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1. 下列式子中,表示$y$是$x$的正比例函数的是（
A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{2}{x}$
C.$y=\dfrac{x}{3}$
D.$y^2=3x$
C
）A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{2}{x}$
C.$y=\dfrac{x}{3}$
D.$y^2=3x$
答案
在$y = x^2$中,自变量的次数为2,选项A不是正比例函数;在$y = \dfrac{2}{x}$中,自变量的次数为 - 1,选项B不是正比例函数;在$y = \dfrac{x}{3}$中,自变量的次数为1,选项C是正比例函数;在$y^2 = 3x$中,自变量的次数为1,但变量$y$的次数是2,选项D不是正比例函数.
解析
【分析】
要判断一个式子是否表示y是x的正比例函数，首先要明确正比例函数的判定标准：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足三个条件：①自变量$x$的次数为1；②比例系数$k$是不为0的常数；③等号两边均为整式，且因变量$y$的次数为1。解题时只需将每个选项与上述判定标准逐一对照，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2$中，自变量$x$的次数是2，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
选项B：$y=\dfrac{2}{x}$可变形为$y=2x^{-1}$，自变量$x$的次数是$-1$，不符合要求，不是正比例函数；
选项C：$y=\dfrac{x}{3}$可整理为$y=\dfrac{1}{3}x$，符合$y=kx$的形式（其中$k=\dfrac{1}{3}\ne0$），$x$的次数为1，是正比例函数；
选项D：$y^2=3x$中，因变量$y$的次数是2，且一个$x$值可能对应两个$y$值，不符合正比例函数要求，不是正比例函数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例函数的形式特征，做题时要注意区分正比例函数与二次函数、反比例函数等其他类型函数的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是否表示y是x的正比例函数，首先要明确正比例函数的判定标准：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，需同时满足三个条件：①自变量$x$的次数为1；②比例系数$k$是不为0的常数；③等号两边均为整式，且因变量$y$的次数为1。解题时只需将每个选项与上述判定标准逐一对照，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2$中，自变量$x$的次数是2，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
选项B：$y=\dfrac{2}{x}$可变形为$y=2x^{-1}$，自变量$x$的次数是$-1$，不符合要求，不是正比例函数；
选项C：$y=\dfrac{x}{3}$可整理为$y=\dfrac{1}{3}x$，符合$y=kx$的形式（其中$k=\dfrac{1}{3}\ne0$），$x$的次数为1，是正比例函数；
选项D：$y^2=3x$中，因变量$y$的次数是2，且一个$x$值可能对应两个$y$值，不符合正比例函数要求，不是正比例函数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握正比例函数的形式特征，做题时要注意区分正比例函数与二次函数、反比例函数等其他类型函数的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2. 下列函数关系中，属于正比例函数关系的是
（
A.圆的面积S与它的半径r
B.面积是常数S时，长方形的长y与宽x
C.路程是常数s时，行驶的速度v与时间t
D.三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
（
D
）A.圆的面积S与它的半径r
B.面积是常数S时，长方形的长y与宽x
C.路程是常数s时，行驶的速度v与时间t
D.三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
答案
选项A中,$S = π r^2$,$S$与$r$不是正比例函数关系;选项B中,$y = \dfrac{S}{x}$,$y$与$x$不是正比例函数关系;选项C中,$v = \dfrac{s}{t}$,$v$与$t$不是正比例函数关系;选项D中,$S = \dfrac{1}{2}ah$($a$为常数),$S$与$h$是正比例函数关系.
解析
【分析】
要判断两个变量是否为正比例函数关系，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做正比例函数，核心特征是两个变量的比值为非零常数，变量最高次数为1，不存在分母含变量、变量平方等形式。解题时先推导每个选项的函数关系式，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠ 0$）的函数为正比例函数。我们逐个分析选项：
1. 选项A：圆的面积公式为$S=π r^2$，$r$的次数为2，不符合正比例函数形式，因此$S$与$r$不是正比例函数关系；
2. 选项B：长方形面积公式为$S=xy$，$S$为常数时变形得$y=\frac{S}{x}$，$x$在分母位置，属于反比例函数形式，因此$y$与$x$不是正比例函数关系；
3. 选项C：路程公式为$s=vt$，$s$为常数时变形得$v=\frac{s}{t}$，$t$在分母位置，属于反比例函数形式，因此$v$与$t$不是正比例函数关系；
4. 选项D：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ah$，已知$a$为常数，则$\frac{1}{2}a$是不为0的常数，符合$S=kh$（$k=\frac{1}{2}a≠ 0$）的正比例函数形式，因此$S$与$h$是正比例函数关系。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数定义，函数关系推导，反比例函数识别
【点评】
本题是正比例函数判定的基础题型，解题关键是准确写出各场景下的函数关系式，再结合正比例函数的定义筛选，注意不要混淆正比例函数、反比例函数、二次函数的表达形式。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否为正比例函数关系，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠ 0$）的函数叫做正比例函数，核心特征是两个变量的比值为非零常数，变量最高次数为1，不存在分母含变量、变量平方等形式。解题时先推导每个选项的函数关系式，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，$k≠ 0$）的函数为正比例函数。我们逐个分析选项：
1. 选项A：圆的面积公式为$S=π r^2$，$r$的次数为2，不符合正比例函数形式，因此$S$与$r$不是正比例函数关系；
2. 选项B：长方形面积公式为$S=xy$，$S$为常数时变形得$y=\frac{S}{x}$，$x$在分母位置，属于反比例函数形式，因此$y$与$x$不是正比例函数关系；
3. 选项C：路程公式为$s=vt$，$s$为常数时变形得$v=\frac{s}{t}$，$t$在分母位置，属于反比例函数形式，因此$v$与$t$不是正比例函数关系；
4. 选项D：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ah$，已知$a$为常数，则$\frac{1}{2}a$是不为0的常数，符合$S=kh$（$k=\frac{1}{2}a≠ 0$）的正比例函数形式，因此$S$与$h$是正比例函数关系。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数定义，函数关系推导，反比例函数识别
【点评】
本题是正比例函数判定的基础题型，解题关键是准确写出各场景下的函数关系式，再结合正比例函数的定义筛选，注意不要混淆正比例函数、反比例函数、二次函数的表达形式。
【难度系数】
0.8
3. 易错题 [2026 徐州市北区部分学校月考] 已知关于x的函数$y=(k+3)x + |k| -3$是正比例函数，则k的值是
3
。答案
$\because y=(k+3)x + |k| -3$是正比例函数,$\therefore |k| -3=0$且$k+3 ≠ 0$(自变量的系数不为0),解得$k = \pm 3$且$k ≠ -3$,$\therefore k=3$.
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数，它需要满足两个核心条件：①自变量$x$的系数不为0；②常数项为0。解题时先根据这两个条件分别列等式和不等式，再求解后排除不符合要求的取值，就能得到正确的$k$值。
【解析】
$\because$ 函数$y=(k+3)x + |k| -3$是正比例函数
$\therefore$ 需同时满足两个条件：
1. 常数项为0：$|k| - 3 = 0$
2. 一次项系数不为0：$k + 3 ≠ 0$
解$|k| - 3 = 0$，得$k = \pm 3$
解$k + 3 ≠ 0$，得$k ≠ -3$
综上，$k$的值为3。
【答案】
$3$
【知识点】
正比例函数定义，绝对值运算，解不等式
【点评】
本题是正比例函数概念的典型易错题，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，仅通过常数项为0得出$k=±3$的错误结论，解题时需明确正比例函数的两个成立条件，逐一验证后再确定最终结果。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数，它需要满足两个核心条件：①自变量$x$的系数不为0；②常数项为0。解题时先根据这两个条件分别列等式和不等式，再求解后排除不符合要求的取值，就能得到正确的$k$值。
【解析】
$\because$ 函数$y=(k+3)x + |k| -3$是正比例函数
$\therefore$ 需同时满足两个条件：
1. 常数项为0：$|k| - 3 = 0$
2. 一次项系数不为0：$k + 3 ≠ 0$
解$|k| - 3 = 0$，得$k = \pm 3$
解$k + 3 ≠ 0$，得$k ≠ -3$
综上，$k$的值为3。
【答案】
$3$
【知识点】
正比例函数定义，绝对值运算，解不等式
【点评】
本题是正比例函数概念的典型易错题，易错点是容易遗漏一次项系数不为0的限制条件，仅通过常数项为0得出$k=±3$的错误结论，解题时需明确正比例函数的两个成立条件，逐一验证后再确定最终结果。
【难度系数】
0.6
4. 函数①$y=kx+b$；②$y=2x$；③$y=-\dfrac{3}{x}$；④$y=\dfrac{1}{3}x+3$；⑤$y=x^2-2x+1$中，一次函数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
①$y = kx + b$,当$k = 0$时,不是一次函数;②$y = 2x$是一次函数;③$y = -\dfrac{3}{x}$不是一次函数;④$y = \dfrac{1}{3}x + 3$是一次函数;⑤$y = x^2 - 2x + 1$不是一次函数.一次函数共有2个.
解析
【分析】
解题核心是先明确一次函数的判定标准，再逐一核对给出的函数。一次函数的判定需满足三个条件：1. 函数表达式是整式；2. 自变量x的最高次数为1；3. 自变量x的系数不为0，其中正比例函数（b=0的一次函数）也属于一次函数，按这个标准逐个判断即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$是正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐个判断如下：
① $y=kx+b$：题目未注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为常函数$y=b$，不满足一次函数要求，故①不是一次函数；
② $y=2x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=2≠0$，是正比例函数，属于一次函数；
③ $y=-\dfrac{3}{x}$：是反比例函数，表达式不是整式，且自变量x的次数为-1，不符合一次函数要求，故③不是一次函数；
④ $y=\dfrac{1}{3}x+3$：符合$y=kx+b$的形式，其中$k=\dfrac{1}{3}≠0$，$b=3$，是一次函数；
⑤ $y=x^2-2x+1$：自变量x的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，故⑤不是一次函数。
综上，符合要求的一次函数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，特殊函数识别
【点评】
本题是函数识别类基础题，解题关键是准确掌握一次函数的定义，尤其要注意一次函数中自变量的系数不能为0，同时要能区分一次函数、反比例函数、二次函数的特征，避免因忽略限制条件或混淆函数类型出错。
【难度系数】
0.7
解题核心是先明确一次函数的判定标准，再逐一核对给出的函数。一次函数的判定需满足三个条件：1. 函数表达式是整式；2. 自变量x的最高次数为1；3. 自变量x的系数不为0，其中正比例函数（b=0的一次函数）也属于一次函数，按这个标准逐个判断即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$是正比例函数，属于特殊的一次函数。
逐个判断如下：
① $y=kx+b$：题目未注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为常函数$y=b$，不满足一次函数要求，故①不是一次函数；
② $y=2x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=2≠0$，是正比例函数，属于一次函数；
③ $y=-\dfrac{3}{x}$：是反比例函数，表达式不是整式，且自变量x的次数为-1，不符合一次函数要求，故③不是一次函数；
④ $y=\dfrac{1}{3}x+3$：符合$y=kx+b$的形式，其中$k=\dfrac{1}{3}≠0$，$b=3$，是一次函数；
⑤ $y=x^2-2x+1$：自变量x的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，故⑤不是一次函数。
综上，符合要求的一次函数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义，特殊函数识别
【点评】
本题是函数识别类基础题，解题关键是准确掌握一次函数的定义，尤其要注意一次函数中自变量的系数不能为0，同时要能区分一次函数、反比例函数、二次函数的特征，避免因忽略限制条件或混淆函数类型出错。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法正确的是
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③若$y - 1$与$x$成正比，则$y$是$x$的一次函数；
④若$y = kx + b$，则$y$是$x$的一次函数。
①③
.(填序号)①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③若$y - 1$与$x$成正比，则$y$是$x$的一次函数；
④若$y = kx + b$，则$y$是$x$的一次函数。
答案
正比例函数一定是一次函数,故①正确;一次函数只有当常数项为0时才是正比例函数,故②错误;若$y - 1$与$x$成正比,即$y - 1 = kx(k ≠ 0)$,$\therefore y = kx + 1(k ≠ 0)$,则$y$是$x$的一次函数,故③正确;若$y = kx + b$,当$k = 0$时,则$y$不是$x$的一次函数,故④错误.
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确正比例函数和一次函数的定义，再逐条分析4个说法是否符合定义要求。首先回忆相关定义：正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数；一次函数是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，其中正比例函数是一次函数当$b=0$时的特殊情况，接下来逐一验证每个说法即可得出结论。
【解析】
① 正比例函数的形式为$y=kx$（$k≠0$），符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$b=0$的情况，因此正比例函数一定是一次函数，故①正确；
② 一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）只有当常数项$b=0$时才是正比例函数，若$b≠0$则不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，故②错误；
③ 若$y-1$与$x$成正比，可设$y-1=kx$（$k≠0$），整理得$y=kx+1$，符合一次函数的定义（$k≠0$，$b=1$），因此$y$是$x$的一次函数，故③正确；
④ 对于$y=kx+b$，只有当$k≠0$时，$y$才是$x$的一次函数，若$k=0$，函数变为$y=b$，是常数函数，不是一次函数，故④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正比例函数定义；一次函数定义；一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于概念辨析题，重点考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要格外注意定义中的隐含限制条件，比如一次函数中$x$的系数$k$不能为0，正比例函数要求常数项为0且$k≠0$，避免因忽略限制条件判断失误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先明确正比例函数和一次函数的定义，再逐条分析4个说法是否符合定义要求。首先回忆相关定义：正比例函数是形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数；一次函数是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，其中正比例函数是一次函数当$b=0$时的特殊情况，接下来逐一验证每个说法即可得出结论。
【解析】
① 正比例函数的形式为$y=kx$（$k≠0$），符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$b=0$的情况，因此正比例函数一定是一次函数，故①正确；
② 一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）只有当常数项$b=0$时才是正比例函数，若$b≠0$则不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，故②错误；
③ 若$y-1$与$x$成正比，可设$y-1=kx$（$k≠0$），整理得$y=kx+1$，符合一次函数的定义（$k≠0$，$b=1$），因此$y$是$x$的一次函数，故③正确；
④ 对于$y=kx+b$，只有当$k≠0$时，$y$才是$x$的一次函数，若$k=0$，函数变为$y=b$，是常数函数，不是一次函数，故④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正比例函数定义；一次函数定义；一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于概念辨析题，重点考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要格外注意定义中的隐含限制条件，比如一次函数中$x$的系数$k$不能为0，正比例函数要求常数项为0且$k≠0$，避免因忽略限制条件判断失误。
【难度系数】
0.7
6. 易错题 [2025 盐城射阳县实验初中月考] 已知函数
$y=(m-2)x^{3-|m|}+m+7.$
(1)当$m$为何值时，$y$是$x$的一次函数？
(2)若该函数是一次函数，则$x$为何值时，$y$的值为3？
$y=(m-2)x^{3-|m|}+m+7.$
(1)当$m$为何值时，$y$是$x$的一次函数？
(2)若该函数是一次函数，则$x$为何值时，$y$的值为3？
答案
(1)由题意,得$\begin{cases}3 - |m| = 1,\\m - 2 ≠ 0,\end{cases}$解得$m = -2$.
$\therefore$当$m = -2$时,$y$是$x$的一次函数.
(2)$\because m = -2$,$\therefore$一次函数表达式为$y = -4x + 5$.
当$y = 3$时,$3 = -4x + 5$,解得$x = \dfrac{1}{2}$.
$\therefore$当$x = \dfrac{1}{2}$时,$y$的值为3.
$\therefore$当$m = -2$时,$y$是$x$的一次函数.
(2)$\because m = -2$,$\therefore$一次函数表达式为$y = -4x + 5$.
当$y = 3$时,$3 = -4x + 5$,解得$x = \dfrac{1}{2}$.
$\therefore$当$x = \dfrac{1}{2}$时,$y$的值为3.
解析
【分析】
(1) 要确定y是x的一次函数，需结合一次函数的定义推导：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），需同时满足两个条件：一是x的次数为1，二是x的系数不能为0。据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到符合要求的m值。
(2) 先将第一问求得的m值代入原函数，得到具体的一次函数解析式，再令$y=3$，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的x值。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}3 - |m| = 1\\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$3 - |m| = 1$，移项得$|m|=2$，因此$m=2$或$m=-2$；
由第二个不等式$m - 2 ≠ 0$得$m≠2$，综上可得$m=-2$。
$\therefore$当$m=-2$时，$y$是$x$的一次函数。
(2) 把$m=-2$代入原函数，得：
$y=(-2-2)x^{3-|-2|} + (-2) +7 = -4x +5$
当$y=3$时，代入解析式得$3 = -4x +5$，
移项计算得$4x = 5 - 3$，即$4x=2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y$的值为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-2}$
(2) $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
一次函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数概念的基础易错题，核心易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$m=2$作为解。题目整体注重对概念细节的考查，第二问是一次函数的基础代入求值应用，掌握概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定y是x的一次函数，需结合一次函数的定义推导：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），需同时满足两个条件：一是x的次数为1，二是x的系数不能为0。据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到符合要求的m值。
(2) 先将第一问求得的m值代入原函数，得到具体的一次函数解析式，再令$y=3$，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出对应的x值。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}3 - |m| = 1\\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$3 - |m| = 1$，移项得$|m|=2$，因此$m=2$或$m=-2$；
由第二个不等式$m - 2 ≠ 0$得$m≠2$，综上可得$m=-2$。
$\therefore$当$m=-2$时，$y$是$x$的一次函数。
(2) 把$m=-2$代入原函数，得：
$y=(-2-2)x^{3-|-2|} + (-2) +7 = -4x +5$
当$y=3$时，代入解析式得$3 = -4x +5$，
移项计算得$4x = 5 - 3$，即$4x=2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y$的值为3。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=-2}$
(2) $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
一次函数的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于一次函数概念的基础易错题，核心易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误将$m=2$作为解。题目整体注重对概念细节的考查，第二问是一次函数的基础代入求值应用，掌握概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7. 油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完. 则油箱中剩余油量$Q$(升)与流出的时间$t$(分)之间的函数表达式是 (
A.$Q=20-5t$
B.$Q=\frac{1}{5}t +20$
C.$Q=20-\frac{1}{5}t$
D.$Q=\frac{1}{5}t$
C
)A.$Q=20-5t$
B.$Q=\frac{1}{5}t +20$
C.$Q=20-\frac{1}{5}t$
D.$Q=\frac{1}{5}t$
答案
$\because$ 100分钟可流完20升油,$\therefore$ 1分钟可流油$20 ÷ 100 = \dfrac{1}{5}$(升),$\therefore t$分钟流的油量为$\dfrac{1}{5}t$升,$\therefore Q = 20 - \dfrac{1}{5}t$.
解析
【分析】要推导剩余油量Q与流出时间t的函数表达式，首先明确核心等量关系：剩余油量=油箱原有总油量-已流出的油量。解题时首先需要算出每分钟流出的油量，再求出t分钟总共流出的油量，最后代入等量关系就能得到对应的函数表达式。
【解析】首先计算油的流出速度：已知100分钟流完20升油，所以每分钟流出的油量为 $20 ÷ 100 = \frac{1}{5}$（升）。
那么t分钟流出的油量为 $\frac{1}{5}t$ 升。
因为油箱原有油量20升，所以剩余油量 $Q = 20 - \frac{1}{5}t$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】根据实际问题列函数关系式；一次函数的应用
【点评】本题是一次函数的基础实际应用题，解题核心是理清“剩余油量、总油量、流出油量”三者的数量关系，先求出单位时间的流量，再代入等量关系即可求解，属于基础得分题。
【难度系数】0.9
【解析】首先计算油的流出速度：已知100分钟流完20升油，所以每分钟流出的油量为 $20 ÷ 100 = \frac{1}{5}$（升）。
那么t分钟流出的油量为 $\frac{1}{5}t$ 升。
因为油箱原有油量20升，所以剩余油量 $Q = 20 - \frac{1}{5}t$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】根据实际问题列函数关系式；一次函数的应用
【点评】本题是一次函数的基础实际应用题，解题核心是理清“剩余油量、总油量、流出油量”三者的数量关系，先求出单位时间的流量，再代入等量关系即可求解，属于基础得分题。
【难度系数】0.9
8. 一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm(0＜x＜3)后，得到的新正方形的周长为y cm，则y与x之间的函数表达式是
y=12-4x
。答案
$y = 12 - 4x$
解析
【分析】
要推导y与x的函数表达式，需先明确新正方形的边长，再结合正方形周长公式建立等量关系。第一步先计算边长减少x cm后的新边长；第二步将新边长代入正方形周长公式，化简后即可得到函数关系式。
【解析】
原正方形边长为3 cm，各边长减少x cm后，新正方形的边长为$(3-x)\mathrm{cm}$（$0＜x＜3$）。
根据正方形周长公式：$\mathrm{周长}=4× \mathrm{边长}$，可得新正方形周长：
$y=4(3-x)$
展开化简得：$y=12-4x$
【答案】
$y=12-4x$
【知识点】
1.正方形周长计算
2.列函数关系式
3.整式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是准确找到变化后的几何量，结合常见图形的周长公式建立变量间的关系，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.9
要推导y与x的函数表达式，需先明确新正方形的边长，再结合正方形周长公式建立等量关系。第一步先计算边长减少x cm后的新边长；第二步将新边长代入正方形周长公式，化简后即可得到函数关系式。
【解析】
原正方形边长为3 cm，各边长减少x cm后，新正方形的边长为$(3-x)\mathrm{cm}$（$0＜x＜3$）。
根据正方形周长公式：$\mathrm{周长}=4× \mathrm{边长}$，可得新正方形周长：
$y=4(3-x)$
展开化简得：$y=12-4x$
【答案】
$y=12-4x$
【知识点】
1.正方形周长计算
2.列函数关系式
3.整式化简
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是准确找到变化后的几何量，结合常见图形的周长公式建立变量间的关系，计算难度低，不易出错。
【难度系数】
0.9
9. [2026常州二十四中月考]如图,将长为35 cm、宽相等的长方形白纸,按如图所示的方法黏合起来,黏合部分的宽为2 cm.设m张白纸黏合后的总长度为n(cm),则n与m的关系式为
n=33m+2
.答案
由题意,得$n = 35m - 2(m - 1) = 33m + 2$.
解析
【分析】
要推导n与m的关系式，我们先分析白纸黏合的长度变化规律：1张白纸长度为35cm，每增加1张白纸黏合，就会产生1个2cm的重叠区域，总长度会减少2cm。首先计算m张白纸未黏合的总长度，再减去所有重叠部分的总长度即可。需要注意m张纸黏合时，相邻两张才有1个黏合处，因此黏合处的总数量为(m-1)个，每个重叠2cm，总共要减去的重叠长度为2(m-1)cm。
【解析】
1. 计算m张白纸未黏合的总长度：每张白纸长35cm，m张总长度为$35m\ \mathrm{cm}$。
2. 计算重叠部分总长度：m张白纸黏合共有$(m-1)$个黏合处，每个黏合处重叠2cm，因此重叠总长度为$2(m-1)\ \mathrm{cm}$。
3. 推导黏合后总长度n的表达式：
$\begin{aligned}n&=35m - 2(m - 1)\\&=35m - 2m + 2\\&=33m + 2\end{aligned}$
【答案】
$n=33m+2$
【知识点】
列函数关系式、整式的化简
【点评】
本题的易错点是误将黏合处数量算成m个，实际m张纸黏合只有(m-1)个重叠区域，结合实际生活场景分析数量关系即可快速正确列式。
【难度系数】
0.7
要推导n与m的关系式，我们先分析白纸黏合的长度变化规律：1张白纸长度为35cm，每增加1张白纸黏合，就会产生1个2cm的重叠区域，总长度会减少2cm。首先计算m张白纸未黏合的总长度，再减去所有重叠部分的总长度即可。需要注意m张纸黏合时，相邻两张才有1个黏合处，因此黏合处的总数量为(m-1)个，每个重叠2cm，总共要减去的重叠长度为2(m-1)cm。
【解析】
1. 计算m张白纸未黏合的总长度：每张白纸长35cm，m张总长度为$35m\ \mathrm{cm}$。
2. 计算重叠部分总长度：m张白纸黏合共有$(m-1)$个黏合处，每个黏合处重叠2cm，因此重叠总长度为$2(m-1)\ \mathrm{cm}$。
3. 推导黏合后总长度n的表达式：
$\begin{aligned}n&=35m - 2(m - 1)\\&=35m - 2m + 2\\&=33m + 2\end{aligned}$
【答案】
$n=33m+2$
【知识点】
列函数关系式、整式的化简
【点评】
本题的易错点是误将黏合处数量算成m个，实际m张纸黏合只有(m-1)个重叠区域，结合实际生活场景分析数量关系即可快速正确列式。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点P.设$∠ A = x°$,$∠ BPC = y°$.当点A的位置发生变化时,求y与x之间的函数表达式,并判断y是不是x的一次函数,如果是,指出k,b的值及自变量x的取值范围.
答案
$\because ∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$,
$\therefore ∠ PBC = \dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ PCB = \dfrac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ BPC = 180° - ∠ PBC - ∠ PCB = 180° - \dfrac{1}{2}( ∠ ABC + ∠ ACB)$.
又$\because ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$,
$\therefore ∠ BPC = 180° - \dfrac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \dfrac{1}{2}∠ A$,
即$y = \dfrac{1}{2}x + 90$,
$\therefore y$是$x$的一次函数,$k = \dfrac{1}{2}$,$b = 90$,自变量$x$的取值范围为$0 ＜ x ＜ 180$.
$\therefore ∠ PBC = \dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ PCB = \dfrac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ BPC = 180° - ∠ PBC - ∠ PCB = 180° - \dfrac{1}{2}( ∠ ABC + ∠ ACB)$.
又$\because ∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$,
$\therefore ∠ BPC = 180° - \dfrac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° + \dfrac{1}{2}∠ A$,
即$y = \dfrac{1}{2}x + 90$,
$\therefore y$是$x$的一次函数,$k = \dfrac{1}{2}$,$b = 90$,自变量$x$的取值范围为$0 ＜ x ＜ 180$.
解析
【分析】
要推导y与x的函数关系，首先利用角平分线的性质，将△PBC的两个底角用△ABC的底角∠ABC、∠ACB表示，再结合三角形内角和为180°，把∠ABC+∠ACB用∠A代换，即可得到∠BPC和∠A的关系式；之后根据一次函数的定义判断函数类型，再结合三角形内角的实际意义确定自变量x的取值范围。
【解析】
$\because ∠ABC$与$∠ACB$的平分线交于点$P$,
$\therefore ∠PBC = \dfrac{1}{2}∠ABC$,$∠PCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$,
在$△ PBC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - \dfrac{1}{2}( ∠ABC + ∠ACB)$.
又$\because $在$△ ABC$中，$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A$,
代入上式得：
$∠BPC = 180° - \dfrac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° + \dfrac{1}{2}∠A$,
即$y = \dfrac{1}{2}x + 90$,
根据一次函数的定义可知y是x的一次函数，其中$k = \dfrac{1}{2}$，$b = 90$。
$\because ∠A$是三角形的内角，$\therefore $自变量x的取值范围为$0 ＜ x ＜ 180$。
【答案】
y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+90}$；y是x的一次函数，$\boldsymbol{k=\dfrac{1}{2}}$，$\boldsymbol{b=90}$，自变量x的取值范围为$\boldsymbol{0＜x＜180}$。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，既考查了三角形角度的常规推导方法，又融合了一次函数的核心概念，解题时需注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要推导y与x的函数关系，首先利用角平分线的性质，将△PBC的两个底角用△ABC的底角∠ABC、∠ACB表示，再结合三角形内角和为180°，把∠ABC+∠ACB用∠A代换，即可得到∠BPC和∠A的关系式；之后根据一次函数的定义判断函数类型，再结合三角形内角的实际意义确定自变量x的取值范围。
【解析】
$\because ∠ABC$与$∠ACB$的平分线交于点$P$,
$\therefore ∠PBC = \dfrac{1}{2}∠ABC$,$∠PCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$,
在$△ PBC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 180° - \dfrac{1}{2}( ∠ABC + ∠ACB)$.
又$\because $在$△ ABC$中，$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A$,
代入上式得：
$∠BPC = 180° - \dfrac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° + \dfrac{1}{2}∠A$,
即$y = \dfrac{1}{2}x + 90$,
根据一次函数的定义可知y是x的一次函数，其中$k = \dfrac{1}{2}$，$b = 90$。
$\because ∠A$是三角形的内角，$\therefore $自变量x的取值范围为$0 ＜ x ＜ 180$。
【答案】
y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+90}$；y是x的一次函数，$\boldsymbol{k=\dfrac{1}{2}}$，$\boldsymbol{b=90}$，自变量x的取值范围为$\boldsymbol{0＜x＜180}$。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，既考查了三角形角度的常规推导方法，又融合了一次函数的核心概念，解题时需注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
