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1 下列各组抛物线中，能够通过互相平移而得到彼此的是(
(A) $y=2x^2$ 与 $y=3x^2$
(B) $y=\frac{1}{2}x^2 + 2$ 与 $y=2x^2 + \frac{1}{2}$
(C) $y=2x^2$ 与 $y=x^2 + 2$
(D) $y=x^2 + 2$ 与 $y=x^2 - 2$
2 已知 $a$、$b$、$c$ 是 $△ ABC$ 中 $∠ A$、$∠ B$、$∠ C$ 的对边，抛物线 $y=x^2 - 2ax + b^2$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $M(a + c, 0)$，则 $△ ABC$ 是(
(A) 等腰三角形
(B) 等边三角形
(C) 直角三角形
(D) 无法确定
D
)。(A) $y=2x^2$ 与 $y=3x^2$
(B) $y=\frac{1}{2}x^2 + 2$ 与 $y=2x^2 + \frac{1}{2}$
(C) $y=2x^2$ 与 $y=x^2 + 2$
(D) $y=x^2 + 2$ 与 $y=x^2 - 2$
2 已知 $a$、$b$、$c$ 是 $△ ABC$ 中 $∠ A$、$∠ B$、$∠ C$ 的对边，抛物线 $y=x^2 - 2ax + b^2$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $M(a + c, 0)$，则 $△ ABC$ 是(
C
)。(A) 等腰三角形
(B) 等边三角形
(C) 直角三角形
(D) 无法确定
答案
1.D 2.C
解析
【分析】
第1题思路
要判断抛物线能否通过平移互相得到，需牢记抛物线平移的核心性质：平移仅改变抛物线的位置，不改变开口方向和开口大小，即二次项系数$a$的值完全不变。因此只需对比每组两个抛物线的二次项系数是否相等即可判断。
第2题思路
已知抛物线与$x$轴的交点坐标，可将交点坐标代入抛物线解析式，得到关于$a、b、c$的等式，整理等式后结合勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
第1题
逐个分析选项：
A选项：$y=2x^2$的二次项系数为2，$y=3x^2$的二次项系数为3，$a$不相等，无法通过平移得到；
B选项：$y=\frac{1}{2}x^2+2$的二次项系数为$\frac{1}{2}$，$y=2x^2+\frac{1}{2}$的二次项系数为2，$a$不相等，无法通过平移得到；
C选项：$y=2x^2$的二次项系数为2，$y=x^2+2$的二次项系数为1，$a$不相等，无法通过平移得到；
D选项：$y=x^2+2$和$y=x^2-2$的二次项系数均为1，$a$相等，将前者向下平移4个单位即可得到后者，符合要求。
第2题
将交点$M(a+c,0)$代入抛物线$y=x^2-2ax+b^2$，得：
$(a+c)^2 - 2a(a+c) + b^2 = 0$
展开并整理等式：
$a^2+2ac+c^2-2a^2-2ac+b^2=0$
$b^2+c^2=a^2$
因为$a、b、c$是$△ ABC$的三边，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
1.D 2.C
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数图象点的坐标特征，勾股定理逆定理
【点评】
两道题均围绕二次函数基础性质考查，第1题属于基础概念题，牢记平移不改变二次项系数即可快速判断；第2题是二次函数和几何的简单综合，掌握代入法求参数关系即可轻松求解，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.75
第1题思路
要判断抛物线能否通过平移互相得到，需牢记抛物线平移的核心性质：平移仅改变抛物线的位置，不改变开口方向和开口大小，即二次项系数$a$的值完全不变。因此只需对比每组两个抛物线的二次项系数是否相等即可判断。
第2题思路
已知抛物线与$x$轴的交点坐标，可将交点坐标代入抛物线解析式，得到关于$a、b、c$的等式，整理等式后结合勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
第1题
逐个分析选项：
A选项：$y=2x^2$的二次项系数为2，$y=3x^2$的二次项系数为3，$a$不相等，无法通过平移得到；
B选项：$y=\frac{1}{2}x^2+2$的二次项系数为$\frac{1}{2}$，$y=2x^2+\frac{1}{2}$的二次项系数为2，$a$不相等，无法通过平移得到；
C选项：$y=2x^2$的二次项系数为2，$y=x^2+2$的二次项系数为1，$a$不相等，无法通过平移得到；
D选项：$y=x^2+2$和$y=x^2-2$的二次项系数均为1，$a$相等，将前者向下平移4个单位即可得到后者，符合要求。
第2题
将交点$M(a+c,0)$代入抛物线$y=x^2-2ax+b^2$，得：
$(a+c)^2 - 2a(a+c) + b^2 = 0$
展开并整理等式：
$a^2+2ac+c^2-2a^2-2ac+b^2=0$
$b^2+c^2=a^2$
因为$a、b、c$是$△ ABC$的三边，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$为直角三角形。
【答案】
1.D 2.C
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数图象点的坐标特征，勾股定理逆定理
【点评】
两道题均围绕二次函数基础性质考查，第1题属于基础概念题，牢记平移不改变二次项系数即可快速判断；第2题是二次函数和几何的简单综合，掌握代入法求参数关系即可轻松求解，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.75
3 若$A(-\dfrac{13}{4}, y_1)$，$B(-1, y_2)$，$C(\dfrac{5}{3}, y_3)$为二次函数$y=-x^2 -4x +5$的图像上的三点，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是(
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C
)。A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
答案
3.C
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，可利用二次函数的图象性质求解：首先该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。解题步骤为：①先根据二次函数解析式求出对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；③根据距离大小关系推导y值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 -4x +5$，其中$a=-1＜0$，$b=-4$，
首先计算对称轴：由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入得$x=-\dfrac{-4}{2×(-1)}=-2$；
因为抛物线开口向下，所以点到对称轴$x=-2$的距离越近，函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点A横坐标为$-\dfrac{13}{4}$，距离为$\left|-\dfrac{13}{4} - (-2)\right|=\left|-\dfrac{5}{4}\right|=\dfrac{5}{4}$；
点B横坐标为$-1$，距离为$|-1 - (-2)|=1=\dfrac{4}{4}$；
点C横坐标为$\dfrac{5}{3}$，距离为$\left|\dfrac{5}{3} - (-2)\right|=\left|\dfrac{11}{3}\right|=\dfrac{11}{3}$；
比较距离大小：$\dfrac{4}{4}＜\dfrac{5}{4}＜\dfrac{11}{3}$，即点B离对称轴最近，点C离对称轴最远，
因此函数值大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，利用抛物线的对称性比较点到对称轴的距离来判断函数值大小，比直接代入坐标计算更高效，解题时要注意抛物线开口方向对函数值变化规律的影响。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，可利用二次函数的图象性质求解：首先该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。解题步骤为：①先根据二次函数解析式求出对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；③根据距离大小关系推导y值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 -4x +5$，其中$a=-1＜0$，$b=-4$，
首先计算对称轴：由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入得$x=-\dfrac{-4}{2×(-1)}=-2$；
因为抛物线开口向下，所以点到对称轴$x=-2$的距离越近，函数值越大。
分别计算三点到对称轴的距离：
点A横坐标为$-\dfrac{13}{4}$，距离为$\left|-\dfrac{13}{4} - (-2)\right|=\left|-\dfrac{5}{4}\right|=\dfrac{5}{4}$；
点B横坐标为$-1$，距离为$|-1 - (-2)|=1=\dfrac{4}{4}$；
点C横坐标为$\dfrac{5}{3}$，距离为$\left|\dfrac{5}{3} - (-2)\right|=\left|\dfrac{11}{3}\right|=\dfrac{11}{3}$；
比较距离大小：$\dfrac{4}{4}＜\dfrac{5}{4}＜\dfrac{11}{3}$，即点B离对称轴最近，点C离对称轴最远，
因此函数值大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，利用抛物线的对称性比较点到对称轴的距离来判断函数值大小，比直接代入坐标计算更高效，解题时要注意抛物线开口方向对函数值变化规律的影响。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的值永远为负值的条件是a
4 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的值永远为负值的条件是a
＜
0，$b^2-4ac$ ＜
0。答案
4. ＜ , ＜
解析
【分析】
要确定二次函数值永远为负值的条件，我们可以结合二次函数的图象（抛物线）的特征分析：首先，若函数值永远小于0，说明抛物线整体在x轴下方，首先开口方向必须向下，由此可确定a的符号；其次，抛物线不能和x轴有交点，否则交点处函数值为0，不符合“永远为负值”的要求，由此可确定判别式$b^2-4ac$的符号。
【解析】
1. 二次函数的图象是抛物线，若函数值永远为负值，抛物线开口需向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 要保证所有点的函数值都小于0，抛物线与x轴没有公共点，即对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。
【答案】
＜，＜
【知识点】
二次函数的图象与性质，根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，需要结合图象特征理解函数值恒成立的条件，体现了数形结合的思想，熟练掌握抛物线开口方向、与x轴交点个数和系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数值永远为负值的条件，我们可以结合二次函数的图象（抛物线）的特征分析：首先，若函数值永远小于0，说明抛物线整体在x轴下方，首先开口方向必须向下，由此可确定a的符号；其次，抛物线不能和x轴有交点，否则交点处函数值为0，不符合“永远为负值”的要求，由此可确定判别式$b^2-4ac$的符号。
【解析】
1. 二次函数的图象是抛物线，若函数值永远为负值，抛物线开口需向下，因此二次项系数$a＜0$；
2. 要保证所有点的函数值都小于0，抛物线与x轴没有公共点，即对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$。
【答案】
＜，＜
【知识点】
二次函数的图象与性质，根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，需要结合图象特征理解函数值恒成立的条件，体现了数形结合的思想，熟练掌握抛物线开口方向、与x轴交点个数和系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.8
5 已知二次函数的顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)，该二次函数的表达式是
$y=-2(x-1)^2-6$
。答案
5. $y=-2(x-1)^2-6$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标时，优先选择顶点式设函数表达式可简化计算。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，本题中$h=1$、$k=-6$，代入后仅剩下参数$a$未知；再将已知经过的点$(2,-8)$代入表达式，即可求出$a$的值，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）
$\because$ 二次函数顶点坐标为$(1,-6)$
$\therefore h=1$，$k=-6$，即表达式可写为$y=a(x-1)^2-6$
$\because$ 函数图象经过点$(2,-8)$
$\therefore$ 将$x=2$，$y=-8$代入上式得：
$-8=a(2-1)^2-6$
解得$a=-2$
将$a=-2$代入$y=a(x-1)^2-6$，得$y=-2(x-1)^2-6$
【答案】
$y=-2(x-1)^2-6$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数解析式的求解方法，已知顶点坐标时选择顶点式计算更简便，掌握不同解析式形式的适用场景是解题关键。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标时，优先选择顶点式设函数表达式可简化计算。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，本题中$h=1$、$k=-6$，代入后仅剩下参数$a$未知；再将已知经过的点$(2,-8)$代入表达式，即可求出$a$的值，最终得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：设该二次函数的表达式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）
$\because$ 二次函数顶点坐标为$(1,-6)$
$\therefore h=1$，$k=-6$，即表达式可写为$y=a(x-1)^2-6$
$\because$ 函数图象经过点$(2,-8)$
$\therefore$ 将$x=2$，$y=-8$代入上式得：
$-8=a(2-1)^2-6$
解得$a=-2$
将$a=-2$代入$y=a(x-1)^2-6$，得$y=-2(x-1)^2-6$
【答案】
$y=-2(x-1)^2-6$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数解析式的求解方法，已知顶点坐标时选择顶点式计算更简便，掌握不同解析式形式的适用场景是解题关键。
【难度系数】
0.8
⑥ 已知二次函数$y=(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2$，则当$m=$
$\frac{1}{2}$
时，其最大值为0。答案
6. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先，二次函数存在最大值，说明抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，可先确定m的取值范围；其次最大值为0，说明抛物线顶点的纵坐标为0，可利用二次函数顶点纵坐标公式列方程求解，最后结合m的取值范围舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2$有最大值，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$m-1＜0$，解得$m＜1$。
∵ 函数最大值为0，即顶点纵坐标为0，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，
∴ 分子$4ac-b^2=0$，代入$a=m-1$，$b=2m$，$c=3m-2$得：
$4(m-1)(3m-2)-(2m)^2=0$
两边同除以4得：
$(m-1)(3m-2)-m^2=0$
展开整理得：
$2m^2-5m+2=0$
因式分解为：
$(2m-1)(m-2)=0$
解得$m_1=\frac{1}{2}$，$m_2=2$。
结合$m＜1$的取值范围，舍去$m=2$，因此$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题易错点是容易忽略二次函数有最大值时开口向下的隐含条件，求解方程后未对参数值进行取舍，解题时要先根据最值的存在性确定参数的取值范围，再结合顶点性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
首先，二次函数存在最大值，说明抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，可先确定m的取值范围；其次最大值为0，说明抛物线顶点的纵坐标为0，可利用二次函数顶点纵坐标公式列方程求解，最后结合m的取值范围舍去不符合题意的解即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2$有最大值，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$m-1＜0$，解得$m＜1$。
∵ 函数最大值为0，即顶点纵坐标为0，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，
∴ 分子$4ac-b^2=0$，代入$a=m-1$，$b=2m$，$c=3m-2$得：
$4(m-1)(3m-2)-(2m)^2=0$
两边同除以4得：
$(m-1)(3m-2)-m^2=0$
展开整理得：
$2m^2-5m+2=0$
因式分解为：
$(2m-1)(m-2)=0$
解得$m_1=\frac{1}{2}$，$m_2=2$。
结合$m＜1$的取值范围，舍去$m=2$，因此$m=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题易错点是容易忽略二次函数有最大值时开口向下的隐含条件，求解方程后未对参数值进行取舍，解题时要先根据最值的存在性确定参数的取值范围，再结合顶点性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
7 抛物线$y=ax^2 + 2x + c$的顶点是$(\dfrac{1}{3}, -1)$，那么$a=$
$-3$
，$c=$$-\frac{4}{3}$
。答案
7. $-3, -\frac{4}{3}$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，可利用二次函数顶点坐标与系数的关系求解。第一步，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知的顶点横坐标和一次项系数$b=2$，先求出$a$的值；第二步，将求出的$a$和顶点坐标代入原抛物线解析式，即可求出$c$的值。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2+2x+c$，其中一次项系数$b=2$。
1. 求$a$的值：
二次函数顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，已知顶点横坐标为$\frac{1}{3}$，代入得：
$\frac{-2}{2a}=\frac{1}{3}$
化简得$-\frac{1}{a}=\frac{1}{3}$，解得$a=-3$。
2. 求$c$的值：
将$a=-3$，以及顶点坐标$(\frac{1}{3},-1)$代入抛物线解析式$y=ax^2+2x+c$，得：
$-1=-3×(\frac{1}{3})^2 + 2×\frac{1}{3} + c$
计算右侧：$-3×\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+c=\frac{1}{3}+c$
因此有$-1=\frac{1}{3}+c$，解得$c=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$。
【答案】
$-3$，$-\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点的性质求解未知系数，只要熟练掌握顶点坐标公式，结合代入法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，可利用二次函数顶点坐标与系数的关系求解。第一步，根据顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知的顶点横坐标和一次项系数$b=2$，先求出$a$的值；第二步，将求出的$a$和顶点坐标代入原抛物线解析式，即可求出$c$的值。
【解析】
对于抛物线$y=ax^2+2x+c$，其中一次项系数$b=2$。
1. 求$a$的值：
二次函数顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，已知顶点横坐标为$\frac{1}{3}$，代入得：
$\frac{-2}{2a}=\frac{1}{3}$
化简得$-\frac{1}{a}=\frac{1}{3}$，解得$a=-3$。
2. 求$c$的值：
将$a=-3$，以及顶点坐标$(\frac{1}{3},-1)$代入抛物线解析式$y=ax^2+2x+c$，得：
$-1=-3×(\frac{1}{3})^2 + 2×\frac{1}{3} + c$
计算右侧：$-3×\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+c=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+c=\frac{1}{3}+c$
因此有$-1=\frac{1}{3}+c$，解得$c=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$。
【答案】
$-3$，$-\frac{4}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点的性质求解未知系数，只要熟练掌握顶点坐标公式，结合代入法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
⑧ 已知抛物线与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(4,0)$，且顶点$C$到$x$轴的距离为3，那么抛物线的表达式是
$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$或$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
。答案
8. $y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$或$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：①已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设二次函数表达式，能减少计算量；②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先计算两个交点横坐标的平均值，得到对称轴的直线方程，进而得到顶点的横坐标；③顶点到x轴的距离为3，说明顶点纵坐标为3或-3，对应抛物线开口向下、向上两种情况，需分情况讨论；④将顶点坐标代入所设的交点式，求出参数a的值，再展开为一般式即可得到最终结果。
【解析】
已知抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(4,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+2)(x-4)$（$a≠0$）。
抛物线的对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{-2+4}{2}=1$
因为顶点在对称轴上，且顶点C到x轴的距离为3，所以顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$，分两种情况计算：
1. 当顶点坐标为$(1,3)$时，代入交点式得：
$3=a(1+2)(1-4)$
$3=-9a$
解得$a=-\frac{1}{3}$
代入展开得：
$y=-\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$
2. 当顶点坐标为$(1,-3)$时，代入交点式得：
$-3=a(1+2)(1-4)$
$-3=-9a$
解得$a=\frac{1}{3}$
代入展开得：
$y=\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$或$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是根据已知条件合理选择解析式的设法，同时要注意“点到x轴的距离”对应纵坐标的绝对值，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：①已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设二次函数表达式，能减少计算量；②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先计算两个交点横坐标的平均值，得到对称轴的直线方程，进而得到顶点的横坐标；③顶点到x轴的距离为3，说明顶点纵坐标为3或-3，对应抛物线开口向下、向上两种情况，需分情况讨论；④将顶点坐标代入所设的交点式，求出参数a的值，再展开为一般式即可得到最终结果。
【解析】
已知抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(4,0)$，设抛物线的交点式为$y=a(x+2)(x-4)$（$a≠0$）。
抛物线的对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{-2+4}{2}=1$
因为顶点在对称轴上，且顶点C到x轴的距离为3，所以顶点坐标为$(1,3)$或$(1,-3)$，分两种情况计算：
1. 当顶点坐标为$(1,3)$时，代入交点式得：
$3=a(1+2)(1-4)$
$3=-9a$
解得$a=-\frac{1}{3}$
代入展开得：
$y=-\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$
2. 当顶点坐标为$(1,-3)$时，代入交点式得：
$-3=a(1+2)(1-4)$
$-3=-9a$
解得$a=\frac{1}{3}$
代入展开得：
$y=\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$或$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是根据已知条件合理选择解析式的设法，同时要注意“点到x轴的距离”对应纵坐标的绝对值，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9 已知抛物线$y=x^2+(a-3)x+3b-a$与x轴有唯一的交点A(3,0)，那么实数a、b的值分别为
$-3$
、$2$
。答案
9. $-3, 2$ [提示:因为抛物线与x轴有唯一的交点A(3,0),所以点A就是抛物线的顶点,所以可得表达式为$y=(x-3)^2$,化为一般式:$y=x^2-6x+9$,所以$\begin{cases}a-3=-6,\\3b-a=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-3,\\b=2。\end{cases}$]
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：抛物线与x轴有唯一交点A(3,0)，首先回忆二次函数的性质，抛物线与x轴仅有一个交点时，这个交点就是抛物线的顶点，且顶点纵坐标为0，因此可直接写出抛物线的顶点式$y=(x-3)^2$。接下来将顶点式展开为一般式，和题目给出的一般式对比，对应项的系数相等，即可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+(a-3)x+3b-a$与x轴有唯一交点A(3,0)
∴点A是抛物线的顶点，抛物线解析式可写为顶点式：
$y=(x-3)^2$
将顶点式展开为一般式：
$y=x^2-6x+9$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此可列方程组：
$\begin{cases}a-3=-6\\3b-a=9\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-6+3=-3$
把$a=-3$代入第二个方程：$3b-(-3)=9$
化简得$3b+3=9$，解得$b=2$
【答案】
$-3$；$2$
【知识点】
二次函数与x轴交点性质；二次函数顶点式；待定系数法
【点评】
本题侧重考察二次函数基本性质的应用，掌握抛物线与x轴仅有一个交点的特性、不同形式解析式的转化方法，就能快速理清解题思路，求解过程难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：抛物线与x轴有唯一交点A(3,0)，首先回忆二次函数的性质，抛物线与x轴仅有一个交点时，这个交点就是抛物线的顶点，且顶点纵坐标为0，因此可直接写出抛物线的顶点式$y=(x-3)^2$。接下来将顶点式展开为一般式，和题目给出的一般式对比，对应项的系数相等，即可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+(a-3)x+3b-a$与x轴有唯一交点A(3,0)
∴点A是抛物线的顶点，抛物线解析式可写为顶点式：
$y=(x-3)^2$
将顶点式展开为一般式：
$y=x^2-6x+9$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此可列方程组：
$\begin{cases}a-3=-6\\3b-a=9\end{cases}$
解第一个方程得：$a=-6+3=-3$
把$a=-3$代入第二个方程：$3b-(-3)=9$
化简得$3b+3=9$，解得$b=2$
【答案】
$-3$；$2$
【知识点】
二次函数与x轴交点性质；二次函数顶点式；待定系数法
【点评】
本题侧重考察二次函数基本性质的应用，掌握抛物线与x轴仅有一个交点的特性、不同形式解析式的转化方法，就能快速理清解题思路，求解过程难度较低。
【难度系数】
0.7
⑩ 已知抛物线的顶点的纵坐标为3，它与x轴的一个公共点的坐标为$(10,0)$，与y轴的公共点的坐标为$(0,\dfrac{5}{3})$，则抛物线表达式是
$y=-\frac{1}{300}x^2-\frac{2}{15}x+\frac{5}{3}$或$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$
。答案
10. $y=-\frac{1}{300}x^2-\frac{2}{15}x+\frac{5}{3}$或$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$ [提示:设抛物线表达式$y=ax^2+bx+c$,由题意可得$\begin{cases}100a+10b+c=0,\\c=\frac{5}{3},\\\frac{4ac-b^2}{4a}=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-\frac{1}{300},\\b_1=-\frac{2}{15},\\c=\frac{5}{3},\end{cases}$或$\begin{cases}a_2=-\frac{1}{12},\\b_2=\frac{2}{3},\\c=\frac{5}{3},\end{cases}$ 所以抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{300}x^2-\frac{2}{15}x+\frac{5}{3}$或$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$。]
解析
【分析】
要求抛物线的表达式，我们可以选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）来求解：首先已知抛物线与y轴交于$(0,\dfrac{5}{3})$，代入可直接得到常数项$c$的值；再将x轴交点$(10,0)$代入表达式，得到关于$a$、$b$的第一个方程；最后利用顶点纵坐标公式$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=3$，代入$c$的值得到关于$a$、$b$的第二个方程，联立两个方程求解即可得到$a$、$b$的值，从而确定抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
1. 求$c$的值：
将点$(0,\dfrac{5}{3})$代入表达式，得$c=\dfrac{5}{3}$。
2. 列关于$a$、$b$的方程组：
将点$(10,0)$、$c=\dfrac{5}{3}$代入表达式，得：
$100a + 10b + \dfrac{5}{3}=0$，整理得$100a+10b=-\dfrac{5}{3}$ ①
由抛物线顶点纵坐标为3，代入顶点纵坐标公式得：
$\dfrac{4ac - b^2}{4a}=3$，将$c=\dfrac{5}{3}$代入，整理得$b^2=-\dfrac{16a}{3}$ ②
3. 解方程组：
由①得$b=-\dfrac{1}{6}-10a$，代入②得：
$(-\dfrac{1}{6}-10a)^2=-\dfrac{16a}{3}$
展开整理得$3600a^2+312a+1=0$，用求根公式解得：
$a_1=-\dfrac{1}{300}$，$a_2=-\dfrac{1}{12}$
分别代入$b=-\dfrac{1}{6}-10a$得：
当$a=-\dfrac{1}{300}$时，$b_1=-\dfrac{2}{15}$；当$a=-\dfrac{1}{12}$时，$b_2=\dfrac{2}{3}$
将$a$、$b$、$c$的值代入一般式，即可得到抛物线表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{300}x^2-\dfrac{2}{15}x+\dfrac{5}{3}$或$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标公式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，选择一般式求解时可利用y轴交点快速确定$c$的值，降低计算量，解题过程中要注意解方程组时不要漏解，同时牢记二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
要求抛物线的表达式，我们可以选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）来求解：首先已知抛物线与y轴交于$(0,\dfrac{5}{3})$，代入可直接得到常数项$c$的值；再将x轴交点$(10,0)$代入表达式，得到关于$a$、$b$的第一个方程；最后利用顶点纵坐标公式$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=3$，代入$c$的值得到关于$a$、$b$的第二个方程，联立两个方程求解即可得到$a$、$b$的值，从而确定抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
1. 求$c$的值：
将点$(0,\dfrac{5}{3})$代入表达式，得$c=\dfrac{5}{3}$。
2. 列关于$a$、$b$的方程组：
将点$(10,0)$、$c=\dfrac{5}{3}$代入表达式，得：
$100a + 10b + \dfrac{5}{3}=0$，整理得$100a+10b=-\dfrac{5}{3}$ ①
由抛物线顶点纵坐标为3，代入顶点纵坐标公式得：
$\dfrac{4ac - b^2}{4a}=3$，将$c=\dfrac{5}{3}$代入，整理得$b^2=-\dfrac{16a}{3}$ ②
3. 解方程组：
由①得$b=-\dfrac{1}{6}-10a$，代入②得：
$(-\dfrac{1}{6}-10a)^2=-\dfrac{16a}{3}$
展开整理得$3600a^2+312a+1=0$，用求根公式解得：
$a_1=-\dfrac{1}{300}$，$a_2=-\dfrac{1}{12}$
分别代入$b=-\dfrac{1}{6}-10a$得：
当$a=-\dfrac{1}{300}$时，$b_1=-\dfrac{2}{15}$；当$a=-\dfrac{1}{12}$时，$b_2=\dfrac{2}{3}$
将$a$、$b$、$c$的值代入一般式，即可得到抛物线表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{300}x^2-\dfrac{2}{15}x+\dfrac{5}{3}$或$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标公式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常规题型，选择一般式求解时可利用y轴交点快速确定$c$的值，降低计算量，解题过程中要注意解方程组时不要漏解，同时牢记二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
11 已知二次函数过点(1，5)，且当$x=2$时，二次函数有最小值为3，求二次函数的表达式。
答案
11. 由题意得二次函数的顶点坐标为(2，3)，可设二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+3$。将点(1，5)代入表达式得$a=2$，所以二次函数的表达式为$y=2(x-2)^2+3$。
解析
【分析】
解题时先提取题干关键信息：二次函数在x=2时取得最小值3，说明该函数的顶点坐标为(2,3)。已知顶点坐标求二次函数解析式时，优先选择顶点式设表达式，可简化计算。接下来将函数经过的已知点(1,5)代入所设的顶点式，求解出未知系数a，即可得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数当x=2时有最小值3，
∴该二次函数的顶点坐标为(2, 3)，
设二次函数的表达式为$ y=a(x-2)^2 + 3 $（$ a ≠ 0 $），
∵函数图象过点(1, 5)，
∴将x=1，y=5代入表达式得：
$ 5 = a×(1-2)^2 + 3 $
解得$ a=2 $，
∴二次函数的表达式为$ y=2(x-2)^2 + 3 $。
【答案】
$ y=2(x-2)^2 + 3 $
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心考查根据已知条件选择合适的解析式形式的能力，当已知顶点坐标或最值、对称轴时，选择顶点式求解可大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题干关键信息：二次函数在x=2时取得最小值3，说明该函数的顶点坐标为(2,3)。已知顶点坐标求二次函数解析式时，优先选择顶点式设表达式，可简化计算。接下来将函数经过的已知点(1,5)代入所设的顶点式，求解出未知系数a，即可得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数当x=2时有最小值3，
∴该二次函数的顶点坐标为(2, 3)，
设二次函数的表达式为$ y=a(x-2)^2 + 3 $（$ a ≠ 0 $），
∵函数图象过点(1, 5)，
∴将x=1，y=5代入表达式得：
$ 5 = a×(1-2)^2 + 3 $
解得$ a=2 $，
∴二次函数的表达式为$ y=2(x-2)^2 + 3 $。
【答案】
$ y=2(x-2)^2 + 3 $
【知识点】
1. 二次函数顶点式 2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心考查根据已知条件选择合适的解析式形式的能力，当已知顶点坐标或最值、对称轴时，选择顶点式求解可大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.8
