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11. 一题多解 在螳螂的示意图中，$AB // DE$，$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC = 124°$，$∠ CDE = 72°$，则$∠ ACD =$（
A.$16°$
B.$28°$
C.$44°$
D.$45°$
C
）A.$16°$
B.$28°$
C.$44°$
D.$45°$
答案
11 C 通解 如图1,延长 ED,交 AC 于点 F.
∵ △ABC 是等腰三角形,∠ABC =124°,
∴ ∠A = ∠ACB =28°.
∵ AB // DE,
∴ ∠CFD = ∠A =28°.
∵ ∠CDE =72°,
∴ ∠ACD = ∠CDE - ∠CFD =72° -28° =44°.
另解1 如图2,过点 C 作 CF // AB.
∵ AB // DE,
∴ CF // DE,
∴ ∠DCF + ∠CDE =180°.
∵ ∠CDE =72°,
∴ ∠DCF =180° -72° =108°.
∵ △ABC 是等腰三角形,∠ABC =124°,
∴ ∠A =28°.
∵ CF // AB,
∴ ∠ACF + ∠A =180°,
∴ ∠ACF =180° -28° =152°,
∴ ∠ACD = ∠ACF - ∠DCF =44°.
另解2 如图3,延长 CD 交 AB 的延长线 BH 于点 G.
∵ DE // AB,
∴ ∠CGH = ∠CDE =72°.
∵ AB = BC,∠ABC =124°,
∴ ∠A = ∠ACB =28°,
∴ ∠ACD = ∠CGH - ∠A =72° -28° =44°.
解析
【分析】
解题第一步先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出等腰△ABC的底角∠A的度数；再结合AB//DE的平行条件，通过作辅助线构造出和待求角∠ACD相关的角，利用平行线的性质得到对应角的等量关系，最后结合三角形外角的性质或角的和差关系，就能求出∠ACD的度数。
【解析】
我们以通解为例求解：
如图1，延长ED，交AC于点F。
1. 计算等腰△ABC的底角：
∵ △ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，三角形内角和为180°，
∴ ∠A=∠ACB=(180°-124°)÷2=28°。
2. 利用平行线性质得到等角：
∵ AB//DE，
∴ ∠CFD=∠A=28°（两直线平行，内错角相等）。
3. 利用外角性质计算∠ACD：
∵ ∠CDE是△CFD的外角，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ ∠ACD=∠CDE-∠CFD=72°-28°=44°。
（也可通过过C作平行线、延长CD交AB延长线的方法求解，核心均为转化角的关系）
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，以一题多解的形式考查核心几何性质的灵活运用，解题的关键是合理构造辅助线完成角的关系转化，能有效锻炼多角度思考问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题第一步先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，计算出等腰△ABC的底角∠A的度数；再结合AB//DE的平行条件，通过作辅助线构造出和待求角∠ACD相关的角，利用平行线的性质得到对应角的等量关系，最后结合三角形外角的性质或角的和差关系，就能求出∠ACD的度数。
【解析】
我们以通解为例求解：
如图1，延长ED，交AC于点F。
1. 计算等腰△ABC的底角：
∵ △ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，三角形内角和为180°，
∴ ∠A=∠ACB=(180°-124°)÷2=28°。
2. 利用平行线性质得到等角：
∵ AB//DE，
∴ ∠CFD=∠A=28°（两直线平行，内错角相等）。
3. 利用外角性质计算∠ACD：
∵ ∠CDE是△CFD的外角，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ ∠ACD=∠CDE-∠CFD=72°-28°=44°。
（也可通过过C作平行线、延长CD交AB延长线的方法求解，核心均为转化角的关系）
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，以一题多解的形式考查核心几何性质的灵活运用，解题的关键是合理构造辅助线完成角的关系转化，能有效锻炼多角度思考问题的思维能力。
【难度系数】
0.7
12. [2026南京联合体期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 108°$,PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线,则$∠ PAQ =$ 
36
°.答案
12 36
∵ PM 和 QN 分别是 AB 和 AC 的垂直平分线,
∴ PA = PB,AQ = CQ,
∴ ∠B = ∠PAB, ∠C = ∠QAC.
∵ ∠BAC =108°,
∴ ∠B + ∠C =180° -108° =72°,
∴ ∠PAB + ∠QAC =72°,
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠PAB + ∠QAC) =108° -72° =36°.
∵ PM 和 QN 分别是 AB 和 AC 的垂直平分线,
∴ PA = PB,AQ = CQ,
∴ ∠B = ∠PAB, ∠C = ∠QAC.
∵ ∠BAC =108°,
∴ ∠B + ∠C =180° -108° =72°,
∴ ∠PAB + ∠QAC =72°,
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠PAB + ∠QAC) =108° -72° =36°.
解析
【分析】
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得PA=PB、AQ=CQ，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠B=∠PAB，∠C=∠QAC；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知∠BAC的度数，算出∠B+∠C的度数，即可得到∠PAB+∠QAC的度数；最后用∠BAC减去∠PAB与∠QAC的和，就能求出∠PAQ的度数。
【解析】
∵ PM 和 QN 分别是 AB 和 AC 的垂直平分线，
∴ PA = PB，AQ = CQ，
∴ ∠B = ∠PAB，∠C = ∠QAC。
∵ 在△ABC中，∠BAC = 108°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180° - 108° = 72°，
∴ ∠PAB + ∠QAC = ∠B + ∠C = 72°，
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠PAB + ∠QAC) = 108° - 72° = 36°。
【答案】
36
【知识点】
垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题核心是通过垂直平分线的性质实现边相等到角相等的转化，再结合三角形内角和定理完成角度推导，理清各角度之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得PA=PB、AQ=CQ，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠B=∠PAB，∠C=∠QAC；接下来利用三角形内角和为180°，结合已知∠BAC的度数，算出∠B+∠C的度数，即可得到∠PAB+∠QAC的度数；最后用∠BAC减去∠PAB与∠QAC的和，就能求出∠PAQ的度数。
【解析】
∵ PM 和 QN 分别是 AB 和 AC 的垂直平分线，
∴ PA = PB，AQ = CQ，
∴ ∠B = ∠PAB，∠C = ∠QAC。
∵ 在△ABC中，∠BAC = 108°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180° - 108° = 72°，
∴ ∠PAB + ∠QAC = ∠B + ∠C = 72°，
∴ ∠PAQ = ∠BAC - (∠PAB + ∠QAC) = 108° - 72° = 36°。
【答案】
36
【知识点】
垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题核心是通过垂直平分线的性质实现边相等到角相等的转化，再结合三角形内角和定理完成角度推导，理清各角度之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13. [2026 扬州仪征期中] 如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC$, $AD ⊥ BC$, 延长 $BC$ 到点 $E$, 使得 $CE = AB$, 延长 $CB$ 到点 $F$, 使得 $BF + AB = AE$, 则 $\dfrac{AE + CF - CE}{DF}$ 的值为________。
第13题图 第14题图
第13题图 第14题图
答案
13 2
∵ AB = AC,AD ⊥ BC,
∴ BD = CD,
∴ BC =2BD.
∵ CE = AB,
∴ AB = AC = CE.
∵ BF + AB = AE,
∴ AE + CF - CE = BF + AB + CF - AB = 2BF + 2BD = 2(BF + BD) = 2DF,
∴ (AE + CF - CE)/DF = 2DF/DF =2.
∵ AB = AC,AD ⊥ BC,
∴ BD = CD,
∴ BC =2BD.
∵ CE = AB,
∴ AB = AC = CE.
∵ BF + AB = AE,
∴ AE + CF - CE = BF + AB + CF - AB = 2BF + 2BD = 2(BF + BD) = 2DF,
∴ (AE + CF - CE)/DF = 2DF/DF =2.
解析
【分析】
首先观察题干条件，已知△ABC是等腰三角形且AD⊥BC，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可推出BD=CD；再结合题目给出的CE=AB、BF+AB=AE的等量关系，将所求分式的分子中的AE、CE用对应等量替换，结合线段和差关系把分子转化为含有DF的表达式，最后约分即可得到结果。
【解析】
∵ $AB = AC$，$AD ⊥ BC$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = CD$，即$BC=2BD$。
∵ $CE = AB$，
∴ $AB = AC = CE$。
已知$BF + AB = AE$，将其代入分子得：
$\begin{aligned}AE + CF - CE&=(BF + AB) + CF - AB\\&=BF + CF\end{aligned}$
又
∵ $CF = BF + BC = BF + 2BD$，
∴ $BF + CF = BF + BF + 2BD = 2(BF + BD)$，
由线段和差可知$DF = BF + BD$，因此$AE + CF - CE = 2DF$，
∴ $\dfrac{AE + CF - CE}{DF}=\dfrac{2DF}{DF}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰三角形三线合一，线段和差计算，等量代换
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质的应用，解题核心是通过等量代换逐步化简复杂的线段表达式，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，理清线段间的和差关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先观察题干条件，已知△ABC是等腰三角形且AD⊥BC，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，可推出BD=CD；再结合题目给出的CE=AB、BF+AB=AE的等量关系，将所求分式的分子中的AE、CE用对应等量替换，结合线段和差关系把分子转化为含有DF的表达式，最后约分即可得到结果。
【解析】
∵ $AB = AC$，$AD ⊥ BC$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = CD$，即$BC=2BD$。
∵ $CE = AB$，
∴ $AB = AC = CE$。
已知$BF + AB = AE$，将其代入分子得：
$\begin{aligned}AE + CF - CE&=(BF + AB) + CF - AB\\&=BF + CF\end{aligned}$
又
∵ $CF = BF + BC = BF + 2BD$，
∴ $BF + CF = BF + BF + 2BD = 2(BF + BD)$，
由线段和差可知$DF = BF + BD$，因此$AE + CF - CE = 2DF$，
∴ $\dfrac{AE + CF - CE}{DF}=\dfrac{2DF}{DF}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰三角形三线合一，线段和差计算，等量代换
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质的应用，解题核心是通过等量代换逐步化简复杂的线段表达式，只要熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，理清线段间的和差关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14. [2026连云港新海实验中学期中] 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD = 4$，$AD$是$BC$边上的中线，若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC + PQ$的最小值是
24/5
。答案
14 24/5 如图,过点 B 作 BM ⊥ AC 于点 M,连接 BP.
∵ AB = AC,AD 是 BC 边上的中线,
∴ AD ⊥ BC,
∴ AD 垂直平分 BC,
∴ PC = PB,
∴ PC + PQ = PB + PQ ≥ BM.
∵ S△ABC = 1/2 BC · AD = 1/2 AC · BM,
∴ BM = (BC · AD)/AC = (6×4)/5 =24/5,即 PC + PQ 的最小值是24/5.
解析
【分析】
本题是求两条动线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先观察图形，△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD垂直平分BC，因此点C关于AD的对称点为点B，根据轴对称的性质可得PC=PB，即可将PC+PQ转化为PB+PQ；②要使PB+PQ最小，根据“垂线段最短”，可知最小值为点B到AC的垂线段的长度；③最后利用三角形的面积公式，通过等面积法即可求出该垂线段的长度，也就是PC+PQ的最小值。
【解析】
解：过点B作BM⊥AC于点M，连接BP。
∵$AB=AC$，AD是BC边上的中线，
∴$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一），即AD垂直平分BC，
∴$PC=PB$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$PC+PQ=PB+PQ$。
根据垂线段最短可知，$PB+PQ$的最小值为点B到AC的垂线段BM的长度，即$PC+PQ≥BM$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} · AC · BM$，
代入$BC=6$，$AD=4$，$AC=5$得：
$\frac{1}{2} × 6 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × BM$，
解得$BM=\frac{6 × 4}{5}=\frac{24}{5}$，
即PC+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；最短路径问题；等面积法求高
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题的核心是利用等腰三角形的对称性将待求线段和进行转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后通过等面积法计算结果，很好地融合了几何性质与代数计算的考查。
【难度系数】
0.6
本题是求两条动线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先观察图形，△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD垂直平分BC，因此点C关于AD的对称点为点B，根据轴对称的性质可得PC=PB，即可将PC+PQ转化为PB+PQ；②要使PB+PQ最小，根据“垂线段最短”，可知最小值为点B到AC的垂线段的长度；③最后利用三角形的面积公式，通过等面积法即可求出该垂线段的长度，也就是PC+PQ的最小值。
【解析】
解：过点B作BM⊥AC于点M，连接BP。
∵$AB=AC$，AD是BC边上的中线，
∴$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一），即AD垂直平分BC，
∴$PC=PB$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$PC+PQ=PB+PQ$。
根据垂线段最短可知，$PB+PQ$的最小值为点B到AC的垂线段BM的长度，即$PC+PQ≥BM$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} · AC · BM$，
代入$BC=6$，$AD=4$，$AC=5$得：
$\frac{1}{2} × 6 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × BM$，
解得$BM=\frac{6 × 4}{5}=\frac{24}{5}$，
即PC+PQ的最小值是$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；最短路径问题；等面积法求高
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题的核心是利用等腰三角形的对称性将待求线段和进行转化，再结合垂线段最短确定最小值的位置，最后通过等面积法计算结果，很好地融合了几何性质与代数计算的考查。
【难度系数】
0.6
15. 教材P57 复习题 T21 变式 问题:如图,在$△ ABD$中,$BA = BD$.在$BD$的延长线上取点$E,C$,作$△ AEC$,使$EA = EC$.若$∠ BAE = 90°$, $∠ B = 45°$,求$∠ DAC$的度数.
答案:$∠ DAC = 45°$.
思考:
(1) 如果把以上"问题"中的条件"$∠ B = 45°$"去掉,其余条件不变,那么$∠ DAC$的度数会改变吗?说明理由.
(2) 如果把以上"问题"中的条件"$∠ B = 45°$"去掉,再将"$∠ BAE = 90°$"改为"$∠ BAE = n°$",其余条件不变,求$∠ DAC$的度数.
答案:$∠ DAC = 45°$.
思考:
(1) 如果把以上"问题"中的条件"$∠ B = 45°$"去掉,其余条件不变,那么$∠ DAC$的度数会改变吗?说明理由.
(2) 如果把以上"问题"中的条件"$∠ B = 45°$"去掉,再将"$∠ BAE = 90°$"改为"$∠ BAE = n°$",其余条件不变,求$∠ DAC$的度数.
答案
15 解:(1)∠DAC 的度数不会改变. 理由如下:
∵ BA = BD,
∴ ∠BAD = ∠BDA,
∴ ∠BAD = 1/2(180° - ∠B).
∵ EA = EC,
∴ ∠EAC = ∠ECA = 1/2(180° - ∠AEC) = 1/2 ∠BEA = 1/2(180° - ∠B - ∠BAE),
∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAD + ∠EAC = ∠BAE - 1/2(180° - ∠B) + 1/2(180° - ∠B - ∠BAE) = 1/2 ∠BAE = 1/2 ×90° =45°.
(2)设 ∠B =m°,则 ∠BAD = 1/2(180° -m°) =90° - 1/2 m°,
∠AEB =180° -n° -m°,
∴ ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD =n° -90° + 1/2 m°.
∵ EA = EC,
∴ ∠CAE = 1/2 ∠AEB =90° - 1/2 n° - 1/2 m°,
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠CAE =n° -90° + 1/2 m° +90° - 1/2 n° - 1/2 m° = 1/2 n°.
∵ BA = BD,
∴ ∠BAD = ∠BDA,
∴ ∠BAD = 1/2(180° - ∠B).
∵ EA = EC,
∴ ∠EAC = ∠ECA = 1/2(180° - ∠AEC) = 1/2 ∠BEA = 1/2(180° - ∠B - ∠BAE),
∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAD + ∠EAC = ∠BAE - 1/2(180° - ∠B) + 1/2(180° - ∠B - ∠BAE) = 1/2 ∠BAE = 1/2 ×90° =45°.
(2)设 ∠B =m°,则 ∠BAD = 1/2(180° -m°) =90° - 1/2 m°,
∠AEB =180° -n° -m°,
∴ ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD =n° -90° + 1/2 m°.
∵ EA = EC,
∴ ∠CAE = 1/2 ∠AEB =90° - 1/2 n° - 1/2 m°,
∴ ∠DAC = ∠DAE + ∠CAE =n° -90° + 1/2 m° +90° - 1/2 n° - 1/2 m° = 1/2 n°.
解析
【分析】
本题可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，将待求角∠DAC拆分为相关角的和差，通过代数化简推导其与已知角的关系。
(1) 要判断∠DAC是否变化，可先分别用∠B和∠BAE表示出∠BAD、∠EAC，再结合角的和差关系将∠DAC用已知角表示，观察化简结果是否含有∠B即可判断。
(2) 将∠BAE替换为n°，沿用(1)的推导思路，用∠B和n°表示出各个相关角，化简消去∠B即可得到∠DAC的度数。
【解析】
(1) ∠DAC的度数不会改变，理由如下：
∵ $BA = BD$，
∴ $∠ BAD = ∠ BDA$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-∠ B)$。
∵ $EA = EC$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA$，
在$△ AEC$中，$∠ ECA=\frac{1}{2}(180°-∠ AEC)$，又$∠ AEC=180°-∠ BEA$，因此$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BEA$。
在$△ ABE$中，由内角和定理得$∠ BEA=180°-∠ B-∠ BAE$，因此$∠ EAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ BAE)$。
则$∠ DAC = ∠ BAE - ∠ BAD + ∠ EAC$，代入表达式化简：
$\begin{aligned}∠ DAC &= ∠ BAE - \frac{1}{2}(180°-∠ B) + \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ BAE)\\&=\frac{1}{2}∠ BAE\\&=\frac{1}{2}×90°=45°\end{aligned}$
结果与∠B无关，因此∠DAC的度数不变。
(2) 设$∠ B = m°$，
∵ $BA=BD$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}(180° - m°)=90°-\frac{1}{2}m°$，
在$△ ABE$中，由内角和得：$∠ AEB=180° - n° - m°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAE - ∠ BAD = n° - (90°-\frac{1}{2}m°)=n° -90° +\frac{1}{2}m°$，
∵ $EA=EC$，
∴ $∠ CAE=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{1}{2}(180° -n° -m°)=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°$，
因此：
$\begin{aligned}∠ DAC&=∠ DAE + ∠ CAE\\&= (n° -90° +\frac{1}{2}m°)+(90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°)\\&=\frac{1}{2}n°\end{aligned}$
【答案】
(1) ∠DAC的度数不会改变，为$45°$；
(2) $∠ DAC=\frac{1}{2}n°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题以等腰三角形为载体，考查几何定值问题的推导方法，解题时需灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，通过代数表示消去无关变量得到最终结论，有助于提升几何逻辑推理和代数运算结合的能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，将待求角∠DAC拆分为相关角的和差，通过代数化简推导其与已知角的关系。
(1) 要判断∠DAC是否变化，可先分别用∠B和∠BAE表示出∠BAD、∠EAC，再结合角的和差关系将∠DAC用已知角表示，观察化简结果是否含有∠B即可判断。
(2) 将∠BAE替换为n°，沿用(1)的推导思路，用∠B和n°表示出各个相关角，化简消去∠B即可得到∠DAC的度数。
【解析】
(1) ∠DAC的度数不会改变，理由如下：
∵ $BA = BD$，
∴ $∠ BAD = ∠ BDA$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ BAD=\frac{1}{2}(180°-∠ B)$。
∵ $EA = EC$，
∴ $∠ EAC = ∠ ECA$，
在$△ AEC$中，$∠ ECA=\frac{1}{2}(180°-∠ AEC)$，又$∠ AEC=180°-∠ BEA$，因此$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BEA$。
在$△ ABE$中，由内角和定理得$∠ BEA=180°-∠ B-∠ BAE$，因此$∠ EAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ BAE)$。
则$∠ DAC = ∠ BAE - ∠ BAD + ∠ EAC$，代入表达式化简：
$\begin{aligned}∠ DAC &= ∠ BAE - \frac{1}{2}(180°-∠ B) + \frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ BAE)\\&=\frac{1}{2}∠ BAE\\&=\frac{1}{2}×90°=45°\end{aligned}$
结果与∠B无关，因此∠DAC的度数不变。
(2) 设$∠ B = m°$，
∵ $BA=BD$，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}(180° - m°)=90°-\frac{1}{2}m°$，
在$△ ABE$中，由内角和得：$∠ AEB=180° - n° - m°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAE - ∠ BAD = n° - (90°-\frac{1}{2}m°)=n° -90° +\frac{1}{2}m°$，
∵ $EA=EC$，
∴ $∠ CAE=\frac{1}{2}∠ AEB=\frac{1}{2}(180° -n° -m°)=90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°$，
因此：
$\begin{aligned}∠ DAC&=∠ DAE + ∠ CAE\\&= (n° -90° +\frac{1}{2}m°)+(90°-\frac{1}{2}n°-\frac{1}{2}m°)\\&=\frac{1}{2}n°\end{aligned}$
【答案】
(1) ∠DAC的度数不会改变，为$45°$；
(2) $∠ DAC=\frac{1}{2}n°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题以等腰三角形为载体，考查几何定值问题的推导方法，解题时需灵活运用等腰三角形等边对等角的性质，通过代数表示消去无关变量得到最终结论，有助于提升几何逻辑推理和代数运算结合的能力。
【难度系数】
0.6
16. 应用意识 [2026 南京河西外国语学校月考] 定义:在等腰三角形中,过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角,那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”.
已知在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$在边$AC$上.
(1)如图1,如果$BD = BC$,求证:$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”;
(2)如图2,如果$BD ⊥ AC$,且$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”,求$∠ C$的度数;
(3)$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”,$∠ BAC$的平分线交$BD$于点$F$.如果$DF = DC$,那么$∠ BAC$的度数为
已知在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$在边$AC$上.
(1)如图1,如果$BD = BC$,求证:$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”;
(2)如图2,如果$BD ⊥ AC$,且$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”,求$∠ C$的度数;
(3)$BD$是$△ ABC$的“等角分割线”,$∠ BAC$的平分线交$BD$于点$F$.如果$DF = DC$,那么$∠ BAC$的度数为
45°或180°/7
.答案
16 (1)证明:
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C.
∵ BD = BC,
∴ ∠BDC = ∠C,
∴ ∠ABC = ∠BDC.
∵ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC,∠BDC = ∠A + ∠ABD,
∴ ∠ABD + ∠DBC = ∠A + ∠ABD,
∴ ∠A = ∠DBC,
∴ BD 是△ABC 的“等角分割线”.
(2)解:
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C.
∵ ∠A + ∠ABC + ∠C =180°,
∴ ∠A =180° -2∠C.
∵ BD ⊥ AC,
∴ ∠BDC = ∠BDA =90°.
∵ ∠BDC = ∠A + ∠ABD,∠BDA = ∠DBC + ∠C,
∴ ∠ABD =2∠C -90°,∠DBC =90° - ∠C.
∵ BD 是△ABC 的“等角分割线”,
∴ 分两种情况讨论:
①∠A = ∠ABD,即 180° -2∠C =2∠C -90°,
解得 ∠C =67.5°;
②∠A = ∠DBC,即 180° -2∠C =90° - ∠C,
解得 ∠C =90°(舍去).
综上所述,∠C =67.5°.
(3)45°或180°/7
记∠BAC 的平分线与 BC 交于点 E,分两种情况讨论:
①如图1,当∠DBC = ∠BAC 时.
∵ AB = AC,AE 平分 ∠BAC,
∴ AE ⊥ BC,∠BAE = ∠CAE,BE = CE. 设 ∠BAE = ∠CAE =x,则 ∠DBC = ∠BAC =2x.
∵ AE ⊥ BC,BE = CE,
∴ AE 垂直平分 BC,
∴ FB = FC,
∴ ∠DBC = ∠FCB =2x,
∴ ∠DFC = ∠FBC + ∠FCB =2x +2x =4x.
∵ DF = DC,
∴ ∠DCF = ∠DFC =4x,
∴ ∠ACE = ∠DCF + ∠FCB =4x +2x =6x.
∵ AE ⊥ BC,∠CAE + ∠ACE + ∠AEC =180°,
∴ x +6x +90° =180°,解得 x =90°/7,
∴ ∠BAC =2 ×90°/7 =180°/7;
②如图2,当∠ABD = ∠BAC 时.
∵ AE 平分 ∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠CAE,设 ∠BAE = ∠CAE = y,则 ∠ABD = ∠BAC =2y,
∴ ∠FDC = ∠BAC + ∠ABD =4y. 在△ABF 和△ACF 中,
{AB = AC,
∠BAF = ∠CAF,
AF = AF,
∴ △ABF ≅ △ACF (SAS),
∴ ∠ACF = ∠ABD =2y.
∵ DF = DC,
∴ ∠DFC = ∠DCF =2y.
∵ ∠FDC + ∠DFC + ∠DCF =180°,
∴ 4y +2y +2y =180°,解得 y =22.5°,
∴ ∠BAC =2 ×22.5° =45°. 综上所述,∠BAC 的度数为 45°或180°/7.
解析
【分析】
本题是新定义类几何题，围绕等腰三角形的性质展开，解题思路如下：
(1)要证明BD是“等角分割线”，需根据定义证明BD分底角∠ABC得到的两个角中，有一个等于顶角∠BAC。利用等腰三角形等边对等角的性质，结合角的和差关系推导∠DBC=∠A即可。
(2)已知BD⊥AC且是等角分割线，先设∠C为未知数，用含∠C的式子表示∠A、∠ABD、∠DBC，再分两种情况讨论：①∠ABD=∠A；②∠DBC=∠A，结合三角形内角和列方程求解，舍去不符合三角形内角要求的解。
(3)分两种情况讨论：①BD分∠ABC得到的∠DBC=∠BAC；②∠ABD=∠BAC。结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角、全等三角形的判定与性质，用未知数表示各角，根据三角形内角和列方程求解，得到两种情况下的∠BAC度数。
【解析】
(1)证明：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵BD = BC，
∴∠BDC = ∠C，
∴∠ABC = ∠BDC。
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠BDC = ∠A + ∠ABD，
∴∠ABD + ∠DBC = ∠A + ∠ABD，
∴∠A = ∠DBC，
∴BD是△ABC的“等角分割线”。
(2)解：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴∠A = 180° - 2∠C。
∵BD ⊥ AC，
∴∠BDC = ∠BDA = 90°。
∵∠BDC = ∠A + ∠ABD，∠BDA = ∠DBC + ∠C，
∴∠ABD = 2∠C - 90°，∠DBC = 90° - ∠C。
∵BD是△ABC的“等角分割线”，
∴分两种情况讨论：
①∠A = ∠ABD，即180° - 2∠C = 2∠C - 90°，
解得∠C = 67.5°；
②∠A = ∠DBC，即180° - 2∠C = 90° - ∠C，
解得∠C = 90°，此时△ABC内角和超过180°，舍去。
综上所述，∠C = 67.5°。
(3)解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，分两种情况讨论：
①如图1，当∠DBC = ∠BAC时。
∵AB = AC，AE平分∠BAC，
∴AE ⊥ BC，∠BAE = ∠CAE，BE = CE。设∠BAE = ∠CAE = x，则∠DBC = ∠BAC = 2x。
∵AE ⊥ BC，BE = CE，
∴AE垂直平分BC，
∴FB = FC，
∴∠DBC = ∠FCB = 2x，
∴∠DFC = ∠FBC + ∠FCB = 2x + 2x = 4x。
∵DF = DC，
∴∠DCF = ∠DFC = 4x，
∴∠ACE = ∠DCF + ∠FCB = 4x + 2x = 6x。
∵AE ⊥ BC，∠CAE + ∠ACE + ∠AEC = 180°，
∴x + 6x + 90° = 180°，解得x = $\frac{90°}{7}$，
∴∠BAC = 2 × $\frac{90°}{7}$ = $\frac{180°}{7}$；
②如图2，当∠ABD = ∠BAC时。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE，设∠BAE = ∠CAE = y，则∠ABD = ∠BAC = 2y，
∴∠FDC = ∠BAC + ∠ABD = 4y。
在△ABF和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAF = ∠CAF \\AF = AF\end{array} $
∴△ABF ≅ △ACF (SAS)，
∴∠ACF = ∠ABD = 2y。
∵DF = DC，
∴∠DFC = ∠DCF = 2y。
∵∠FDC + ∠DFC + ∠DCF = 180°，
∴4y + 2y + 2y = 180°，解得y = 22.5°，
∴∠BAC = 2 × 22.5° = 45°。
【答案】
(1) BD是△ABC的“等角分割线”，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠C = 67.5°}$；
(3) $\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{\frac{180°}{7}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题属于新定义题型，将自定义概念与等腰三角形、全等三角形等核心几何知识结合，需要熟练掌握等腰三角形的边角关系，同时要注意分类讨论思想的应用，避免漏解，能够有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
本题是新定义类几何题，围绕等腰三角形的性质展开，解题思路如下：
(1)要证明BD是“等角分割线”，需根据定义证明BD分底角∠ABC得到的两个角中，有一个等于顶角∠BAC。利用等腰三角形等边对等角的性质，结合角的和差关系推导∠DBC=∠A即可。
(2)已知BD⊥AC且是等角分割线，先设∠C为未知数，用含∠C的式子表示∠A、∠ABD、∠DBC，再分两种情况讨论：①∠ABD=∠A；②∠DBC=∠A，结合三角形内角和列方程求解，舍去不符合三角形内角要求的解。
(3)分两种情况讨论：①BD分∠ABC得到的∠DBC=∠BAC；②∠ABD=∠BAC。结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角、全等三角形的判定与性质，用未知数表示各角，根据三角形内角和列方程求解，得到两种情况下的∠BAC度数。
【解析】
(1)证明：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵BD = BC，
∴∠BDC = ∠C，
∴∠ABC = ∠BDC。
∵∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，∠BDC = ∠A + ∠ABD，
∴∠ABD + ∠DBC = ∠A + ∠ABD，
∴∠A = ∠DBC，
∴BD是△ABC的“等角分割线”。
(2)解：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C。
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴∠A = 180° - 2∠C。
∵BD ⊥ AC，
∴∠BDC = ∠BDA = 90°。
∵∠BDC = ∠A + ∠ABD，∠BDA = ∠DBC + ∠C，
∴∠ABD = 2∠C - 90°，∠DBC = 90° - ∠C。
∵BD是△ABC的“等角分割线”，
∴分两种情况讨论：
①∠A = ∠ABD，即180° - 2∠C = 2∠C - 90°，
解得∠C = 67.5°；
②∠A = ∠DBC，即180° - 2∠C = 90° - ∠C，
解得∠C = 90°，此时△ABC内角和超过180°，舍去。
综上所述，∠C = 67.5°。
(3)解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，分两种情况讨论：
①如图1，当∠DBC = ∠BAC时。
∵AB = AC，AE平分∠BAC，
∴AE ⊥ BC，∠BAE = ∠CAE，BE = CE。设∠BAE = ∠CAE = x，则∠DBC = ∠BAC = 2x。
∵AE ⊥ BC，BE = CE，
∴AE垂直平分BC，
∴FB = FC，
∴∠DBC = ∠FCB = 2x，
∴∠DFC = ∠FBC + ∠FCB = 2x + 2x = 4x。
∵DF = DC，
∴∠DCF = ∠DFC = 4x，
∴∠ACE = ∠DCF + ∠FCB = 4x + 2x = 6x。
∵AE ⊥ BC，∠CAE + ∠ACE + ∠AEC = 180°，
∴x + 6x + 90° = 180°，解得x = $\frac{90°}{7}$，
∴∠BAC = 2 × $\frac{90°}{7}$ = $\frac{180°}{7}$；
②如图2，当∠ABD = ∠BAC时。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE，设∠BAE = ∠CAE = y，则∠ABD = ∠BAC = 2y，
∴∠FDC = ∠BAC + ∠ABD = 4y。
在△ABF和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAF = ∠CAF \\AF = AF\end{array} $
∴△ABF ≅ △ACF (SAS)，
∴∠ACF = ∠ABD = 2y。
∵DF = DC，
∴∠DFC = ∠DCF = 2y。
∵∠FDC + ∠DFC + ∠DCF = 180°，
∴4y + 2y + 2y = 180°，解得y = 22.5°，
∴∠BAC = 2 × 22.5° = 45°。
【答案】
(1) BD是△ABC的“等角分割线”，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠C = 67.5°}$；
(3) $\boldsymbol{45°}$或$\boldsymbol{\frac{180°}{7}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题属于新定义题型，将自定义概念与等腰三角形、全等三角形等核心几何知识结合，需要熟练掌握等腰三角形的边角关系，同时要注意分类讨论思想的应用，避免漏解，能够有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
