为蓄水速度恒定，故$ y $是$ t $的一次函数，设解析式为$ y = kt + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ t=1, y=15 $和$ t=5, y=35 $代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}k + b = 15 \\5k + b = 35\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ 4k = 20 $，解得$ k=5 $。
将$ k=5 $代入$ k + b =15 $，得$ 5 + b =15 $，解得$ b=10 $。
因此函数解析式为$ y = 5t + 10 $。
当$ t=8 $时，$ y = 5 × 8 + 10 = 50 $。
验证：$ 50 ＜ 90 $，未超过水池容积，符合实际意义。
【答案】
50
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合生活中的蓄水场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是先根据匀速变化的特征确定函数模型，再通过待定系数法求出解析式，最后代入求值即可，求解后要注意结合实际场景验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
11.某校开展“保护视力，预防近视”活动，为了解八年级600名学生的视力状况，从中随机抽取了80名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是
80
.答案
11.80
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆统计调查中的相关基础概念：总体是指考察的全体对象，样本是从总体中抽取的部分考察对象，而样本容量是样本中包含的个体的数目，注意样本容量是纯数字，没有单位。解题时先明确本次调查的考察对象，再找到抽取的样本对应的个体数量即可得到样本容量。
【解析】
本次调查的考察对象是八年级学生的视力状况，总体是八年级600名学生的视力状况，从总体中抽取的80名学生的视力状况是样本，样本容量是样本中个体的数量，不需要带单位，因此本次调查的样本容量为80。
【答案】
80
【知识点】
1. 样本容量的定义
2. 抽样调查的基本概念
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对统计基础概念的辨析能力，解题时要注意区分总体、样本和样本容量的差异，避免将总人数或样本本身误认为样本容量，同时要牢记样本容量是不带单位的纯数值。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆统计调查中的相关基础概念：总体是指考察的全体对象，样本是从总体中抽取的部分考察对象，而样本容量是样本中包含的个体的数目，注意样本容量是纯数字，没有单位。解题时先明确本次调查的考察对象，再找到抽取的样本对应的个体数量即可得到样本容量。
【解析】
本次调查的考察对象是八年级学生的视力状况，总体是八年级600名学生的视力状况，从总体中抽取的80名学生的视力状况是样本，样本容量是样本中个体的数量，不需要带单位，因此本次调查的样本容量为80。
【答案】
80
【知识点】
1. 样本容量的定义
2. 抽样调查的基本概念
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对统计基础概念的辨析能力，解题时要注意区分总体、样本和样本容量的差异，避免将总人数或样本本身误认为样本容量，同时要牢记样本容量是不带单位的纯数值。
【难度系数】
0.9
12.已知平面直角坐标系中存在一点$A(2,-1)$,现将平面直角坐标系向左平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，此时点A的坐标为
(8,-5)
.答案
12.(8,-5)
解析
【分析】
本题的核心是区分坐标系平移与点平移的坐标变化规律，解题思路如下：首先回忆点在固定坐标系中的平移规律（横坐标左减右加，纵坐标上加下减），而坐标系平移时，点相对于坐标系的平移方向与坐标系平移方向完全相反，因此只需将坐标系的平移方向反转，再套用点的平移规律计算即可。
【解析】
已知原有点A的坐标为$(2,-1)$，根据坐标系平移与点相对平移的相对性：
1. 当平面直角坐标系向左平移6个单位长度时，等价于点A相对于新坐标系向右平移6个单位，因此点A的横坐标变为：$2 + 6 = 8$；
2. 当平面直角坐标系向上平移4个单位长度时，等价于点A相对于新坐标系向下平移4个单位，因此点A的纵坐标变为：$-1 - 4 = -5$。
综上，平移后点A的坐标为$(8,-5)$。
【答案】
$(8,-5)$
【知识点】
1. 坐标平移变化规律
2. 平移的相对性
【点评】
本题属于平移相关的基础易错题，易错点是直接将坐标系的平移方向套用到点的坐标计算中，只要掌握“坐标系平移方向与点相对平移方向相反”的规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.6
本题的核心是区分坐标系平移与点平移的坐标变化规律，解题思路如下：首先回忆点在固定坐标系中的平移规律（横坐标左减右加，纵坐标上加下减），而坐标系平移时，点相对于坐标系的平移方向与坐标系平移方向完全相反，因此只需将坐标系的平移方向反转，再套用点的平移规律计算即可。
【解析】
已知原有点A的坐标为$(2,-1)$，根据坐标系平移与点相对平移的相对性：
1. 当平面直角坐标系向左平移6个单位长度时，等价于点A相对于新坐标系向右平移6个单位，因此点A的横坐标变为：$2 + 6 = 8$；
2. 当平面直角坐标系向上平移4个单位长度时，等价于点A相对于新坐标系向下平移4个单位，因此点A的纵坐标变为：$-1 - 4 = -5$。
综上，平移后点A的坐标为$(8,-5)$。
【答案】
$(8,-5)$
【知识点】
1. 坐标平移变化规律
2. 平移的相对性
【点评】
本题属于平移相关的基础易错题，易错点是直接将坐标系的平移方向套用到点的坐标计算中，只要掌握“坐标系平移方向与点相对平移方向相反”的规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13. 在平面直角坐标系中，点$P(2,-1)$在直线$y=kx-3$上.
(1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线；
(2)若$-4＜y＜0$，求$x$的取值范围.
13. 在平面直角坐标系中，点$P(2,-1)$在直线$y=kx-3$上.
(1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线；
(2)若$-4＜y＜0$，求$x$的取值范围.
答案
13.解:(1)把P(2,-1)代入y=kx-3，
得-1=2k-3，
解得k=1，
∴y=x-3.
令x=0，则y=0-3=-3，
∴直线y=kx-3经过点(0,-3).
在平面直角坐标系中找到点(2,-1),(0,-3),再连接,如答图所示:
(2)由(1)得y=x-3.
∵-4＜y＜0，
∴-4＜x-3＜0，
∴-1＜x＜3.
解析
【分析】
(1) 要确定一次函数解析式，根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点P的坐标代入y=kx-3，即可得到关于k的方程，解出k就能得到解析式。画一次函数图象时依据“两点确定一条直线”，找到直线上两个点，连接两点即可完成作图。
(2) 求y在指定范围时x的取值范围，将y=x-3代入y的不等式，转化为关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得到x的范围。
【解析】
(1) 把点$P(2,-1)$代入$y=kx-3$，得：
$-1=2k-3$
解得$k=1$，因此直线的函数解析式为$y=x-3$。
取$x=0$，代入解析式得$y=0-3=-3$，即直线过点$(0,-3)$，结合已知的点$(2,-1)$，在坐标系中找到这两个点并连接，即得该直线图象，如答图所示：
(2) 由(1)得$y=x-3$，已知$-4＜y＜0$，将$y=x-3$代入不等式得：
$-4＜x-3＜0$
不等式三边同时加3，解得$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) 直线的函数解析式为$\boldsymbol{y=x-3}$，图象见；
(2) $x$的取值范围为$\boldsymbol{-1＜x＜3}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题，待定系数法是求函数解析式的常用方法，结合函数关系将y的不等式转化为x的不等式即可求解，掌握一次函数的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定一次函数解析式，根据“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点P的坐标代入y=kx-3，即可得到关于k的方程，解出k就能得到解析式。画一次函数图象时依据“两点确定一条直线”，找到直线上两个点，连接两点即可完成作图。
(2) 求y在指定范围时x的取值范围，将y=x-3代入y的不等式，转化为关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得到x的范围。
【解析】
(1) 把点$P(2,-1)$代入$y=kx-3$，得：
$-1=2k-3$
解得$k=1$，因此直线的函数解析式为$y=x-3$。
取$x=0$，代入解析式得$y=0-3=-3$，即直线过点$(0,-3)$，结合已知的点$(2,-1)$，在坐标系中找到这两个点并连接，即得该直线图象，如答图所示：
(2) 由(1)得$y=x-3$，已知$-4＜y＜0$，将$y=x-3$代入不等式得：
$-4＜x-3＜0$
不等式三边同时加3，解得$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) 直线的函数解析式为$\boldsymbol{y=x-3}$，图象见
；(2) $x$的取值范围为$\boldsymbol{-1＜x＜3}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题，待定系数法是求函数解析式的常用方法，结合函数关系将y的不等式转化为x的不等式即可求解，掌握一次函数的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
