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8 如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时，另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行.离开港口3小时后，两船相距 （
A.36海里
B.48海里
C.60海里
D.84海里
（第8题） （第9题）
C
）A.36海里
B.48海里
C.60海里
D.84海里
（第8题） （第9题）
答案
8. C
解析
【分析】
首先根据方向角的定义，东北方向和东南方向的夹角为90°，因此两艘轮船的航行路线构成直角三角形的两条直角边，两船的距离就是该直角三角形的斜边。第一步先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船3小时行驶的路程，也就是直角三角形两条直角边的长度；第二步利用勾股定理计算斜边的长度，就能得到两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船3小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$ AB = 16 × 3 = 48 $（海里）
向东南方向航行的轮船行驶路程：$ AC = 12 × 3 = 36 $（海里）
由方向角可知$ ∠ BAC = 90° $，即$ △ ABC $是直角三角形。
根据勾股定理，斜边$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $，代入数值：
$ BC^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 $
所以$ BC = \sqrt{3600} = 60 $（海里）
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的典型应用，解题的核心是先判断出两艘船的航行路线夹角为直角，再结合行程公式得到直角边长度，最后用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
首先根据方向角的定义，东北方向和东南方向的夹角为90°，因此两艘轮船的航行路线构成直角三角形的两条直角边，两船的距离就是该直角三角形的斜边。第一步先根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船3小时行驶的路程，也就是直角三角形两条直角边的长度；第二步利用勾股定理计算斜边的长度，就能得到两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘轮船3小时行驶的路程：
向东北方向航行的轮船行驶路程：$ AB = 16 × 3 = 48 $（海里）
向东南方向航行的轮船行驶路程：$ AC = 12 × 3 = 36 $（海里）
由方向角可知$ ∠ BAC = 90° $，即$ △ ABC $是直角三角形。
根据勾股定理，斜边$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $，代入数值：
$ BC^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 $
所以$ BC = \sqrt{3600} = 60 $（海里）
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的典型应用，解题的核心是先判断出两艘船的航行路线夹角为直角，再结合行程公式得到直角边长度，最后用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
9 [2025泗洪期中]如图，一长方体容器的长、宽均为3 dm，高为7 dm，里面盛有水，水面高为5 dm，现沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图
所示。若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD=
所示。若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD=5
dm。答案
9. 5 【解析】如图, 设 $DE=x\ \mathrm{dm}$, 则 $AD=(7-x)\mathrm{dm}$. 根据题意, 得 $\frac{1}{2}×(7-x+7)×3×3=3×3×5$,解得 $x=4,\therefore DE=4\ \mathrm{dm}.\because ∠ E=90°,\therefore$ 由勾股定理,得 $CD^2=DE^2+CE^2=4^2+3^2=25(\mathrm{dm}^2),\therefore CD=5\ \mathrm{dm}$
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住倾斜前后水的体积不变这一不变量。首先计算原来容器内水的体积，倾斜后容器内水的部分可看作底面为直角梯形的直棱柱，根据直棱柱体积=底面积（梯形面积）×容器的宽，列出方程求出DE的长度，再观察到△EDC是直角三角形，利用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
设 $ DE = x\ \mathrm{dm} $，则 $ AD = (7 - x)\ \mathrm{dm} $。
根据倾斜前后水的体积相等列方程：
倾斜前水的体积为 $ 3×3×5 = 45\ \mathrm{dm}^3 $
倾斜后水的部分为底面是梯形的直棱柱，梯形上底长$ (7-x)\ \mathrm{dm} $、下底长$ 7\ \mathrm{dm} $、高$ 3\ \mathrm{dm} $，直棱柱的宽为$ 3\ \mathrm{dm} $，因此体积为$ \frac{1}{2}×(7-x+7)×3×3 $
可得方程：
$ \frac{1}{2}×(14-x)×9 = 45 $
解得 $ x=4 $，即 $ DE=4\ \mathrm{dm} $。
由题意得$ ∠ E=90° $，$ CE=3\ \mathrm{dm} $，在$ \mathrm{Rt}△ EDC $中，根据勾股定理：
$ CD^2=DE^2+CE^2=4^2+3^2=25 $
因此 $ CD=5\ \mathrm{dm} $（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
等积变换，一元一次方程的应用，勾股定理
【点评】
本题将立体图形的体积计算与勾股定理相结合，解题的关键是准确抓住倾斜前后水的体积不变这一核心，通过建立方程求解未知线段，再利用勾股定理得到最终结果，有效考查了知识的综合运用能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住倾斜前后水的体积不变这一不变量。首先计算原来容器内水的体积，倾斜后容器内水的部分可看作底面为直角梯形的直棱柱，根据直棱柱体积=底面积（梯形面积）×容器的宽，列出方程求出DE的长度，再观察到△EDC是直角三角形，利用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
设 $ DE = x\ \mathrm{dm} $，则 $ AD = (7 - x)\ \mathrm{dm} $。
根据倾斜前后水的体积相等列方程：
倾斜前水的体积为 $ 3×3×5 = 45\ \mathrm{dm}^3 $
倾斜后水的部分为底面是梯形的直棱柱，梯形上底长$ (7-x)\ \mathrm{dm} $、下底长$ 7\ \mathrm{dm} $、高$ 3\ \mathrm{dm} $，直棱柱的宽为$ 3\ \mathrm{dm} $，因此体积为$ \frac{1}{2}×(7-x+7)×3×3 $
可得方程：
$ \frac{1}{2}×(14-x)×9 = 45 $
解得 $ x=4 $，即 $ DE=4\ \mathrm{dm} $。
由题意得$ ∠ E=90° $，$ CE=3\ \mathrm{dm} $，在$ \mathrm{Rt}△ EDC $中，根据勾股定理：
$ CD^2=DE^2+CE^2=4^2+3^2=25 $
因此 $ CD=5\ \mathrm{dm} $（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
等积变换，一元一次方程的应用，勾股定理
【点评】
本题将立体图形的体积计算与勾股定理相结合，解题的关键是准确抓住倾斜前后水的体积不变这一核心，通过建立方程求解未知线段，再利用勾股定理得到最终结果，有效考查了知识的综合运用能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
10 方程思想 [2025 沭阳段考]如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且∠C=90°，BC=5 m，它们都要到点A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10 m处的点A处，另一只猴子乙先爬到树顶点D处后再沿缆绳DA滑到点A处。已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x m。
（1）请用含有x的式子表示线段AD的长：
（2）求这棵树的高。
（1）请用含有x的式子表示线段AD的长：
$(15-x)$
m；（2）求这棵树的高。
答案
10. (1) $(15-x)$ (2) $\because ∠ C=90°,CD=DB+BC=(x+5)\mathrm{m},\therefore AD^2=AC^2+CD^2$,即 $(15-x)^2=10^2+(x+5)^2,\therefore x=2.5,\therefore BD=2.5\ \mathrm{m},\therefore CD=2.5+5=7.5(\mathrm{m}).\therefore$ 树高 7.5 m
解析
【分析】
（1）先计算猴子甲的行走总路程：甲从B下到C走了5m，再从C走到A走了10m，总路程为$5+10=15\mathrm{m}$。两只猴子路程相等，猴子乙的行走路程是$BD+DA$，已知$BD$为$x\mathrm{m}$，因此用总路程减去$BD$的长度，即可得到$AD$的表达式。
（2）由$∠ C=90°$可知$△ ACD$是直角三角形，满足勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方。其中$AC=10\mathrm{m}$是已知直角边，$CD=BC+BD=(x+5)\mathrm{m}$是另一条直角边，$AD$是第（1）问得到的$(15-x)\mathrm{m}$为斜边，代入勾股定理列方程求解$x$，再计算$CD$的长度就是树的高度。
【解析】
（1）猴子甲经过的路程为$BC+AC=5+10=15(\mathrm{m})$，因为两只猴子经过的路程相等，所以乙经过的路程$BD+AD=15\mathrm{m}$，已知$BD=x\mathrm{m}$，因此$AD=15-x$。
（2）由题意得$∠ C=90°$，$CD=BD+BC=(x+5)\mathrm{m}$，$AC=10\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理得$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AD=15-x$代入得：
$(15-x)^2=10^2+(x+5)^2$
展开得：$225-30x+x^2=100+x^2+10x+25$
消去同类项化简得：$225-30x=125+10x$
移项合并得：$40x=100$
解得$x=2.5$
所以树高$CD=BC+BD=5+2.5=7.5(\mathrm{m})$。
【答案】
（1）$\boxed{15-x}$
（2）$\boxed{7.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题将勾股定理和实际生活场景结合，解题核心是先利用路程相等的关系表示出未知线段，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）先计算猴子甲的行走总路程：甲从B下到C走了5m，再从C走到A走了10m，总路程为$5+10=15\mathrm{m}$。两只猴子路程相等，猴子乙的行走路程是$BD+DA$，已知$BD$为$x\mathrm{m}$，因此用总路程减去$BD$的长度，即可得到$AD$的表达式。
（2）由$∠ C=90°$可知$△ ACD$是直角三角形，满足勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方。其中$AC=10\mathrm{m}$是已知直角边，$CD=BC+BD=(x+5)\mathrm{m}$是另一条直角边，$AD$是第（1）问得到的$(15-x)\mathrm{m}$为斜边，代入勾股定理列方程求解$x$，再计算$CD$的长度就是树的高度。
【解析】
（1）猴子甲经过的路程为$BC+AC=5+10=15(\mathrm{m})$，因为两只猴子经过的路程相等，所以乙经过的路程$BD+AD=15\mathrm{m}$，已知$BD=x\mathrm{m}$，因此$AD=15-x$。
（2）由题意得$∠ C=90°$，$CD=BD+BC=(x+5)\mathrm{m}$，$AC=10\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理得$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AD=15-x$代入得：
$(15-x)^2=10^2+(x+5)^2$
展开得：$225-30x+x^2=100+x^2+10x+25$
消去同类项化简得：$225-30x=125+10x$
移项合并得：$40x=100$
解得$x=2.5$
所以树高$CD=BC+BD=5+2.5=7.5(\mathrm{m})$。
【答案】
（1）$\boxed{15-x}$
（2）$\boxed{7.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题将勾股定理和实际生活场景结合，解题核心是先利用路程相等的关系表示出未知线段，再结合勾股定理建立方程求解，能很好地考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
11 如图，圆柱形玻璃杯的高为 16 cm，底面周长为 24 cm.一只蚂蚁在杯外壁、离杯上沿 5.5 cm 的点 A 处.蚂蚁发现，在与它相对的杯壁点 B 处有一滴蜂蜜，已知点 B 距离杯底 5.5 cm.
（1）若蜂蜜在杯外壁，则蚂蚁最少应爬行多远就能吃到蜂蜜？
（2）[2025 遂宁改编]若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，则最少应爬行多远（杯壁厚度不计）？
（第 11 题）
（1）若蜂蜜在杯外壁，则蚂蚁最少应爬行多远就能吃到蜂蜜？
（2）[2025 遂宁改编]若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，则最少应爬行多远（杯壁厚度不计）？
（第 11 题）
答案
11. (1) 如图①,过点 A 作 $AH⊥ MN$ 于点 H,连接 AB.由题意,易得 $AH=12\ \mathrm{cm},BH=16-2×5.5=5(\mathrm{cm}).\because AB^2=BH^2+AH^2,\therefore AB=13\ \mathrm{cm},\therefore$ 若蜂蜜在杯外壁,则蚂蚁最少应爬行 13 cm 就能吃到蜂蜜
(2) 如图②,作点 A 关于 PM 的对称点 $A'$,过点 $A'$ 作直线 MN 的垂线,垂足为 D,连接 $A'B$,易得 $MD=PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm},BD=16-5.5+5.5=16(\mathrm{cm}),A'D=12\ \mathrm{cm}.\because A'B^2=A'D^2+BD^2,\therefore A'B=20\ \mathrm{cm},\therefore$ 若蜂蜜在杯内壁,蚂蚁要吃到蜂蜜,则最少应爬行 20 cm
解析
【分析】
解决圆柱表面蚂蚁爬行最短路径问题，核心方法是将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。
(1) 蜂蜜和蚂蚁都在杯外壁时，展开侧面后直接连接A、B两点，线段AB即为最短路径：首先A、B在相对杯壁，水平距离为底面周长的一半；竖直距离为杯高减去A到上沿、B到下沿的距离，再用勾股定理计算AB长度即可。
(2) 蜂蜜在杯内壁时，蚂蚁需先爬到杯口再进入内壁，采用对称法转化路径：作点A关于杯上沿的对称点A'，此时A'到B的线段长度就是最短路径（A到杯口任意点的距离等于A'到该点的距离），再确定对应直角边长度，用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
(1) 如图①，将圆柱侧面展开，过点A作$AH⊥MN$于点H，连接AB。
由题意得：底面周长为24 cm，A、B在相对杯壁，因此$AH=24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
竖直方向上，A离上沿5.5 cm，B离下沿5.5 cm，因此$BH=16-2×5.5=5\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ AHB$中，由勾股定理得$AB^2=AH^2+BH^2=12^2+5^2=169$，解得$AB=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图②，将圆柱侧面展开，作点A关于上沿PM的对称点$A'$，过$A'$作直线MN的垂线，垂足为D，连接$A'B$，此时$A'B$的长度即为最短爬行距离。
由对称性质得$PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm}$，水平距离$A'D=24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
竖直方向$BD=16-5.5+5.5=16\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ A'DB$中，由勾股定理得$A'B^2=A'D^2+BD^2=12^2+16^2=400$，解得$A'B=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 若蜂蜜在杯外壁，则蚂蚁最少应爬行13 cm就能吃到蜂蜜；(2) 若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，则最少应爬行20 cm
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心考查将曲面问题转化为平面问题的转化思想，第二问的内壁场景需使用对称法转化路径，能很好地检验学生对勾股定理实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决圆柱表面蚂蚁爬行最短路径问题，核心方法是将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算长度。
(1) 蜂蜜和蚂蚁都在杯外壁时，展开侧面后直接连接A、B两点，线段AB即为最短路径：首先A、B在相对杯壁，水平距离为底面周长的一半；竖直距离为杯高减去A到上沿、B到下沿的距离，再用勾股定理计算AB长度即可。
(2) 蜂蜜在杯内壁时，蚂蚁需先爬到杯口再进入内壁，采用对称法转化路径：作点A关于杯上沿的对称点A'，此时A'到B的线段长度就是最短路径（A到杯口任意点的距离等于A'到该点的距离），再确定对应直角边长度，用勾股定理计算A'B即可。
【解析】
(1) 如图①，将圆柱侧面展开，过点A作$AH⊥MN$于点H，连接AB。
由题意得：底面周长为24 cm，A、B在相对杯壁，因此$AH=24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
竖直方向上，A离上沿5.5 cm，B离下沿5.5 cm，因此$BH=16-2×5.5=5\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ AHB$中，由勾股定理得$AB^2=AH^2+BH^2=12^2+5^2=169$，解得$AB=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图②，将圆柱侧面展开，作点A关于上沿PM的对称点$A'$，过$A'$作直线MN的垂线，垂足为D，连接$A'B$，此时$A'B$的长度即为最短爬行距离。
由对称性质得$PA'=PA=5.5\ \mathrm{cm}$，水平距离$A'D=24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
竖直方向$BD=16-5.5+5.5=16\ \mathrm{cm}$；
在$Rt△ A'DB$中，由勾股定理得$A'B^2=A'D^2+BD^2=12^2+16^2=400$，解得$A'B=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 若蜂蜜在杯外壁，则蚂蚁最少应爬行13 cm就能吃到蜂蜜；(2) 若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，则最少应爬行20 cm
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心考查将曲面问题转化为平面问题的转化思想，第二问的内壁场景需使用对称法转化路径，能很好地检验学生对勾股定理实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
