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1 [2025宿迁期末]若关于$x$的正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限，则$k$的取值范围是（
A.$k＜1$
B.$k=1$
C.$k≠1$
D.$k＞1$
A
）A.$k＜1$
B.$k=1$
C.$k≠1$
D.$k＞1$
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正比例函数的图象特征与系数的关系，正比例函数$y=kx$的图象经过的象限由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象过第一、三象限；当$k＜0$时，图象过第二、四象限。本题中函数的比例系数为$(k-1)$，结合图象过第二、四象限的条件，可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。
已知正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限，因此其比例系数满足：
$k-1＜0$
解这个不等式，移项得：$k＜1$
因此$k$的取值范围是$k＜1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正比例函数比例系数的符号与图象经过象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速列式求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆正比例函数的图象特征与系数的关系，正比例函数$y=kx$的图象经过的象限由比例系数$k$的符号决定：当$k＞0$时，图象过第一、三象限；当$k＜0$时，图象过第二、四象限。本题中函数的比例系数为$(k-1)$，结合图象过第二、四象限的条件，可列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。
已知正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限，因此其比例系数满足：
$k-1＜0$
解这个不等式，移项得：$k＜1$
因此$k$的取值范围是$k＜1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正比例函数比例系数的符号与图象经过象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速列式求解。
【难度系数】
0.9
2 [2025 沭阳段考]对于函数$y=-\frac{1}{2}x$，下列说法不正确的是（
A.其图象经过点(0,0)
B.其图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$
C.其图象经过第二、四象限
D.y随x的增大而增大
D
）A.其图象经过点(0,0)
B.其图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$
C.其图象经过第二、四象限
D.y随x的增大而增大
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质，解题思路为：首先明确正比例函数$y=kx(k≠0)$的相关性质，其次对每个选项逐一验证：判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算出的纵坐标与点的纵坐标一致则点在图象上；根据$k$的正负判断图象经过的象限和增减性，最后找出说法不正确的选项即可。
【解析】
已知函数为正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$，其中比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$。
选项A：将$x=0$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×0=0$，因此图象经过点$(0,0)$，该选项说法正确，不符合题意；
选项B：将$x=-1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，因此图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$，该选项说法正确，不符合题意；
选项C：当$k＜0$时，正比例函数的图象经过第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
选项D：当$k＜0$时，正比例函数$y$随$x$的增大而减小，而非增大，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，围绕正比例函数的核心知识点命题，熟练掌握比例系数$k$对函数图象、增减性的影响，以及点在函数图象上的验证方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查正比例函数的图象与性质，解题思路为：首先明确正比例函数$y=kx(k≠0)$的相关性质，其次对每个选项逐一验证：判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算出的纵坐标与点的纵坐标一致则点在图象上；根据$k$的正负判断图象经过的象限和增减性，最后找出说法不正确的选项即可。
【解析】
已知函数为正比例函数$y=-\frac{1}{2}x$，其中比例系数$k=-\frac{1}{2}＜0$。
选项A：将$x=0$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×0=0$，因此图象经过点$(0,0)$，该选项说法正确，不符合题意；
选项B：将$x=-1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{2}×(-1)=\frac{1}{2}$，因此图象经过点$(-1,\frac{1}{2})$，该选项说法正确，不符合题意；
选项C：当$k＜0$时，正比例函数的图象经过第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
选项D：当$k＜0$时，正比例函数$y$随$x$的增大而减小，而非增大，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，围绕正比例函数的核心知识点命题，熟练掌握比例系数$k$对函数图象、增减性的影响，以及点在函数图象上的验证方法即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3 在正比例函数$y=kx$中，$y$随$x$的增大而减小，则点$P(3,k)$在第
四
象限。答案
3. 四
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的增减性与系数k的关系，先根据“y随x的增大而减小”判断出k的符号；再结合平面直角坐标系中四个象限的横、纵坐标的符号特征，即可判断点P所在的象限。
【解析】
1. 根据正比例函数的性质：在正比例函数$y=kx$中，若$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$k＜0$。
2. 点$P$的坐标为$(3,k)$，其中横坐标$3＞0$，纵坐标$k＜0$，符合第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），因此点$P$在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
正比例函数的性质；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质与平面直角坐标系点的坐标特征的基础结合题，熟练掌握两类基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正比例函数的增减性与系数k的关系，先根据“y随x的增大而减小”判断出k的符号；再结合平面直角坐标系中四个象限的横、纵坐标的符号特征，即可判断点P所在的象限。
【解析】
1. 根据正比例函数的性质：在正比例函数$y=kx$中，若$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$k＜0$。
2. 点$P$的坐标为$(3,k)$，其中横坐标$3＞0$，纵坐标$k＜0$，符合第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负），因此点$P$在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
正比例函数的性质；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质与平面直角坐标系点的坐标特征的基础结合题，熟练掌握两类基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4 若正比例函数$y=(m-3)x$的图象经过点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是
$m＜3$
。答案
4. $m＜3$
解析
【分析】
首先回忆正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题给出$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此先判断比例系数的符号，再列不等式求解$m$的取值范围即可。
【解析】
正比例函数$y=(m-3)x$的比例系数为$k=m-3$。
已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即$x$增大时$y$反而减小，说明该函数的$y$随$x$的增大而减小，因此比例系数$k＜0$，可得：
$m-3＜0$
解此不等式，移项得$m＜3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是根据自变量与函数值的变化关系，准确判断比例系数的正负，再通过解简单不等式得到结果，熟练掌握正比例函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.85
首先回忆正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题给出$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此先判断比例系数的符号，再列不等式求解$m$的取值范围即可。
【解析】
正比例函数$y=(m-3)x$的比例系数为$k=m-3$。
已知当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，即$x$增大时$y$反而减小，说明该函数的$y$随$x$的增大而减小，因此比例系数$k＜0$，可得：
$m-3＜0$
解此不等式，移项得$m＜3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用，解题核心是根据自变量与函数值的变化关系，准确判断比例系数的正负，再通过解简单不等式得到结果，熟练掌握正比例函数的增减性规律是解题的关键。
【难度系数】
0.85
5 如果关于x的正比例函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$的图象经过第二、四象限，那么m的值为
$-\sqrt{2}$
。答案
5. $-\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决本题，需结合正比例函数的定义和图象性质分步推导：首先明确正比例函数需满足两个核心条件：一是自变量x的次数为1，二是x的系数不为0；其次，正比例函数图象经过第二、四象限，说明其比例系数小于0。联立以上条件求解并筛选，即可得到m的取值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$是关于x的正比例函数
∴ 自变量x的次数为1，且系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -1 =1$得$m^2=2$，即$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$，两个值均满足$m≠1$。
又
∵ 函数图象经过第二、四象限
∴ 比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$
其中$\sqrt{2}＞1$不符合要求，舍去；$-\sqrt{2}＜1$符合要求
∴ $m=-\sqrt{2}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数定义和性质的综合应用题型，解题时需先根据定义确定参数的可能取值，再结合图象的象限特征筛选出符合条件的结果，注意不要遗漏系数不为0、系数符号的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合正比例函数的定义和图象性质分步推导：首先明确正比例函数需满足两个核心条件：一是自变量x的次数为1，二是x的系数不为0；其次，正比例函数图象经过第二、四象限，说明其比例系数小于0。联立以上条件求解并筛选，即可得到m的取值。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$是关于x的正比例函数
∴ 自变量x的次数为1，且系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -1 =1$得$m^2=2$，即$m=\sqrt{2}$或$m=-\sqrt{2}$，两个值均满足$m≠1$。
又
∵ 函数图象经过第二、四象限
∴ 比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$
其中$\sqrt{2}＞1$不符合要求，舍去；$-\sqrt{2}＜1$符合要求
∴ $m=-\sqrt{2}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数定义和性质的综合应用题型，解题时需先根据定义确定参数的可能取值，再结合图象的象限特征筛选出符合条件的结果，注意不要遗漏系数不为0、系数符号的限制条件。
【难度系数】
0.7
6 已知正比例函数 $ y = kx (k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ (3, -6) $。
（1）求出该正比例函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）判断点 $ A(4, -2), B(-1.5, 3) $ 是否在这个函数的图象上；
（4）若图象经过 $ C(x_1, y_1), D(x_2, y_2) $ 两点，且 $ x_1 ＞ x_2 $，比较 $ y_1, y_2 $ 的大小。
（第6题）
（1）求出该正比例函数的表达式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）判断点 $ A(4, -2), B(-1.5, 3) $ 是否在这个函数的图象上；
（4）若图象经过 $ C(x_1, y_1), D(x_2, y_2) $ 两点，且 $ x_1 ＞ x_2 $，比较 $ y_1, y_2 $ 的大小。
（第6题）答案
6.（1）$\because$ 点$(3,-6)$在正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象上，$\therefore -6=3k$，解得$k=-2$.$\therefore$ 该正比例函数的表达式为$y=-2x$
（2）如图所示
（3）将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$.$\therefore$ 点$A$不在这个函数的图象上. 将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$.$\therefore$ 点$B$在这个函数的图象上
（4）$\because k=-2＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\because x_1＞x_2$，$\therefore y_1＜y_2$
解析
【分析】
（1）求正比例函数表达式时，已知函数形式为$y=kx(k≠0)$，只需将已知点的坐标代入解析式，得到关于$k$的一元一次方程，解出$k$即可确定函数解析式。
（2）正比例函数的图象是过原点的直线，因此只需找到除原点外的一个图象上的点，连接原点与该点即可画出函数图象。
（3）判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
（4）正比例函数的增减性由$k$的符号决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，结合$x_1$、$x_2$的大小关系即可比较$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
（1）将点$(3, -6)$代入$y=kx(k≠0)$，得：
$-6=3k$
解得$k=-2$，因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
（2）正比例函数$y=-2x$过原点$(0,0)$，取$x=1$得$y=-2$，即点$(1,-2)$，在坐标系中连接原点与点$(1,-2)$，即可得到函数图象。
（3）对于点$A(4,-2)$：把$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8$，$-8≠-2$，因此点$A$不在函数图象上；
对于点$B(-1.5,3)$：把$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在函数图象上。
（4）由$k=-2＜0$，可知$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$\because$ 点$(3,-6)$在正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象上，$\therefore -6=3k$，解得$k=-2$.$\therefore$ 该正比例函数的表达式为$y=-2x$
（2）如图所示
（3）将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$.$\therefore$ 点$A$不在这个函数的图象上. 将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$.$\therefore$ 点$B$在这个函数的图象上
（4）$\because k=-2＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\because x_1＞x_2$，$\therefore y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数解析式求解、函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质
【点评】
本题围绕正比例函数的核心知识点设计，覆盖了解析式求解、图象绘制、点与图象的位置判断、增减性应用四类基础题型，是巩固正比例函数相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）求正比例函数表达式时，已知函数形式为$y=kx(k≠0)$，只需将已知点的坐标代入解析式，得到关于$k$的一元一次方程，解出$k$即可确定函数解析式。
（2）正比例函数的图象是过原点的直线，因此只需找到除原点外的一个图象上的点，连接原点与该点即可画出函数图象。
（3）判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的$y$值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
（4）正比例函数的增减性由$k$的符号决定：当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，结合$x_1$、$x_2$的大小关系即可比较$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
（1）将点$(3, -6)$代入$y=kx(k≠0)$，得：
$-6=3k$
解得$k=-2$，因此该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
（2）正比例函数$y=-2x$过原点$(0,0)$，取$x=1$得$y=-2$，即点$(1,-2)$，在坐标系中连接原点与点$(1,-2)$，即可得到函数图象。
（3）对于点$A(4,-2)$：把$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8$，$-8≠-2$，因此点$A$不在函数图象上；
对于点$B(-1.5,3)$：把$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$，与点$B$的纵坐标相等，因此点$B$在函数图象上。
（4）由$k=-2＜0$，可知$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$\because$ 点$(3,-6)$在正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象上，$\therefore -6=3k$，解得$k=-2$.$\therefore$ 该正比例函数的表达式为$y=-2x$
（2）如图所示
（3）将$x=4$代入$y=-2x$，得$y=-2×4=-8≠-2$.$\therefore$ 点$A$不在这个函数的图象上. 将$x=-1.5$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1.5)=3$.$\therefore$ 点$B$在这个函数的图象上
（4）$\because k=-2＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\because x_1＞x_2$，$\therefore y_1＜y_2$
【知识点】
正比例函数解析式求解、函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质
【点评】
本题围绕正比例函数的核心知识点设计，覆盖了解析式求解、图象绘制、点与图象的位置判断、增减性应用四类基础题型，是巩固正比例函数相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8
7 分类讨论思想 已知正比例函数$y=kx$，当$-4≤ x≤ 4$时，函数有最大值3，求$k$的值.
答案
7. 当$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$ 当$x=4$时，$y=3$，$\therefore 4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$. 当$k＜0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$ 当$x=-4$时，$y=3$，$\therefore -4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$. 综上所述，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定，题目未明确$k$的正负，因此需要分类讨论：①当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，函数最大值会在$x$取最大值时取得；②当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，函数最大值会在$x$取最小值时取得。两种情况分别代入最大值条件求解$k$即可，$k=0$时函数值恒为0，不符合题意无需考虑。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
$\because -4≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值3，代入解析式得：
$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$，符合$k＞0$的条件。
2. 当$k＜0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小，
$\because -4≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=-4$时，$y$取得最大值3，代入解析式得：
$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，符合$k＜0$的条件。
综上所述，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数的性质；分类讨论思想；函数最值求解
【点评】
本题主要考查正比例函数增减性与参数$k$的关系，易错点是容易默认$k$为正数，仅求出$k=\frac{3}{4}$，忽略$k$为负数的情况，解题时要结合函数性质全面分析参数的可能取值。
【难度系数】
0.7
正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定，题目未明确$k$的正负，因此需要分类讨论：①当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，函数最大值会在$x$取最大值时取得；②当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，函数最大值会在$x$取最小值时取得。两种情况分别代入最大值条件求解$k$即可，$k=0$时函数值恒为0，不符合题意无需考虑。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，
$\because -4≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=4$时，$y$取得最大值3，代入解析式得：
$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$，符合$k＞0$的条件。
2. 当$k＜0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小，
$\because -4≤ x≤4$，
$\therefore$ 当$x=-4$时，$y$取得最大值3，代入解析式得：
$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，符合$k＜0$的条件。
综上所述，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数的性质；分类讨论思想；函数最值求解
【点评】
本题主要考查正比例函数增减性与参数$k$的关系，易错点是容易默认$k$为正数，仅求出$k=\frac{3}{4}$，忽略$k$为负数的情况，解题时要结合函数性质全面分析参数的可能取值。
【难度系数】
0.7
