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1. [2026南京理工大学附中月考]如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是 (
A
B
C
D
D
)A
B
C
D
答案
1 D 当水的深度未超过球顶时,水槽中能装水的部分的面积由下到上先逐渐变小,再逐渐变大,所以在匀速注水的过程中,水的深度的上升速度由慢到快,然后由快到慢;当水的深度超过球顶时,水槽中能装水的部分的面积不再变化,所以在匀速注水的过程中,水的深度的上升速度不会发生变化.综上,随注水时间的增加,水的深度的上升速度是由慢到快再变慢,最后不变.
解析
【分析】
解决这类注水相关的函数图象题，首先要明确核心规律：匀速注水时，单位时间内注入水的体积固定，水深的上升速度和当前水面位置的装水横截面积成反比——横截面积越大，相同体积的水注入后水深上升越慢，对应图象斜率越小；横截面积越小，水深上升越快，对应图象斜率越大。接下来分阶段分析：注水过程分为水面没过铁球、水面超过铁球两个大阶段，铁球是中间粗两端窄的球体，没过铁球的阶段装水横截面积会先减小后增大，超过铁球后装水横截面积固定不变，最后对应斜率变化匹配图象即可。
【解析】
我们分阶段分析水深y随注水时间x的变化规律：
1. 水深未超过球顶的阶段：
① 从开始注水到水面到达球心位置：铁球的水平截面积逐渐变大，水槽的装水横截面积（水槽横截面积减去铁球的水平截面积）逐渐变小。匀速注水时相同时间注水量相同，横截面积越小水深上升越快，因此此阶段水深上升速度逐渐变快，对应图象斜率逐渐增大。
② 从水面到达球心到水面刚好没过球顶：铁球的水平截面积逐渐变小，水槽的装水横截面积逐渐变大，水深上升速度逐渐变慢，对应图象斜率逐渐减小。
2. 水深超过球顶的阶段：铁球完全浸没，此时装水横截面积就是水槽自身的横截面积，固定不变，因此水深匀速上升，对应图象为一段斜率不变的倾斜直线。
综上只有D选项符合变化规律。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数图象的实际应用
2. 变量变化规律
【点评】
本题结合实际注水场景，考查对函数图象变化趋势的分析能力，解题核心是根据容器结构特征判断不同阶段水深上升速度的变化，对应图象的斜率变化，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解决这类注水相关的函数图象题，首先要明确核心规律：匀速注水时，单位时间内注入水的体积固定，水深的上升速度和当前水面位置的装水横截面积成反比——横截面积越大，相同体积的水注入后水深上升越慢，对应图象斜率越小；横截面积越小，水深上升越快，对应图象斜率越大。接下来分阶段分析：注水过程分为水面没过铁球、水面超过铁球两个大阶段，铁球是中间粗两端窄的球体，没过铁球的阶段装水横截面积会先减小后增大，超过铁球后装水横截面积固定不变，最后对应斜率变化匹配图象即可。
【解析】
我们分阶段分析水深y随注水时间x的变化规律：
1. 水深未超过球顶的阶段：
① 从开始注水到水面到达球心位置：铁球的水平截面积逐渐变大，水槽的装水横截面积（水槽横截面积减去铁球的水平截面积）逐渐变小。匀速注水时相同时间注水量相同，横截面积越小水深上升越快，因此此阶段水深上升速度逐渐变快，对应图象斜率逐渐增大。
② 从水面到达球心到水面刚好没过球顶：铁球的水平截面积逐渐变小，水槽的装水横截面积逐渐变大，水深上升速度逐渐变慢，对应图象斜率逐渐减小。
2. 水深超过球顶的阶段：铁球完全浸没，此时装水横截面积就是水槽自身的横截面积，固定不变，因此水深匀速上升，对应图象为一段斜率不变的倾斜直线。
综上只有D选项符合变化规律。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数图象的实际应用
2. 变量变化规律
【点评】
本题结合实际注水场景，考查对函数图象变化趋势的分析能力，解题核心是根据容器结构特征判断不同阶段水深上升速度的变化，对应图象的斜率变化，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
2.［2025南京玄武区期末］如图是某游乐场每天的利润$y$（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数$x$的函数图象.目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施.下列图象中能表示采取措施后的图象是（
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
2 A
∵ 游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施,
∴ 当售出同样张数时,采取措施后的利润更高,
∴ 能表示采取措施后的图象是A选项(B,C选项的图象中有相交点,不符合题意;D选项中售出同样张数时,采取措施后的利润变低了).
∵ 游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施,
∴ 当售出同样张数时,采取措施后的利润更高,
∴ 能表示采取措施后的图象是A选项(B,C选项的图象中有相交点,不符合题意;D选项中售出同样张数时,采取措施后的利润变低了).
解析
【分析】
解题时首先要明确利润与售出门票数的函数图象中各要素的实际意义：①图象与y轴的交点对应售出门票数为0时的利润，此时的利润就是负的运营成本，运营成本越低，交点越靠上；②图象的倾斜程度对应每售一张票的利润，也就是票价，票价越高，图象越陡。结合题目给出的“降低运营成本、提高票价”两项措施，可判断新图象的交点位置和倾斜程度的变化，再结合“相同售出门票数下新利润一定高于原利润，两图象无交点”的特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
首先明确原函数图象两个关键特征的实际含义：
1. 当x=0（未售出任何门票）时，利润y值为负，其绝对值就是运营成本。采取降低运营成本措施后，未售票时的亏损减少，因此新图象与y轴的交点在原图象交点的上方。
2. 图象的倾斜程度代表每张门票的利润（即票价），提高票价后，每张票的利润提升，因此新图象的倾斜程度比原图象更大，更陡峭。
同时两项措施同时实施后，售出相同数量门票时的利润一定高于原利润，因此新图象全程位于原图象上方，不会与原图象相交。
对选项逐一判断：
B、C选项中新图象与原图象存在交点，说明存在部分售出门票数下利润与原利润相同甚至更低，不符合要求；D选项中相同售出门票数时新利润比原利润更低，明显不符合措施效果；只有A选项满足交点上移、倾斜程度更大、全程在原图象上方的特征。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用，函数图象的意义，利润问题
【点评】
本题结合游乐场经营的实际场景考查一次函数图象的性质，解题的核心是将函数图象的截距、斜率与实际的运营成本、票价对应起来，需要学生具备将实际问题转化为函数图象特征的分析能力，能较好地考查学生对函数图象实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确利润与售出门票数的函数图象中各要素的实际意义：①图象与y轴的交点对应售出门票数为0时的利润，此时的利润就是负的运营成本，运营成本越低，交点越靠上；②图象的倾斜程度对应每售一张票的利润，也就是票价，票价越高，图象越陡。结合题目给出的“降低运营成本、提高票价”两项措施，可判断新图象的交点位置和倾斜程度的变化，再结合“相同售出门票数下新利润一定高于原利润，两图象无交点”的特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
首先明确原函数图象两个关键特征的实际含义：
1. 当x=0（未售出任何门票）时，利润y值为负，其绝对值就是运营成本。采取降低运营成本措施后，未售票时的亏损减少，因此新图象与y轴的交点在原图象交点的上方。
2. 图象的倾斜程度代表每张门票的利润（即票价），提高票价后，每张票的利润提升，因此新图象的倾斜程度比原图象更大，更陡峭。
同时两项措施同时实施后，售出相同数量门票时的利润一定高于原利润，因此新图象全程位于原图象上方，不会与原图象相交。
对选项逐一判断：
B、C选项中新图象与原图象存在交点，说明存在部分售出门票数下利润与原利润相同甚至更低，不符合要求；D选项中相同售出门票数时新利润比原利润更低，明显不符合措施效果；只有A选项满足交点上移、倾斜程度更大、全程在原图象上方的特征。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用，函数图象的意义，利润问题
【点评】
本题结合游乐场经营的实际场景考查一次函数图象的性质，解题的核心是将函数图象的截距、斜率与实际的运营成本、票价对应起来，需要学生具备将实际问题转化为函数图象特征的分析能力，能较好地考查学生对函数图象实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
3. [2023常州中考] 折返跑是一种跑步的形式. 如图,在一定距离的两个标志物①、②之间,从①开始,沿直线跑至②处,用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处,用手碰到①后继续转身跑至②处,循环进行,全程无需绕过标志物. 小华练习了一次 $2 × 50 \, \mathrm{m}$ 的折返跑,用时18 s. 在整个过程中,他的速度大小 $v \, (\mathrm{m/s})$ 随时间 $t \, (\mathrm{s})$ 变化的图象可能是 (
D
)答案
3 D 刚开始速度随时间的增大而增大,匀速跑一段时间后减速到②,然后再加速再匀速跑到①,由于体力原因,应该第一个50 m速度快,用的时间少,第二个50 m速度慢,用的时间多,故他的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的图象可能是D.
解析
【分析】
解题时首先要明确2×50m折返跑的完整运动过程：先跑50m到达标志物②，再折返跑50m回到起点，总用时18s。运动过程中每次起跑都要先加速、再匀速，快到标志物时需要减速到0才能转身；同时结合实际运动的特点，刚开始体力充足，第一程的速度会比返程的速度更快，相同路程下速度越快耗时越短，据此逐一排查选项即可。
【解析】
我们分步骤分析运动过程和选项：
1. 梳理运动过程：
①第一程（跑向标志物②，路程50m）：从静止开始加速，之后保持较大速度匀速运动，快到标志物②时减速到0，此过程体力充足，速度大，所以跑50m耗时较短；
②第二程（折返跑回起点，路程50m）：转身之后再次从静止开始加速，由于体力下降，此时匀速的速度小于第一程的匀速速度，路程相同的情况下速度越小耗时越长，所以第二程跑50m的时间更长，全程总用时18s。
2. 排查选项：
选项A：仅存在一次加速、匀速过程，没有折返时减速到0再重新加速的过程，不符合折返跑的特点，排除；
选项B、C：两次匀速运动的速度大小相等，不符合体力下降后返程速度变慢的实际规律，排除；
选项D：第一程匀速速度更大、总耗时更短，第二程匀速速度更小、总耗时更长，符合运动实际，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
v-t图像辨识，速度路程时间的关系，变速运动
【点评】
本题结合生活中的折返跑场景考查速度时间图像的分析，解题时需要将图像的速度变化规律和实际运动过程结合，既要符合运动的阶段特点，也要考虑体力等实际因素对速度的影响。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确2×50m折返跑的完整运动过程：先跑50m到达标志物②，再折返跑50m回到起点，总用时18s。运动过程中每次起跑都要先加速、再匀速，快到标志物时需要减速到0才能转身；同时结合实际运动的特点，刚开始体力充足，第一程的速度会比返程的速度更快，相同路程下速度越快耗时越短，据此逐一排查选项即可。
【解析】
我们分步骤分析运动过程和选项：
1. 梳理运动过程：
①第一程（跑向标志物②，路程50m）：从静止开始加速，之后保持较大速度匀速运动，快到标志物②时减速到0，此过程体力充足，速度大，所以跑50m耗时较短；
②第二程（折返跑回起点，路程50m）：转身之后再次从静止开始加速，由于体力下降，此时匀速的速度小于第一程的匀速速度，路程相同的情况下速度越小耗时越长，所以第二程跑50m的时间更长，全程总用时18s。
2. 排查选项：
选项A：仅存在一次加速、匀速过程，没有折返时减速到0再重新加速的过程，不符合折返跑的特点，排除；
选项B、C：两次匀速运动的速度大小相等，不符合体力下降后返程速度变慢的实际规律，排除；
选项D：第一程匀速速度更大、总耗时更短，第二程匀速速度更小、总耗时更长，符合运动实际，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
v-t图像辨识，速度路程时间的关系，变速运动
【点评】
本题结合生活中的折返跑场景考查速度时间图像的分析，解题时需要将图像的速度变化规律和实际运动过程结合，既要符合运动的阶段特点，也要考虑体力等实际因素对速度的影响。
【难度系数】
0.7
4. [2025武汉中考]“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间. 壶中水面高度$y$(单位:$\mathrm{cm}$)随漏水时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响). 水面高度从$48\ \mathrm{cm}$变化到$42\ \mathrm{cm}$所用的时间是 (
A.$3\ \mathrm{h}$
B.$4\ \mathrm{h}$
C.$6\ \mathrm{h}$
D.$12\ \mathrm{h}$
A
)A.$3\ \mathrm{h}$
B.$4\ \mathrm{h}$
C.$6\ \mathrm{h}$
D.$12\ \mathrm{h}$
答案
4 A 由题图,得“漏壶”的漏水速度为48 ÷ 24 = 2(cm/h),
∴ 水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是(48 - 42) ÷ 2 = 3(h).
∴ 水面高度从48 cm变化到42 cm所用的时间是(48 - 42) ÷ 2 = 3(h).
解析
【分析】
观察图象可知水面高度随漏水时间呈匀速下降趋势（图象为直线），解题时先从图象中提取关键信息：初始水面高度为48cm，24小时后水全部漏完。首先计算出每小时漏水的高度（漏水速度），再算出水面从48cm降到42cm的下降高度，用下降高度除以漏水速度即可求出对应的时间。
【解析】
解：由图象可知，漏壶漏完48cm高的水共需要24h，
则漏水速度为：$48÷24=2(\mathrm{cm/h})$，
水面从48cm变化到42cm的下降高度为：$48-42=6(\mathrm{cm})$，
因此所用时间为：$6÷2=3(\mathrm{h})$。
【答案】
A
【知识点】
函数图象信息提取；匀速变化问题计算
【点评】
本题结合中国古代传统计时仪器的背景，考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是抓住匀速漏水的特点，结合图象数据计算即可。
【难度系数】
0.9
观察图象可知水面高度随漏水时间呈匀速下降趋势（图象为直线），解题时先从图象中提取关键信息：初始水面高度为48cm，24小时后水全部漏完。首先计算出每小时漏水的高度（漏水速度），再算出水面从48cm降到42cm的下降高度，用下降高度除以漏水速度即可求出对应的时间。
【解析】
解：由图象可知，漏壶漏完48cm高的水共需要24h，
则漏水速度为：$48÷24=2(\mathrm{cm/h})$，
水面从48cm变化到42cm的下降高度为：$48-42=6(\mathrm{cm})$，
因此所用时间为：$6÷2=3(\mathrm{h})$。
【答案】
A
【知识点】
函数图象信息提取；匀速变化问题计算
【点评】
本题结合中国古代传统计时仪器的背景，考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是抓住匀速漏水的特点，结合图象数据计算即可。
【难度系数】
0.9
5. [2025新疆中考] 一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止. 两车之间的距离$s(\mathrm{km})$与行驶时间$t(\mathrm{h})$之间的函数关系如
所示，下列结论错误的是（
A.两车出发$2\ \mathrm{h}$后相遇
B.$A,B$两地相距$280\ \mathrm{km}$
C.快车比慢车早$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$到达目的地
D.快车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$，慢车的速度为$60\ \mathrm{km/h}$
所示，下列结论错误的是（C
）A.两车出发$2\ \mathrm{h}$后相遇
B.$A,B$两地相距$280\ \mathrm{km}$
C.快车比慢车早$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$到达目的地
D.快车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$，慢车的速度为$60\ \mathrm{km/h}$
答案
5 C 当t=2时,s=0,
∴ 两车出发2 h后相遇,
∴ 选项A正确,不符合题意;当t=0时,s=280,
∴ A,B两地相距280 km,
∴ 选项B正确,不符合题意;快车比慢车早$\frac{14}{3} - \frac{7}{2} = \frac{7}{6} (\mathrm{h})$到达目的地,
∴ 选项C错误,符合题意;快车的速度为280 ÷ $\frac{7}{2}$ = 80(km/h),慢车的速度为280 ÷ $\frac{14}{3}$ = 60(km/h),
∴ 选项D正确,不符合题意.
∴ 两车出发2 h后相遇,
∴ 选项A正确,不符合题意;当t=0时,s=280,
∴ A,B两地相距280 km,
∴ 选项B正确,不符合题意;快车比慢车早$\frac{14}{3} - \frac{7}{2} = \frac{7}{6} (\mathrm{h})$到达目的地,
∴ 选项C错误,符合题意;快车的速度为280 ÷ $\frac{7}{2}$ = 80(km/h),慢车的速度为280 ÷ $\frac{14}{3}$ = 60(km/h),
∴ 选项D正确,不符合题意.
解析
【分析】
首先明确s-t图像的实际意义：横坐标代表两车行驶时间，纵坐标代表两车之间的距离。解题时先提取特殊点的信息：①t=0时的s值就是A、B两地的总距离；②s=0时对应的t值就是两车相遇的时间。接下来结合相遇问题的公式“速度和=总路程÷相遇时间”得到两车速度和，再根据图像中两车分别到达终点的时间，计算出各自的速度，最后逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当$t=2\ \mathrm{h}$时，$s=0\ \mathrm{km}$，说明两车此时距离为0，即出发2 h后相遇，该结论正确，不符合题意。
选项B：当$t=0\ \mathrm{h}$时，两车还未出发，$s=280\ \mathrm{km}$，即A、B两地相距280 km，该结论正确，不符合题意。
选项D：由图像可知，快车走完全程用时$\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，因此快车速度为$280÷\frac{7}{2}=80(\mathrm{km/h})$；慢车走完全程用时$\frac{14}{3}\ \mathrm{h}$，因此慢车速度为$280÷\frac{14}{3}=60(\mathrm{km/h})$，该结论正确，不符合题意。
选项C：快车到达目的地的时间是$\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，慢车到达目的地的时间是$\frac{14}{3}\ \mathrm{h}$，因此快车比慢车早到的时间为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{28}{6}-\frac{21}{6}=\frac{7}{6}(\mathrm{h})$，不是$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$，该结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、函数图像信息提取
【点评】
本题的解题核心是读懂函数图像中特殊点的实际含义，结合行程问题的基本公式（路程=速度×时间）进行计算，要注意区分两车到达终点的时间，避免计算时间差时出错。
【难度系数】
0.7
首先明确s-t图像的实际意义：横坐标代表两车行驶时间，纵坐标代表两车之间的距离。解题时先提取特殊点的信息：①t=0时的s值就是A、B两地的总距离；②s=0时对应的t值就是两车相遇的时间。接下来结合相遇问题的公式“速度和=总路程÷相遇时间”得到两车速度和，再根据图像中两车分别到达终点的时间，计算出各自的速度，最后逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：当$t=2\ \mathrm{h}$时，$s=0\ \mathrm{km}$，说明两车此时距离为0，即出发2 h后相遇，该结论正确，不符合题意。
选项B：当$t=0\ \mathrm{h}$时，两车还未出发，$s=280\ \mathrm{km}$，即A、B两地相距280 km，该结论正确，不符合题意。
选项D：由图像可知，快车走完全程用时$\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，因此快车速度为$280÷\frac{7}{2}=80(\mathrm{km/h})$；慢车走完全程用时$\frac{14}{3}\ \mathrm{h}$，因此慢车速度为$280÷\frac{14}{3}=60(\mathrm{km/h})$，该结论正确，不符合题意。
选项C：快车到达目的地的时间是$\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，慢车到达目的地的时间是$\frac{14}{3}\ \mathrm{h}$，因此快车比慢车早到的时间为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{28}{6}-\frac{21}{6}=\frac{7}{6}(\mathrm{h})$，不是$\frac{3}{2}\ \mathrm{h}$，该结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、函数图像信息提取
【点评】
本题的解题核心是读懂函数图像中特殊点的实际含义，结合行程问题的基本公式（路程=速度×时间）进行计算，要注意区分两车到达终点的时间，避免计算时间差时出错。
【难度系数】
0.7
6. [2025西宁中考] 如图1,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$,动点P从点A出发,沿着A→B→C的路径运动到点C停止,过点P作 $PQ ⊥ AC$,垂足为Q.设点P的运动路程为x,$PQ - AQ$ 的值为y,y随x变化的函数图象如图2所示,则BC的长为
$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
.答案
6 $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$ 由题图可知,当点P到达点B时,点Q与点C重合;当点P在BC上运动时,点Q的位置始终保持不变,AQ的值为AC的长,为定值,y随着x的增大逐渐减小;当点P在BC上运动到PC=AC时,x=4,y=0;当点P与点C重合时,PQ=0,y=PQ - AQ = 0 - AC = -2,即AC=2. 设点P运动到PC=AC时,BP=a,则AB=4 - a,BC=2 + a. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得$(4 - a)^2 = (2 + a)^2 + 2^2$,解得$a = \frac{2}{3}$,
∴ $BC = a + 2 = \frac{8}{3}$.
∴ $BC = a + 2 = \frac{8}{3}$.
解析
【分析】
解题时先将动点的运动过程和函数图象的变化对应起来，按三步梳理思路：1. 划分运动阶段：点P的运动分为在AB上运动、在BC上运动两个阶段，当P在BC上运动时，Q始终与C重合，AQ为定值AC，此时y随x增大而减小，对应图2的下降段。2. 提取图象特殊点的几何意义：①当P运动到C点时，PQ=0，此时y=-2，可直接求出AC的长度；②当x=4时y=0，此时PQ=AQ=AC，可得PC的长度。3. 设未知数表示AB、BC的长度，利用Rt△ABC的勾股定理列方程求解即可得到BC的长。
【解析】
解：结合动点运动过程和函数图象分析：
1. 当点P运动到终点C时，$PQ=0$，此时$y=PQ-AQ=0-AC=-2$，解得$AC=2$。
2. 当点P在BC上运动时，点Q与点C重合，$AQ=AC$为定值，y随x的增大而减小。当$x=4$时，$y=0$，即$PQ-AC=0$，得$PQ=AC=2$，此时$PQ=PC=2$。
3. 设此时$BP=a$，则点P的运动路程$x=AB+BP=4$，即$AB=4-a$；BC的长度为$BP+PC=a+2$。
4. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数据得：$(4-a)^2=2^2+(a+2)^2$
展开化简：$16-8a+a^2=4+a^2+4a+4$
整理得：$12a=8$
解得：$a=\frac{2}{3}$
∴ $BC=a+2=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
动点函数图象分析，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是函数图象与几何动点结合的典型题型，解题核心是准确匹配函数图象特殊点对应的动点运动状态，将抽象的函数数值转化为直观的几何线段长度，再结合几何定理求解，重点考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时先将动点的运动过程和函数图象的变化对应起来，按三步梳理思路：1. 划分运动阶段：点P的运动分为在AB上运动、在BC上运动两个阶段，当P在BC上运动时，Q始终与C重合，AQ为定值AC，此时y随x增大而减小，对应图2的下降段。2. 提取图象特殊点的几何意义：①当P运动到C点时，PQ=0，此时y=-2，可直接求出AC的长度；②当x=4时y=0，此时PQ=AQ=AC，可得PC的长度。3. 设未知数表示AB、BC的长度，利用Rt△ABC的勾股定理列方程求解即可得到BC的长。
【解析】
解：结合动点运动过程和函数图象分析：
1. 当点P运动到终点C时，$PQ=0$，此时$y=PQ-AQ=0-AC=-2$，解得$AC=2$。
2. 当点P在BC上运动时，点Q与点C重合，$AQ=AC$为定值，y随x的增大而减小。当$x=4$时，$y=0$，即$PQ-AC=0$，得$PQ=AC=2$，此时$PQ=PC=2$。
3. 设此时$BP=a$，则点P的运动路程$x=AB+BP=4$，即$AB=4-a$；BC的长度为$BP+PC=a+2$。
4. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数据得：$(4-a)^2=2^2+(a+2)^2$
展开化简：$16-8a+a^2=4+a^2+4a+4$
整理得：$12a=8$
解得：$a=\frac{2}{3}$
∴ $BC=a+2=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
动点函数图象分析，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是函数图象与几何动点结合的典型题型，解题核心是准确匹配函数图象特殊点对应的动点运动状态，将抽象的函数数值转化为直观的几何线段长度，再结合几何定理求解，重点考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
