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1 有一根垂直于地面的竹竿，要从竹竿上离地面3 m处向地面拉一根长5 m的绳子，绳子绷紧且末端刚好固定在地面上（固定处损耗忽略不计），则地面上绳子的固定点与竹竿底部之间的距离应为
（
A.2 m
B.4 m
C.3 m
D.5 m
（
B
）A.2 m
B.4 m
C.3 m
D.5 m
答案
1. B
解析
【分析】
首先将实际问题转化为几何模型：垂直地面的竹竿、地面、拉的绳子刚好构成直角三角形，其中竹竿与地面的夹角为直角，离地面3m的竹竿长度是直角三角形的一条直角边，长5m的绳子是直角三角形的斜边，要求的地面固定点到竹竿底部的距离是另一条直角边。解题时先确定直角三角形的已知边和未知边，再代入勾股定理计算即可。
【解析】
设竹竿底部为点A，竹竿上离地面3m的位置为点B，地面绳子固定点为点C。
由题意可知，竹竿垂直于地面，因此∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。
其中AB=3m（直角边），BC=5m（斜边），要求AC的长度。
根据勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
变形可得：$AC^2 = BC^2 - AB^2$
代入数值计算：$AC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
因为长度为正数，所以$AC = \sqrt{16} = 4m$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理
2.实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是将生活场景转化为直角三角形数学模型，准确识别直角、已知边和待求边，再套用勾股定理计算即可，整体考查对勾股定理的基础掌握能力。
【难度系数】
0.85
首先将实际问题转化为几何模型：垂直地面的竹竿、地面、拉的绳子刚好构成直角三角形，其中竹竿与地面的夹角为直角，离地面3m的竹竿长度是直角三角形的一条直角边，长5m的绳子是直角三角形的斜边，要求的地面固定点到竹竿底部的距离是另一条直角边。解题时先确定直角三角形的已知边和未知边，再代入勾股定理计算即可。
【解析】
设竹竿底部为点A，竹竿上离地面3m的位置为点B，地面绳子固定点为点C。
由题意可知，竹竿垂直于地面，因此∠BAC=90°，△ABC为直角三角形。
其中AB=3m（直角边），BC=5m（斜边），要求AC的长度。
根据勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$。
变形可得：$AC^2 = BC^2 - AB^2$
代入数值计算：$AC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
因为长度为正数，所以$AC = \sqrt{16} = 4m$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理
2.实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是将生活场景转化为直角三角形数学模型，准确识别直角、已知边和待求边，再套用勾股定理计算即可，整体考查对勾股定理的基础掌握能力。
【难度系数】
0.85
2 小明要用铁杆制作一个直角三角形天线，要求最短边的长为8 cm，最长边的长为17 cm，则小明需要铁杆的总长度为 （
A.42 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.25 cm
B
）A.42 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.25 cm
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确该图形是直角三角形，直角三角形中最长的边为斜边，已知最短边（直角边）和斜边的长度，可先通过勾股定理求出第三条直角边的长度，再将三条边的长度相加，即可得到需要铁杆的总长度，也就是直角三角形的周长。
【解析】
解：
∵直角三角形的最长边为斜边，
∴该直角三角形的斜边长为17 cm，其中一条直角边长为8 cm，
设另一条直角边长为x cm，
根据勾股定理可得：$x^2 + 8^2 = 17^2$，
计算得：$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{225} = 15$，
∴需要铁杆的总长度为$8 + 15 + 17 = 40\ \mathrm{cm}$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长特征；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题的关键是先准确判断出直角三角形的斜边，避免混淆斜边和直角边的位置，再代入勾股定理计算未知边长，最后求和即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先明确该图形是直角三角形，直角三角形中最长的边为斜边，已知最短边（直角边）和斜边的长度，可先通过勾股定理求出第三条直角边的长度，再将三条边的长度相加，即可得到需要铁杆的总长度，也就是直角三角形的周长。
【解析】
解：
∵直角三角形的最长边为斜边，
∴该直角三角形的斜边长为17 cm，其中一条直角边长为8 cm，
设另一条直角边长为x cm，
根据勾股定理可得：$x^2 + 8^2 = 17^2$，
计算得：$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$，
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{225} = 15$，
∴需要铁杆的总长度为$8 + 15 + 17 = 40\ \mathrm{cm}$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长特征；三角形周长计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题的关键是先准确判断出直角三角形的斜边，避免混淆斜边和直角边的位置，再代入勾股定理计算未知边长，最后求和即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3 新情境 数学文化 [2024 吉林]有一首古算诗:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处两尺远,花贴湖面像睡莲.根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图所示,其中$AB=AB'$,$AB⊥B'C$于点C,$BC=0.5$尺,$B'C=2$尺.设AC的长为x尺,所列方程为
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
.答案
3. $x^2+2^2=(x+0.5)^2$
解析
【分析】
要列出正确的方程，首先梳理线段的数量关系：设AC长为x尺，红莲总长度AB等于湖水深度AC加上红莲高出水面的长度BC，即AB = x + 0.5；由题意AB=AB'，因此斜边AB'的长度也为x+0.5。观察图形可知△ACB'是直角三角形，直角为∠C，因此可利用勾股定理，结合“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列等式即可。
【解析】
设AC的长为x尺，
∵ BC=0.5尺，
∴ 红莲的长度$AB = AC + BC = (x + 0.5)$尺，
根据题意$AB = AB'$，
∴ $AB' = (x + 0.5)$尺，
∵ $AB⊥B'C$，即$∠ C = 90°$，
∴ 在$Rt△ ACB'$中，由勾股定理得：$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
将$AC=x$，$B'C=2$，$AB'=x+0.5$代入上式，得：
$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题结合古算诗的趣味情境考查勾股定理的实际应用，解题关键是抓住AB=AB'的等量关系，准确表示出直角三角形三条边的长度，再结合勾股定理建立方程，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
要列出正确的方程，首先梳理线段的数量关系：设AC长为x尺，红莲总长度AB等于湖水深度AC加上红莲高出水面的长度BC，即AB = x + 0.5；由题意AB=AB'，因此斜边AB'的长度也为x+0.5。观察图形可知△ACB'是直角三角形，直角为∠C，因此可利用勾股定理，结合“两条直角边的平方和等于斜边的平方”列等式即可。
【解析】
设AC的长为x尺，
∵ BC=0.5尺，
∴ 红莲的长度$AB = AC + BC = (x + 0.5)$尺，
根据题意$AB = AB'$，
∴ $AB' = (x + 0.5)$尺，
∵ $AB⊥B'C$，即$∠ C = 90°$，
∴ 在$Rt△ ACB'$中，由勾股定理得：$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
将$AC=x$，$B'C=2$，$AB'=x+0.5$代入上式，得：
$x^2 + 2^2 = (x + 0.5)^2$
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题结合古算诗的趣味情境考查勾股定理的实际应用，解题关键是抓住AB=AB'的等量关系，准确表示出直角三角形三条边的长度，再结合勾股定理建立方程，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
4 木工师傅要做一扇长方形纱窗，做好后量得长为6 dm，宽为4 dm，对角线为7 dm，则这扇纱窗
不合格
（填“合格”或“不合格”）答案
4. 不合格
解析
【分析】
要判断纱窗是否合格，首先合格的长方形纱窗四个角均为直角，因此长、宽与对角线可构成直角三角形，满足勾股定理。解题时先计算长和宽的平方和，再计算测量得到的对角线的平方，对比两个结果是否相等，若相等则符合直角要求，纱窗合格，反之不合格。
【解析】
已知长方形纱窗长为6 dm，宽为4 dm，若为合格长方形，长、宽与对角线构成直角三角形，对角线为斜边。
根据勾股定理，对角线的理论平方值为：
$6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$
实际测量的对角线长为7 dm，其平方值为：
$7^2 = 49$
因为$52 ≠ 49$，不满足勾股定理，说明该纱窗的内角不是直角，不符合长方形的要求。
【答案】
不合格
【知识点】
勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题核心是将长方形的规格验证问题转化为直角三角形的勾股定理验证问题，思路清晰直接，易于掌握。
【难度系数】
0.9
要判断纱窗是否合格，首先合格的长方形纱窗四个角均为直角，因此长、宽与对角线可构成直角三角形，满足勾股定理。解题时先计算长和宽的平方和，再计算测量得到的对角线的平方，对比两个结果是否相等，若相等则符合直角要求，纱窗合格，反之不合格。
【解析】
已知长方形纱窗长为6 dm，宽为4 dm，若为合格长方形，长、宽与对角线构成直角三角形，对角线为斜边。
根据勾股定理，对角线的理论平方值为：
$6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$
实际测量的对角线长为7 dm，其平方值为：
$7^2 = 49$
因为$52 ≠ 49$，不满足勾股定理，说明该纱窗的内角不是直角，不符合长方形的要求。
【答案】
不合格
【知识点】
勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用，解题核心是将长方形的规格验证问题转化为直角三角形的勾股定理验证问题，思路清晰直接，易于掌握。
【难度系数】
0.9
5 [2025 宿城期中]如图，在离水面高度为 8 m 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为17 m，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为 10 m，则船向岸边移动了
9
m.答案
5. 9
解析
【分析】
由题意可知AC垂直于水面，因此△CAB和△CAD都是直角三角形，已知直角边AC的长度，以及斜边BC、CD的长度，我们可先利用勾股定理分别求出AB、AD的水平长度，船向岸边移动的距离就是AB与AD的差，按这个思路即可求解。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°。
在Rt△CAB中，AC=8m，BC=17m，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（m）。
在Rt△CAD中，AC=8m，CD=10m，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（m）。
∴船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（m）。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过两次运用勾股定理求出对应边长作差即可得到结果，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
由题意可知AC垂直于水面，因此△CAB和△CAD都是直角三角形，已知直角边AC的长度，以及斜边BC、CD的长度，我们可先利用勾股定理分别求出AB、AD的水平长度，船向岸边移动的距离就是AB与AD的差，按这个思路即可求解。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°。
在Rt△CAB中，AC=8m，BC=17m，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（m）。
在Rt△CAD中，AC=8m，CD=10m，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（m）。
∴船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（m）。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过两次运用勾股定理求出对应边长作差即可得到结果，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
6 [2025泗洪期中]如图，一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中，笔筒的长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm，那么这支铅笔在笔筒外的部分的长度x（单位：cm）的取值范围是
$2≤ x≤3$
。答案
6. $2≤ x≤3$
解析
【分析】
要确定铅笔在笔筒外部分长度的取值范围，需先求出铅笔在笔筒内部长度的最值：当铅笔竖直放置时，笔筒内的铅笔长度最短，对应外露长度最长；当铅笔斜放，底端抵住底面一个顶点、上端抵住顶面相对的顶点时，笔筒内的铅笔长度为长方体的体对角线，此时内部长度最长，对应外露长度最短。分别计算两种情况的外露长度，即可得到取值范围。
【解析】
① 求最短外露长度：
首先计算长方体底面的对角线长度，底面长为4cm、宽为3cm，由勾股定理得：
底面对角线长 = $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5$（cm）
再计算长方体的体对角线长度（即笔筒内能容纳的最长铅笔长度），笔筒高为12cm，再次用勾股定理得：
体对角线长 = $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169}=13$（cm）
此时外露最短长度为 $15 - 13 = 2$（cm）
② 求最长外露长度：
当铅笔竖直放置时，笔筒内铅笔长度等于笔筒高度12cm，此时外露最长长度为 $15 - 12 = 3$（cm）
综上，铅笔在笔筒外部分的长度x的取值范围是$2≤x≤3$。
【答案】
$2≤x≤3$
【知识点】
勾股定理的应用，长方体的特征
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的关键是明确铅笔在笔筒内部的长度的最值情况，将立体图形中的线段长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定铅笔在笔筒外部分长度的取值范围，需先求出铅笔在笔筒内部长度的最值：当铅笔竖直放置时，笔筒内的铅笔长度最短，对应外露长度最长；当铅笔斜放，底端抵住底面一个顶点、上端抵住顶面相对的顶点时，笔筒内的铅笔长度为长方体的体对角线，此时内部长度最长，对应外露长度最短。分别计算两种情况的外露长度，即可得到取值范围。
【解析】
① 求最短外露长度：
首先计算长方体底面的对角线长度，底面长为4cm、宽为3cm，由勾股定理得：
底面对角线长 = $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5$（cm）
再计算长方体的体对角线长度（即笔筒内能容纳的最长铅笔长度），笔筒高为12cm，再次用勾股定理得：
体对角线长 = $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169}=13$（cm）
此时外露最短长度为 $15 - 13 = 2$（cm）
② 求最长外露长度：
当铅笔竖直放置时，笔筒内铅笔长度等于笔筒高度12cm，此时外露最长长度为 $15 - 12 = 3$（cm）
综上，铅笔在笔筒外部分的长度x的取值范围是$2≤x≤3$。
【答案】
$2≤x≤3$
【知识点】
勾股定理的应用，长方体的特征
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的关键是明确铅笔在笔筒内部的长度的最值情况，将立体图形中的线段长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
7 新情境 生活实际 如图，小明从点A出发，先向东走1 m，然后向南走4 m，再向西走2 m，再向南走4 m，最后向东走7 m，到达点B，求出发点A到终点B的距离。
答案
7. 如图，过点 A 作 $AC⊥ BC$,垂足为 C.根据题意,得$AC=4+4=8(\mathrm{m}),BC=7-2+1=6(\mathrm{m})$.在 $\mathrm{Rt}△ ACB$中,由勾股定理,得 $AC^2+BC^2=AB^2,\therefore AB=10\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 出发点 A 到终点 B 的距离为 10 m
解析
【分析】
要计算出发点A到终点B的直线距离，可先构造直角三角形求解。首先根据“上北下南、左西右东”的方位规则，分别统计小明在南北（竖直）、东西（水平）两个垂直方向的总位移，得到直角三角形的两条直角边长，再利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AC⊥ BC$，垂足为C。
根据题意，竖直方向上小明一共向南走的距离为：$AC=4+4=8(\mathrm{m})$；
水平方向上，小明向东走的路程减去向西走的路程，可得水平距离为：$BC=7-2+1=6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得 $AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数值得：$AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，
因此$AB=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
出发点A到终点B的距离为10 m
【知识点】
勾股定理；方位识别；实际问题建模
【点评】
本题结合生活中行走路径的实际场景，考查勾股定理的应用，解题关键是将不规则的行走路径转化为直角三角形的直角边，通过计算两个垂直方向的位移，用勾股定理即可快速求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要计算出发点A到终点B的直线距离，可先构造直角三角形求解。首先根据“上北下南、左西右东”的方位规则，分别统计小明在南北（竖直）、东西（水平）两个垂直方向的总位移，得到直角三角形的两条直角边长，再利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AC⊥ BC$，垂足为C。
根据题意，竖直方向上小明一共向南走的距离为：$AC=4+4=8(\mathrm{m})$；
水平方向上，小明向东走的路程减去向西走的路程，可得水平距离为：$BC=7-2+1=6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得 $AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数值得：$AB^2=8^2+6^2=64+36=100$，
因此$AB=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
出发点A到终点B的距离为10 m
【知识点】
勾股定理；方位识别；实际问题建模
【点评】
本题结合生活中行走路径的实际场景，考查勾股定理的应用，解题关键是将不规则的行走路径转化为直角三角形的直角边，通过计算两个垂直方向的位移，用勾股定理即可快速求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
