1. 一题多解 如图，直线$l_1 // l_2$，$AB = AC$，$∠ BAC = 40°$，则$∠ 1 + ∠ 2$的度数是（）


A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$

1 B 通解 如图1，
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ ∠BAC = 40°,
∴ ∠ABC = 1/2(180° - ∠BAC) = 70°.
∵ l₁ // l₂,
∴ ∠BAE + ∠ABD = 180°,
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - (40° + 70°) = 70°.

另解 如图2,过点 C 作 CD // l₁ ,交 AB 于点 D.
∵ l₁ // l₂ ,
∴ l₁ // l₂ // CD,
∴ ∠1 = ∠BCD, ∠2 = ∠ACD.
∵ AB = AC,
∴ ∠ACB = ∠ABC.
∵ ∠BAC = 40°,
∴ ∠ACB = 1/2(180° - ∠BAC) =70°,
∴ ∠1 + ∠2 = ∠BCD + ∠ACD = ∠ACB =70°.

将“边相等”转化为“角相等”求解
已知三角形两边相等,求相关角的度数时,可利用“等边对等角”的性质,把三角形的“边相等”转化为“角相等”,再结合图形,寻找待求角与已知角的关系,而“三角形的内角和是180°”是解决此类问题常用的隐含条件.

【分析】
首先观察题干已知条件：有等腰三角形ABC，还有平行直线$l_1$、$l_2$，要求$∠1+∠2$的度数。第一步先处理等腰三角形的条件：根据“等边对等角”和三角形内角和为180°，先算出等腰三角形的底角$∠ABC$、$∠ACB$的度数；第二步结合平行线的性质求解，有两种思路：① 利用两直线平行同旁内角互补，得到B点处和A点处的同旁内角和为180°，把$∠1$、$∠2$和已经求出的角代入关系式，即可计算出$∠1+∠2$；② 过点C作$l_1$的平行线，利用平行的传递性得到三条直线平行，再根据内错角相等，把$∠1$和$∠2$转化为等腰三角形底角$∠ACB$的两个部分，相加就是底角的度数，直接得到结果。
【解析】
通解：
如图1，
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ABC = ∠ACB$（等边对等角）。
∵ $∠BAC = 40°$，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ABC = \frac{1}{2}(180° - ∠BAC) = \frac{1}{2}×(180°-40°) = 70°$。
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $∠ABD + ∠BAE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
其中$∠ABD = ∠1 + ∠ABC$，$∠BAE = ∠2 + ∠BAC$，
代入得：$∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BAC = 180°$，
∴ $∠1 + ∠2 = 180° - (∠ABC + ∠BAC) = 180° - (70° + 40°) = 70°$。

另解：
如图2，过点C作$CD // l_1$，交AB于点D。
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $l_1 // l_2 // CD$（平行公理的推论），
∴ $∠1 = ∠BCD$，$∠2 = ∠ACD$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AB = AC$，$∠BAC = 40°$，
∴ $∠ACB = \frac{1}{2}(180° - ∠BAC) = 70°$，
∴ $∠1 + ∠2 = ∠BCD + ∠ACD = ∠ACB = 70°$。

【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与平行线性质结合的基础常规题型，两种解题思路体现了不同的角转化逻辑，解题时要优先将已知边的相等关系转化为角的相等关系，再结合平行线的角的性质建立待求角与已知角的关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

2. [2026南通启东期中]某平板电脑支架如图所示，$EA=ED$，$∠ AEC=140°$. 为了使用的舒适性，可调整$∠ AEC$的大小. 若$∠ AEC$增大$16°$，则$∠ BDE$的变化情况是（）


A.增大$16°$
B.减小$16°$
C.增大$8°$
D.减小$8°$

2 D
∵ EA = ED,
∴ ∠EAD = ∠EDA,
∴ ∠AEC = ∠EAD + ∠ADE = 2∠ADE.
∵ ∠AEC 增大 16°,
∴ ∠ADE 增大 8°.
∵ ∠BDE = 180° - ∠ADE,
∴ ∠BDE 减小 8°.

【分析】
首先根据已知条件EA=ED，可判断△EAD为等腰三角形，依据等边对等角得到两个底角相等；再观察∠AEC是△EAD的外角，根据三角形外角性质可得到∠AEC与底角∠ADE的数量关系；接着结合∠AEC的变化量求出∠ADE的变化量；最后根据∠BDE与∠ADE互为邻补角的关系，即可推出∠BDE的变化情况。
【解析】
∵ EA = ED，
∴ ∠EAD = ∠EDA（等边对等角），
∵ ∠AEC是△AED的外角，
∴ ∠AEC = ∠EAD + ∠ADE = 2∠ADE，
若∠AEC增大16°，则2∠ADE增大16°，即∠ADE增大8°，
又
∵ ∠BDE + ∠ADE = 180°（邻补角之和为180°），
∴ ∠BDE = 180° - ∠ADE，
因此∠BDE减小8°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何基础知识的综合应用，解题的关键是梳理清楚各角之间的数量关系，属于基础类考题，注重对基础性质的理解和运用考查。
【难度系数】
0.7

3. [2026宿迁沭阳期中]若等腰三角形有一个内角是95°,则它的底角为°.

3 42.5
∵ 95°是钝角,
∴ 95°只能为等腰三角形的顶角,
∴ 它的底角为 1/2 ×(180° - 95°) =42.5°.

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的性质和三角形内角和定理：等腰三角形两个底角相等，三角形三个内角和为180°。已知等腰三角形一个内角为95°，需先判断该角是顶角还是底角：由于95°是钝角，若它为底角，两个底角之和就会超过180°，不符合三角形内角和要求，因此该角只能是顶角，再用内角和减去顶角的差除以2，即可算出底角度数。
【解析】
解：
∵ 95°是钝角，
∴ 95°只能为等腰三角形的顶角（若95°为底角，两个底角之和为$95° × 2=190° ＞180°$，不符合三角形内角和定理）。
∵ 等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为$180°$，
∴ 它的底角为 $\frac{1}{2}×(180° - 95°) = 42.5°$。
【答案】
42.5
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是先对已知角的类型进行分类讨论，结合三角形内角和定理排除不符合逻辑的情况，避免直接默认已知角为顶角或底角导致出错。
【难度系数】
0.7

4. 新趋势·结论开放 [2025南京中考]若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是。
(写出一个即可)

4 5(答案不唯一) 设腰长为x,底边长为y,则2x + y =12,
∴ y=12-2x. 由三角形的三边关系,得x +x ＞12 -2x,x -x ＜12 -2x,
∴ 3 ＜x ＜6,
∴ 它的腰长是3和6之间的任意数,不含3和6.

【分析】
本题属于结论开放类题型，解题时首先结合等腰三角形两腰相等的性质，用腰长表示出底边长，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）列出不等式，求出腰长的取值范围，最后在范围内任选一个符合要求的值即可。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$x$，底边长为$y$。
根据等腰三角形周长为12，可得：$2x + y = 12$，因此底边长$y = 12 - 2x$。
根据三角形三边关系列不等式：
1. 两腰之和大于底边：$x + x ＞ 12 - 2x$，
解不等式得：$4x ＞ 12$，即$x ＞ 3$；
2. 两边之差小于第三边：两腰的差为$x-x=0$，因此$0 ＜ 12 - 2x$，
解不等式得：$2x ＜ 12$，即$x ＜ 6$。
综上可得腰长的取值范围为$3 ＜ x ＜ 6$，在该范围内任选一个数即可。
【答案】
4（答案不唯一，大于3且小于6的数均可）
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题为开放型基础题，侧重考查对几何基础性质的应用，解题核心是通过三边关系确定腰长的取值范围，易错点是容易忽略三角形边长为正、两边之和大于第三边的隐含条件，只要正确求出取值范围即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

5. [2026宿迁经开区期中] 如图,在△ABC中,AB=AC,点F在AC上,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.若∠AFD=155°,则∠EDF的度数为°.

5 65
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ FD ⊥ BC, DE ⊥ AB,
∴ ∠BED = ∠FDC =90°,
∴ ∠EDB = ∠CFD.
∵ ∠AFD =155°,
∴ ∠EDB = ∠CFD = 180° -155° =25°,
∴ ∠EDF = 90° - ∠EDB =90° -25° =65°.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得两底角∠B=∠C；再结合FD⊥BC、DE⊥AB得到两个直角，可知△BED和△CDF都是直角三角形，根据等角的余角相等可推出∠EDB=∠CFD。接下来利用∠AFD与∠CFD是邻补角，求出∠CFD的度数，也就得到了∠EDB的度数；最后根据FD⊥BC可知∠BDF=90°，用90°减去∠EDB的度数即可得到∠EDF的大小。
【解析】
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C。
∵ FD ⊥ BC，DE ⊥ AB，
∴ ∠BED = ∠FDC = 90°，
∴ ∠EDB = ∠CFD。
∵ ∠AFD = 155°，
∴ ∠EDB = ∠CFD = 180° - 155° = 25°，
∴ ∠EDF = 90° - ∠EDB = 90° - 25° = 65°。
【答案】
65
【知识点】
等腰三角形的性质，等角的余角相等，邻补角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与直角三角形角的关系的综合基础题，解题的核心是通过等角的余角相等建立未知角和已知角的关联，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

6. [2026无锡宜兴期中]如图，$∠ AOB = 80°$,在$OA$边上取点$C$,以点$C$为圆心,$CO$长为半径画弧,交$OB$边于点$D$,连接$CD$;以点$D$为圆心,$DC$长为半径画弧,交$OB$边于点$E$,连接$CE$,则$∠ OCE$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.

6 60 由作图,得 CO = CD,DC = DE.
∴ ∠ODC = ∠COD = 80°,
∴ ∠OCD =20°, ∠DCE + ∠CED = ∠ODC =80°.
∵ DC = DE,
∴ ∠DCE = ∠CED =40°,
∴ ∠OCE = ∠OCD + ∠DCE =60°.

【分析】
解题时首先根据尺规作图的特征得到等线段：$CO=CD$、$DC=DE$，从而得到两个等腰三角形$△ OCD$和$△ DCE$。先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知$∠ AOB$的度数求出$△ OCD$的底角$∠ ODC$和顶角$∠ OCD$；再利用三角形外角的性质，结合$△ DCE$是等腰三角形的条件求出$∠ DCE$的度数，最后将$∠ OCD$与$∠ DCE$相加即可得到$∠ OCE$的度数。
【解析】
由尺规作图的性质可得：$CO = CD$，$DC = DE$。
1. 在$△ OCD$中，$\because CO=CD$，$\therefore ∠ ODC = ∠ COD = ∠ AOB = 80°$，
根据三角形内角和定理，$∠ OCD = 180° - ∠ COD - ∠ ODC = 180° -80° -80° =20°$。
2. $∠ ODC$是$△ DCE$的外角，$\therefore ∠ ODC = ∠ DCE + ∠ CED$，
又$\because DC=DE$，$\therefore ∠ DCE = ∠ CED$，
$\therefore ∠ DCE = \frac{1}{2}∠ ODC = \frac{1}{2}×80° =40°$。
3. 因此$∠ OCE = ∠ OCD + ∠ DCE = 20° +40° =60°$。
【答案】
$60$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是从尺规作图中挖掘出隐含的等线段条件，转化为等腰三角形的边相等关系，再结合三角形的角度性质逐步推导计算即可，解题时合理运用外角性质可简化计算步骤。
【难度系数】
0.7

7. [2026南京鼓楼实验中学月考]如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.求证:DE=BF.

7 证明:
∵ △ACD,△BCE 分别是以 AC,BC 为底边的等腰三角形,
∴ ∠A = ∠DCA, ∠ECB = ∠CBE,CE = BE,AD = CD.
∵ ∠A = ∠CBE,
∴ ∠A = ∠ECB, ∠ADC = ∠CEB,
∴ AD // CE,
∴ ∠ADC = ∠DCE,
∴ ∠DCE = ∠CEB.
∵ EF = AD,
∴ CD = EF,
∴ △DCE ≅ △FEB,
∴ DE = BF.

【分析】
要证明DE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导，目标为证明△DCE≌△FEB。首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得到两个等腰三角形的底角、腰的等量关系；再结合已知∠A=∠CBE推导角的关系，证明AD//CE，进而得到∠DCE=∠CEB；最后结合EF=AD的条件转化得到全等所需的边相等条件，用SAS判定三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ △ACD、△BCE分别是以AC、BC为底边的等腰三角形，
∴ ∠A = ∠DCA，∠ECB = ∠CBE，CE = BE，AD = CD。
∵ ∠A = ∠CBE，
∴ ∠A = ∠ECB，∠ADC = ∠CEB，
∴ AD//CE（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠ADC = ∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCE = ∠CEB。
∵ EF = AD，AD = CD，
∴ CD = EF。
在△DCE和△FEB中：
$\{\begin{array}{l}CD = EF \\∠DCE = ∠FEB \\CE = BE\end{array} $
∴ △DCE ≅ △FEB（SAS），
∴ DE = BF（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
DE=BF
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型习题，解题的核心是通过角的等量代换和平行线的性质，找到全等三角形所需的边角条件，有助于巩固几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∠BAC=80°,则∠BAD的度数为°。

8 40
∵ AB = AC,AD 为 BC 边上的高,
∴ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD = 1/2 ∠BAC =40°.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，再结合AD是BC边上的高，回忆等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），因此AD同时是∠BAC的角平分线，可知∠BAD为∠BAC的一半，代入已知的∠BAC的度数即可求解。
【解析】
∵ AB = AC，
∴ △ABC是等腰三角形，
∵ AD为BC边上的高，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是∠BAC的平分线，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵ $∠ BAC=80°$，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形三线合一，角的计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等腰三角形“三线合一”性质的直接应用，熟练掌握等腰三角形的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

9. [2026徐州邳州期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$,$E$是$AD$的中点,连接$CE$.若$△ DCE$的面积为4,则$△ ABC$的面积为.

9 16
∵ E 是 AD 的中点,
∴ AD = 2DE. 又
∵ S△DCE =4,
∴ S△ADC =2 ×4 =8.
∵ AB = AC,AD 平分 ∠BAC,
∴ BD = CD,
∴ S△ABD = S△ADC =8,
∴ S△ABC = S△ABD + S△ADC =16,即△ABC 的面积为 16.

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由E是AD中点，可知△ADC和△DCE同高，底存在2倍关系，据此可先求出△ADC的面积；再结合AB=AC、AD平分∠BAC的条件，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD是BC边上的中线，即D是BC中点，那么△ABD和△ADC面积相等，将两个三角形面积相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
∵ E是AD的中点，
∴ AD = 2DE，△ADC与△DCE以AD、DE为底时，过点C的高相等，
∴ $S_{△ ADC}=2S_{△ DCE}=2×4=8$。
∵ $AB=AC$，AD平分$∠ BAC$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，即$BD=CD$，
△ABD与△ADC以BD、CD为底时，过点A的高相等，
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ADC}=8$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=8+8=16$。
【答案】
16
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题将等腰三角形性质与三角形面积计算相结合考查，解题关键是熟练掌握“同高三角形的面积比等于对应底的比”以及等腰三角形三线合一的性质，逐步推导得到目标三角形的面积，属于几何面积类的基础题型。
【难度系数】
0.75

10. [2026 盐城亭湖区期中] 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD ⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.

10 (1)证明:连接 AE.
∵ EF 垂直平分 AB,
∴ AE = BE.
又
∵ BE = AC,
∴ AE = AC.
∵ D 是 EC 的中点,
∴ AD ⊥ BC.
(2)解:设 ∠B =x°.
∵ AE = BE,
∴ ∠BAE = ∠B =x°,
∴ ∠AEC = ∠BAE + ∠B =2x°.
∵ AE = AC,
∴ ∠C = ∠AEC =2x°.
在△ABC 中,∠B + ∠BAC + ∠C =180°,
即 3x° +75° =180°,解得 x° =35°,
∴ ∠B 的度数为 35°.

【分析】
（1）要证明$AD ⊥ BC$，已知$D$是$CE$的中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$△ AEC$为等腰三角形（即$AE=AC$）即可。首先连接$AE$，根据线段垂直平分线的性质可得$AE=BE$，结合已知条件$BE=AC$，可等量代换得到$AE=AC$，再利用等腰三角形三线合一的性质即可得证。
（2）求$∠ B$的度数可采用设未知数列方程的思路：设$∠ B=x°$，根据等边对等角可得$∠ BAE=∠ B=x°$，再由三角形外角的性质得到$∠ AEC=2x°$，结合$AE=AC$可得$∠ C=∠ AEC=2x°$，最后利用三角形内角和为$180°$列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接$AE$。
$\because EF$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AE = BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
又$\because BE = AC$，
$\therefore AE = AC$，即$△ AEC$是等腰三角形。
$\because D$为$CE$的中点，
$\therefore AD ⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）。
(2) 解：设$∠ B = x°$。
$\because AE = BE$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ B = x°$。
$\because ∠ AEC$是$△ ABE$的外角，
$\therefore ∠ AEC = ∠ BAE + ∠ B = 2x°$。
$\because AE = AC$，
$\therefore ∠ C = ∠ AEC = 2x°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，
代入得：$x + 75 + 2x = 180$，
解得$x = 35$，
即$∠ B$的度数为$35°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{35°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，将已知条件进行转化，求解角度时可灵活运用方程思想简化计算，熟练掌握相关性质定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7