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1 [2024 德阳]若正比例函数 $ y=kx(k≠0) $ 的图象如图所示，则 $ k $ 的值可能是 （
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\frac{1}{3} $
A
）A.$ \frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\frac{1}{3} $
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象和系数$k$的关系：首先观察图象经过的象限，判断$k$的正负，再对应选项筛选即可。首先观察题图，直线经过第一、三象限，说明$k＞0$，选项中只有正数符合要求，由此可快速选出答案。
【解析】
根据正比例函数的性质：当$k＞0$时，$y=kx(k≠0)$的图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
观察题中图象，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
逐一查看选项，只有A选项$\frac{1}{2}$是正数，其余选项均为负数，不符合$k＞0$的要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数图象与系数的对应关系，属于基础题型，熟练掌握$k$的正负对函数图象经过象限的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象和系数$k$的关系：首先观察图象经过的象限，判断$k$的正负，再对应选项筛选即可。首先观察题图，直线经过第一、三象限，说明$k＞0$，选项中只有正数符合要求，由此可快速选出答案。
【解析】
根据正比例函数的性质：当$k＞0$时，$y=kx(k≠0)$的图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
观察题中图象，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
逐一查看选项，只有A选项$\frac{1}{2}$是正数，其余选项均为负数，不符合$k＞0$的要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数图象与系数的对应关系，属于基础题型，熟练掌握$k$的正负对函数图象经过象限的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2 下列四个点中,在正比例函数$y=-\dfrac{2}{5}x$的图象上的是（
A.点$(2,5)$
B.点$(5,2)$
C.点$(2,-5)$
D.点$(5,-2)$
D
）A.点$(2,5)$
B.点$(5,2)$
C.点$(2,-5)$
D.点$(5,-2)$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断一个点是否在正比例函数的图象上，核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。解题思路为：将每个选项中点的横坐标$x$代入函数解析式$y=-\dfrac{2}{5}x$，计算出对应的$y$值，再和该点的纵坐标对比，若二者相等，则点在函数图象上，否则不在，逐一验证后选出正确选项即可。
【解析】
采用代入验证法逐一判断：
对于正比例函数$y=-\dfrac{2}{5}x$：
A. 当$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{5}×2=-\dfrac{4}{5}≠5$，故点$(2,5)$不在函数图象上；
B. 当$x=5$时，$y=-\dfrac{2}{5}×5=-2≠2$，故点$(5,2)$不在函数图象上；
C. 当$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{5}×2=-\dfrac{4}{5}≠-5$，故点$(2,-5)$不在函数图象上；
D. 当$x=5$时，$y=-\dfrac{2}{5}×5=-2$，与点的纵坐标相等，故点$(5,-2)$在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的图象特征
2. 函数图象上点的坐标性质
【点评】
本题是正比例函数模块的基础题型，核心考察函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握代入验证的方法即可快速求解，属于该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在正比例函数的图象上，核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。解题思路为：将每个选项中点的横坐标$x$代入函数解析式$y=-\dfrac{2}{5}x$，计算出对应的$y$值，再和该点的纵坐标对比，若二者相等，则点在函数图象上，否则不在，逐一验证后选出正确选项即可。
【解析】
采用代入验证法逐一判断：
对于正比例函数$y=-\dfrac{2}{5}x$：
A. 当$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{5}×2=-\dfrac{4}{5}≠5$，故点$(2,5)$不在函数图象上；
B. 当$x=5$时，$y=-\dfrac{2}{5}×5=-2≠2$，故点$(5,2)$不在函数图象上；
C. 当$x=2$时，$y=-\dfrac{2}{5}×2=-\dfrac{4}{5}≠-5$，故点$(2,-5)$不在函数图象上；
D. 当$x=5$时，$y=-\dfrac{2}{5}×5=-2$，与点的纵坐标相等，故点$(5,-2)$在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的图象特征
2. 函数图象上点的坐标性质
【点评】
本题是正比例函数模块的基础题型，核心考察函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握代入验证的方法即可快速求解，属于该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3 若点$A(-2,-9)$在关于$x$的正比例函数$y=(k-1)x$的图象上，则$k$的值为
$\frac{11}{2}$
。答案
3. $\frac{11}{2}$
解析
【分析】
要计算k的值，我们可以利用“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”这一规律，将已知点A的横、纵坐标代入给出的正比例函数解析式中，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵点$A(-2,-9)$在正比例函数$y=(k-1)x$的图象上
∴将$x=-2$，$y=-9$代入函数解析式，得：
$-9=(k-1)×(-2)$
展开得：$-9=-2k+2$
移项得：$2k=2+9$
合并同类项得：$2k=11$
系数化为1得：$k=\frac{11}{2}$
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题关键是掌握“点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式”的规律，计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
要计算k的值，我们可以利用“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”这一规律，将已知点A的横、纵坐标代入给出的正比例函数解析式中，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵点$A(-2,-9)$在正比例函数$y=(k-1)x$的图象上
∴将$x=-2$，$y=-9$代入函数解析式，得：
$-9=(k-1)×(-2)$
展开得：$-9=-2k+2$
移项得：$2k=2+9$
合并同类项得：$2k=11$
系数化为1得：$k=\frac{11}{2}$
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 正比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题关键是掌握“点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式”的规律，计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
4 已知函数$y=(m-3)x^{10 - m^2}$是关于$x$的正比例函数，求$m$的值并在平面直角坐标系内画出这个函数的图象。
答案
4. $\because$ 函数 $y=(m-3)x^{10-m^2}$ 是关于 $x$ 的正比例函数，
$\therefore 10-m^2=1$ 且 $m-3≠0$,解得 $m=-3$,$\therefore y=-6x$,
函数图象如图所示
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确正比例函数的定义要求：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是$x$的系数不为0。我们先根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，求解得到$m$的值；再将$m$代回原式得到函数解析式，最后利用正比例函数图象是过原点的直线的特点，选两个方便计算的点描点连线，完成作图即可。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-3)x^{10 - m^2}$是关于$x$的正比例函数，
$\therefore$ 根据正比例函数的定义，需满足：
1. 自变量$x$的次数为1：$10 - m^2 = 1$，
2. $x$的系数不为0：$m - 3 ≠ 0$。
解方程$10 - m^2 = 1$，移项得$m^2 = 9$，解得$m=3$或$m=-3$。
结合$m - 3 ≠ 0$（即$m≠3$），舍去$m=3$，得$m=-3$。
将$m=-3$代入原函数，得解析式为$y=-6x$。
绘制函数图象：
正比例函数图象是过原点的直线，只需确定两个点即可作图：
当$x=0$时，$y=0$，得点$(0,0)$；当$x=0.5$时，$y=-3$，得点$(0.5,-3)$。
在平面直角坐标系中描出两个点，过两点画直线，即为$y=-6x$的图象。
【答案】
$\because$ 函数 $y=(m-3)x^{10-m^2}$ 是关于 $x$ 的正比例函数，
$\therefore 10-m^2=1$ 且 $m-3≠0$,解得 $m=-3$,$\therefore y=-6x$,
函数图象如图所示
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的图象、解方程与不等式
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查对正比例函数定义的理解，易错点是容易忽略“比例系数不为0”的隐含条件，导致出现多解的错误。作图时利用正比例函数图象过原点的特点，选取计算简单的点连线即可，不需要额外多描点。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确正比例函数的定义要求：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足两个条件：一是自变量$x$的次数为1，二是$x$的系数不为0。我们先根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，求解得到$m$的值；再将$m$代回原式得到函数解析式，最后利用正比例函数图象是过原点的直线的特点，选两个方便计算的点描点连线，完成作图即可。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=(m-3)x^{10 - m^2}$是关于$x$的正比例函数，
$\therefore$ 根据正比例函数的定义，需满足：
1. 自变量$x$的次数为1：$10 - m^2 = 1$，
2. $x$的系数不为0：$m - 3 ≠ 0$。
解方程$10 - m^2 = 1$，移项得$m^2 = 9$，解得$m=3$或$m=-3$。
结合$m - 3 ≠ 0$（即$m≠3$），舍去$m=3$，得$m=-3$。
将$m=-3$代入原函数，得解析式为$y=-6x$。
绘制函数图象：
正比例函数图象是过原点的直线，只需确定两个点即可作图：
当$x=0$时，$y=0$，得点$(0,0)$；当$x=0.5$时，$y=-3$，得点$(0.5,-3)$。
在平面直角坐标系中描出两个点，过两点画直线，即为$y=-6x$的图象。
【答案】
$\because$ 函数 $y=(m-3)x^{10-m^2}$ 是关于 $x$ 的正比例函数，
$\therefore 10-m^2=1$ 且 $m-3≠0$,解得 $m=-3$,$\therefore y=-6x$,
函数图象如图所示
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的图象、解方程与不等式
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查对正比例函数定义的理解，易错点是容易忽略“比例系数不为0”的隐含条件，导致出现多解的错误。作图时利用正比例函数图象过原点的特点，选取计算简单的点连线即可，不需要额外多描点。
【难度系数】
0.7
5 已知函数$y=x$；$y=-2x$；$y=\frac{1}{2}x$；$y=3x$。
（1）在同一平面直角坐标系内画出上述函数的图象；
（2）探索发现：观察这些函数的图象，并探究随着$|k|$的增大，直线与$y$轴的位置关系有何变化；
（3）灵活运用：正比例函数$y=k_1x$和$y=k_2x$的图象在如图所示的平面直角坐标系中，则$k_1$与$k_2$的大小关系为$k_1$
（1）在同一平面直角坐标系内画出上述函数的图象；
（2）探索发现：观察这些函数的图象，并探究随着$|k|$的增大，直线与$y$轴的位置关系有何变化；
（3）灵活运用：正比例函数$y=k_1x$和$y=k_2x$的图象在如图所示的平面直角坐标系中，则$k_1$与$k_2$的大小关系为$k_1$
＞
$k_2$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
5. （1）如图
（2）随着$|k|$的增大，直线与 $y$ 轴的夹角减小 （3）＞解析
【分析】
（1）画正比例函数图象时，回忆正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”，只需再找一个除原点外的点，连接两点即可画出对应图象；
（2）观察给出的4个函数图象的倾斜程度，对比各函数$|k|$的大小，即可总结出$|k|$的变化对直线与y轴位置关系的影响；
（3）首先根据两个正比例函数图象经过第二、四象限，判断出$k_1$、$k_2$均为负数，再根据直线越陡$|k|$越大的规律，得出两个$k$的绝对值的大小，最后结合“负数比较大小，绝对值大的数更小”即可得出$k_1$和$k_2$的大小关系。
【解析】
（1）正比例函数的图象是过原点的直线，对于4个函数，分别取$x=1$，可得对应$y$值：
$y=x$过点$(1,1)$，$y=-2x$过点$(1,-2)$，$y=\frac{1}{2}x$过点$(1,\frac{1}{2})$，$y=3x$过点$(1,3)$；
分别将各点与原点$O$连接，即可得到4个函数的图象。
（2）观察图象可知：$y=3x$的$|k|=3$最大，直线最靠近$y$轴，与$y$轴的夹角最小；$y=\frac{1}{2}x$的$|k|=\frac{1}{2}$最小，与$y$轴的夹角最大。由此可得规律：随着$|k|$的增大，直线与$y$轴的夹角减小。
（3）由图可知$y=k_1x$和$y=k_2x$的图象都经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；
又因为$y=k_2x$的直线更陡，所以$|k_2|＞|k_1|$；
根据负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数更小，因此$k_1＞k_2$。
【答案】
（1）如图
（2）随着$|k|$的增大，直线与 $y$ 轴的夹角减小
（3）＞
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，负数大小比较
【点评】
本题以正比例函数为载体，考查了图象绘制、性质探究和规律应用，需要学生掌握数形结合的方法，理解正比例函数中$k$的取值对图象倾斜程度的影响，同时注意$k$为负数时比较大小的特殊规则，是一道结合基础性质和应用的典型题。
【难度系数】
0.7
（1）画正比例函数图象时，回忆正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”，只需再找一个除原点外的点，连接两点即可画出对应图象；
（2）观察给出的4个函数图象的倾斜程度，对比各函数$|k|$的大小，即可总结出$|k|$的变化对直线与y轴位置关系的影响；
（3）首先根据两个正比例函数图象经过第二、四象限，判断出$k_1$、$k_2$均为负数，再根据直线越陡$|k|$越大的规律，得出两个$k$的绝对值的大小，最后结合“负数比较大小，绝对值大的数更小”即可得出$k_1$和$k_2$的大小关系。
【解析】
（1）正比例函数的图象是过原点的直线，对于4个函数，分别取$x=1$，可得对应$y$值：
$y=x$过点$(1,1)$，$y=-2x$过点$(1,-2)$，$y=\frac{1}{2}x$过点$(1,\frac{1}{2})$，$y=3x$过点$(1,3)$；
分别将各点与原点$O$连接，即可得到4个函数的图象。
（2）观察图象可知：$y=3x$的$|k|=3$最大，直线最靠近$y$轴，与$y$轴的夹角最小；$y=\frac{1}{2}x$的$|k|=\frac{1}{2}$最小，与$y$轴的夹角最大。由此可得规律：随着$|k|$的增大，直线与$y$轴的夹角减小。
（3）由图可知$y=k_1x$和$y=k_2x$的图象都经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；
又因为$y=k_2x$的直线更陡，所以$|k_2|＞|k_1|$；
根据负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数更小，因此$k_1＞k_2$。
【答案】
（1）如图
（2）随着$|k|$的增大，直线与 $y$ 轴的夹角减小
（3）＞
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，负数大小比较
【点评】
本题以正比例函数为载体，考查了图象绘制、性质探究和规律应用，需要学生掌握数形结合的方法，理解正比例函数中$k$的取值对图象倾斜程度的影响，同时注意$k$为负数时比较大小的特殊规则，是一道结合基础性质和应用的典型题。
【难度系数】
0.7
