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7 新情境 传统文化 我国象棋文化历史悠久.如图,这是某次对弈的残图（每个小方格的边长均为1）.如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点$(-2,-1)$的位置,那么在同一坐标系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的图象对应的函数表达式为
$y=x+1$
.答案
7. $y=x+1$
解析
【分析】
首先根据“帅”的已知坐标$(-2,-1)$，明确平面直角坐标系的正方向（向右为x轴正方向，向上为y轴正方向）和单位长度（每个小方格边长为1），再通过数格子确定“马”的坐标；接着要计算过两个点的一次函数表达式，使用待定系数法，设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两个点的坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
【解析】
已知“帅”的坐标为$(-2,-1)$，结合棋盘格特征，数格可得“马”的坐标为$(1,2)$。
设过这两个点的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(-2,-1)$和$(1,2)$分别代入得：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k + b = 2$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
因此所求函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
$y=x+1$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合象棋传统文化设置情境，考查了坐标识别和一次函数解析式的求解，解题的核心是准确确定两点坐标，再熟练运用待定系数法计算，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.7
首先根据“帅”的已知坐标$(-2,-1)$，明确平面直角坐标系的正方向（向右为x轴正方向，向上为y轴正方向）和单位长度（每个小方格边长为1），再通过数格子确定“马”的坐标；接着要计算过两个点的一次函数表达式，使用待定系数法，设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两个点的坐标代入得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
【解析】
已知“帅”的坐标为$(-2,-1)$，结合棋盘格特征，数格可得“马”的坐标为$(1,2)$。
设过这两个点的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(-2,-1)$和$(1,2)$分别代入得：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k + b = 2$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
因此所求函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
$y=x+1$
【知识点】
平面直角坐标系坐标确定，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合象棋传统文化设置情境，考查了坐标识别和一次函数解析式的求解，解题的核心是准确确定两点坐标，再熟练运用待定系数法计算，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.7
8 已知$y+3$与$x+2$成正比例，且当$x=-3$时，$y=7$。
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为________；
(2) 当$x=-1$时，$y$的值为________；
(3) 若$y$的取值范围是$-1≤ y≤ \frac{1}{2}$，则$x$的取值范围是________。
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为________；
(2) 当$x=-1$时，$y$的值为________；
(3) 若$y$的取值范围是$-1≤ y≤ \frac{1}{2}$，则$x$的取值范围是________。
答案
8. (1) $y=-10x-23$ 【解析】由题意,设$y+3=k(x+2),k≠0$. 将$x=-3,y=7$代入,得$7+3=k·(-3+2)$,解得$k=-10$. $\therefore y+3=-10(x+2)$,即$y=-10x-23$.
(2) $-13$ 【解析】当$x=-1$时,$y=-10×(-1)-23=-13$.
(3) $-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$ 【解析】由题意,得$-1≤ -10x-23≤ \dfrac{1}{2}$,解得$-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$. $\therefore x$的取值范围是$-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$.
(2) $-13$ 【解析】当$x=-1$时,$y=-10×(-1)-23=-13$.
(3) $-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$ 【解析】由题意,得$-1≤ -10x-23≤ \dfrac{1}{2}$,解得$-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$. $\therefore x$的取值范围是$-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$.
解析
【分析】
(1) 已知$y+3$与$x+2$成正比例，根据正比例的定义，可设$y+3=k(x+2)$（$k≠0$），再将已知的$x=-3$、$y=7$代入式子求出$k$的值，最后整理即可得到$y$与$x$的函数表达式；
(2) 将$x=-1$直接代入第(1)问求出的函数表达式中，直接计算就能得到对应的$y$值；
(3) 将$y$的取值范围代入函数表达式，得到关于$x$的一元一次不等式组，解不等式时注意不等号两边同时乘除负数时要改变方向，求解后即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 由$y+3$与$x+2$成正比例，设$y+3 = k(x+2)$（$k≠0$）。
把$x=-3$，$y=7$代入上式，得$7+3 = k×(-3+2)$，即$10 = -k$，解得$k=-10$。
将$k=-10$代入所设式子，得$y+3 = -10(x+2)$，整理得$y = -10x -23$。
(2) 把$x=-1$代入$y=-10x-23$，得$y = -10×(-1) -23 = 10 -23 = -13$。
(3) 已知$-1≤y≤\frac{1}{2}$，将$y=-10x-23$代入得不等式组：
$\begin{cases}-10x -23 ≥ -1 \\ -10x -23 ≤ \frac{1}{2} \end{cases}$
解第一个不等式：$-10x ≥ 22$，两边同除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≤ -\frac{11}{5}$；
解第二个不等式：$-10x ≤ \frac{1}{2} +23 = \frac{47}{2}$，两边同除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≥ -\frac{47}{20}$；
综上可得$x$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-10x-23$；(2) $-13$；(3) $-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求解析式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数基础题型，重点考查正比例关系的表达、待定系数法的应用，以及结合函数解析式求解自变量取值范围，熟练掌握相关基础概念和计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$y+3$与$x+2$成正比例，根据正比例的定义，可设$y+3=k(x+2)$（$k≠0$），再将已知的$x=-3$、$y=7$代入式子求出$k$的值，最后整理即可得到$y$与$x$的函数表达式；
(2) 将$x=-1$直接代入第(1)问求出的函数表达式中，直接计算就能得到对应的$y$值；
(3) 将$y$的取值范围代入函数表达式，得到关于$x$的一元一次不等式组，解不等式时注意不等号两边同时乘除负数时要改变方向，求解后即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 由$y+3$与$x+2$成正比例，设$y+3 = k(x+2)$（$k≠0$）。
把$x=-3$，$y=7$代入上式，得$7+3 = k×(-3+2)$，即$10 = -k$，解得$k=-10$。
将$k=-10$代入所设式子，得$y+3 = -10(x+2)$，整理得$y = -10x -23$。
(2) 把$x=-1$代入$y=-10x-23$，得$y = -10×(-1) -23 = 10 -23 = -13$。
(3) 已知$-1≤y≤\frac{1}{2}$，将$y=-10x-23$代入得不等式组：
$\begin{cases}-10x -23 ≥ -1 \\ -10x -23 ≤ \frac{1}{2} \end{cases}$
解第一个不等式：$-10x ≥ 22$，两边同除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≤ -\frac{11}{5}$；
解第二个不等式：$-10x ≤ \frac{1}{2} +23 = \frac{47}{2}$，两边同除以$-10$，不等号方向改变，得$x ≥ -\frac{47}{20}$；
综上可得$x$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-10x-23$；(2) $-13$；(3) $-\dfrac{47}{20}≤ x≤ -\dfrac{11}{5}$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求解析式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数基础题型，重点考查正比例关系的表达、待定系数法的应用，以及结合函数解析式求解自变量取值范围，熟练掌握相关基础概念和计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9 [2024 泗阳模拟]如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中 y 是 x 的函数. 通过该“函数求值机”得到的几组 x 与 y 的对应值如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的 x 值为 1 时，输出的 y 值为
（2）求 k，b 的值；
（3）当输出的 y 值为 0 时，求输入的 x 值.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的 x 值为 1 时，输出的 y 值为
8
；（2）求 k，b 的值；
（3）当输出的 y 值为 0 时，求输入的 x 值.
答案
9. (1) 8 (2) 将$(-2,2),(0,6)$代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}2=-2k+b,\\6=b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=6\end{cases}$ (3) 在$y=8x$中,令$y=0$,得$0=8x$,$\therefore x=0＜1$(不合题意,舍去).由(2),得当$x＜1$时,$y=2x+6$,在$y=2x+6$中,令$y=0$,得$0=2x+6$,$\therefore x=-3＜1$,$\therefore$ 当输出的$y$值为0时,输入的$x$值为$-3$
解析
【分析】
本题考查分段函数的相关应用，解题思路如下：1. 先明确“函数求值机”的分段规则：当$x≥1$时，函数解析式为$y=8x$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=kx+b$，据此解决第（1）问，$x=1$属于$x≥1$的范围，直接代入对应解析式计算即可。2. 第（2）问求$k、b$的值，选取表格中$x＜1$的两组对应值，代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，解方程组即可求出参数值。3. 第（3）问已知$y=0$求$x$，需要分两种情况分别代入两个分段解析式求解，求出$x$后要检验是否符合对应分段的自变量取值范围，舍去不符合的解，剩下的就是正确结果。
【解析】
（1）由“函数求值机”的规则可知，当$x≥1$时，$y=8x$。
输入$x=1$，满足$x≥1$，代入得$y=8×1=8$。
（2）由表格可知，当$x=-2$时$y=2$，$x=0$时$y=6$，这两个$x$值都满足$x＜1$，代入$y=kx+b(k≠0)$可得：
$\begin{cases}2=-2k+b\\6=b\end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$。
因此$\begin{cases}k=2\\b=6\end{cases}$。
（3）分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，令$y=8x=0$，解得$x=0$，$0＜1$，不符合$x≥1$的取值范围，舍去；
② 当$x＜1$时，由（2）可知此时解析式为$y=2x+6$，令$y=2x+6=0$，解得$x=-3$，$-3＜1$，符合取值范围。
综上，输出$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{k=2}$，$\boxed{b=6}$；（3）$\boxed{-3}$
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数解析式，一次函数求值
【点评】
本题结合趣味的“函数求值机”情境，考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同自变量区间对应的函数解析式，求解参数和函数值时要注意对应取值范围，得到结果后及时检验可避免出现错解。
【难度系数】
0.7
本题考查分段函数的相关应用，解题思路如下：1. 先明确“函数求值机”的分段规则：当$x≥1$时，函数解析式为$y=8x$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=kx+b$，据此解决第（1）问，$x=1$属于$x≥1$的范围，直接代入对应解析式计算即可。2. 第（2）问求$k、b$的值，选取表格中$x＜1$的两组对应值，代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，解方程组即可求出参数值。3. 第（3）问已知$y=0$求$x$，需要分两种情况分别代入两个分段解析式求解，求出$x$后要检验是否符合对应分段的自变量取值范围，舍去不符合的解，剩下的就是正确结果。
【解析】
（1）由“函数求值机”的规则可知，当$x≥1$时，$y=8x$。
输入$x=1$，满足$x≥1$，代入得$y=8×1=8$。
（2）由表格可知，当$x=-2$时$y=2$，$x=0$时$y=6$，这两个$x$值都满足$x＜1$，代入$y=kx+b(k≠0)$可得：
$\begin{cases}2=-2k+b\\6=b\end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$。
因此$\begin{cases}k=2\\b=6\end{cases}$。
（3）分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，令$y=8x=0$，解得$x=0$，$0＜1$，不符合$x≥1$的取值范围，舍去；
② 当$x＜1$时，由（2）可知此时解析式为$y=2x+6$，令$y=2x+6=0$，解得$x=-3$，$-3＜1$，符合取值范围。
综上，输出$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{k=2}$，$\boxed{b=6}$；（3）$\boxed{-3}$
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数解析式，一次函数求值
【点评】
本题结合趣味的“函数求值机”情境，考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同自变量区间对应的函数解析式，求解参数和函数值时要注意对应取值范围，得到结果后及时检验可避免出现错解。
【难度系数】
0.7
10 新情境 生活实际 [2024 包头改编]如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中所给的数据信息，解答下面的问题：
（1）求整齐叠放在桌面上的碗的高度$y(\mathrm{cm})$与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过$28.8\ \mathrm{cm}$，求此时碗的数量最多为多少个。
（第10题）
（1）求整齐叠放在桌面上的碗的高度$y(\mathrm{cm})$与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过$28.8\ \mathrm{cm}$，求此时碗的数量最多为多少个。
（第10题）答案
10. (1) 由题意，设 $y = kx + b$（$k ≠ 0$），则$\begin{cases}4k+b=10.5,\\7k+b=15,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1.5,\\b=4.5.\end{cases}$ $\therefore y=1.5x+4.5$
(2) 根据题意,得$1.5x+4.5≤ 28.8$,解得$x≤ 16.2$,$\therefore x$的最大整数解为16.答:碗的数量最多为16个
(2) 根据题意,得$1.5x+4.5≤ 28.8$,解得$x≤ 16.2$,$\therefore x$的最大整数解为16.答:碗的数量最多为16个
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解一次函数表达式：一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，需要两组$x$（碗的数量）和$y$（叠放高度）的对应值即可求出参数$k、b$。从图中可直接提取信息：4个碗叠放高度为10.5cm，7个碗叠放高度为15cm，将两组数值代入通式得到二元一次方程组，求解即可得到函数表达式。
2. 求最多碗的数量：总高度不超过28.8cm即$y≤28.8$，将第一问得到的函数表达式代入不等式求解，注意碗的数量为正整数，最终取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设碗的高度$y(\mathrm{cm})$与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
根据图示信息，将$\begin{cases}x=4,y=10.5\\x=7,y=15\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}4k+b=10.5\\7k+b=15\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=4.5$，解得$k=1.5$；
将$k=1.5$代入$4k+b=10.5$，得$6+b=10.5$，解得$b=4.5$。
因此一次函数表达式为$y=1.5x+4.5$。
(2) 根据题意，总高度不超过$28.8\ \mathrm{cm}$，即$y≤28.8$，代入函数表达式得：
$1.5x+4.5≤ 28.8$
移项化简得$1.5x≤24.3$，解得$x≤16.2$。
由于碗的数量$x$为正整数，因此$x$的最大整数解为16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=1.5x+4.5}$
(2) $\boldsymbol{16}$个
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数与不等式的综合应用，解题核心是从图示中提取有效数据建立函数模型，同时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，本题中碗的数量为正整数，因此最终结果要取符合条件的整数解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解一次函数表达式：一次函数的通用形式为$y=kx+b(k≠0)$，需要两组$x$（碗的数量）和$y$（叠放高度）的对应值即可求出参数$k、b$。从图中可直接提取信息：4个碗叠放高度为10.5cm，7个碗叠放高度为15cm，将两组数值代入通式得到二元一次方程组，求解即可得到函数表达式。
2. 求最多碗的数量：总高度不超过28.8cm即$y≤28.8$，将第一问得到的函数表达式代入不等式求解，注意碗的数量为正整数，最终取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设碗的高度$y(\mathrm{cm})$与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
根据图示信息，将$\begin{cases}x=4,y=10.5\\x=7,y=15\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}4k+b=10.5\\7k+b=15\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$3k=4.5$，解得$k=1.5$；
将$k=1.5$代入$4k+b=10.5$，得$6+b=10.5$，解得$b=4.5$。
因此一次函数表达式为$y=1.5x+4.5$。
(2) 根据题意，总高度不超过$28.8\ \mathrm{cm}$，即$y≤28.8$，代入函数表达式得：
$1.5x+4.5≤ 28.8$
移项化简得$1.5x≤24.3$，解得$x≤16.2$。
由于碗的数量$x$为正整数，因此$x$的最大整数解为16。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=1.5x+4.5}$
(2) $\boldsymbol{16}$个
【知识点】
一次函数解析式求解，一元一次不等式应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查一次函数与不等式的综合应用，解题核心是从图示中提取有效数据建立函数模型，同时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，本题中碗的数量为正整数，因此最终结果要取符合条件的整数解。
【难度系数】
0.7
