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1.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3$，则$AB$的长为（
A.$4$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.$5$
C
）A.$4$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.$5$
答案
1.C
解析
【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，解题思路如下：首先明确已知条件：△ABC是直角三角形，∠C为直角，因此AB是斜边，AC、BC是两条直角边；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；最后将已知边长代入公式计算，再结合选项选出正确答案即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此AB为斜边，AC、BC为直角边。
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$
将$AC=2$，$BC=3$代入上式：
$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{13}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确判断直角三角形的斜边和直角边，牢记勾股定理的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形边长计算问题，解题思路如下：首先明确已知条件：△ABC是直角三角形，∠C为直角，因此AB是斜边，AC、BC是两条直角边；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；最后将已知边长代入公式计算，再结合选项选出正确答案即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此AB为斜边，AC、BC为直角边。
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$
将$AC=2$，$BC=3$代入上式：
$AB^2=2^2+3^2=4+9=13$
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{13}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确判断直角三角形的斜边和直角边，牢记勾股定理的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.如图,长为 3 m 的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为 1.8 m,则梯子顶端的高度 h为
(
A.1.2 m
B.2.4 m
C.3 m
D.2.6 m
(
B
)A.1.2 m
B.2.4 m
C.3 m
D.2.6 m
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察题目场景，墙面与地面互相垂直，因此墙面、地面、梯子刚好构成直角三角形：梯子为斜边，长度3m；梯子底端到墙脚的距离为其中一条直角边，长度1.8m；要求的顶端高度h是另一条直角边。解题思路是利用勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长即可求出未知的h。
【解析】
由题意可知，墙面与地面垂直，因此梯子、墙面、地面构成直角三角形，其中：
斜边（梯子长度）$c=3\ \mathrm{m}$，一条直角边（底端到墙脚距离）$a=1.8\ \mathrm{m}$，所求高度h为另一条直角边。
根据勾股定理：$a^2 + h^2 = c^2$
代入数值计算：
$h^2 = c^2 - a^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
因为h为长度，取正值，所以$h = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应各边的长度，再代入勾股定理计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
首先观察题目场景，墙面与地面互相垂直，因此墙面、地面、梯子刚好构成直角三角形：梯子为斜边，长度3m；梯子底端到墙脚的距离为其中一条直角边，长度1.8m；要求的顶端高度h是另一条直角边。解题思路是利用勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长即可求出未知的h。
【解析】
由题意可知，墙面与地面垂直，因此梯子、墙面、地面构成直角三角形，其中：
斜边（梯子长度）$c=3\ \mathrm{m}$，一条直角边（底端到墙脚距离）$a=1.8\ \mathrm{m}$，所求高度h为另一条直角边。
根据勾股定理：$a^2 + h^2 = c^2$
代入数值计算：
$h^2 = c^2 - a^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
因为h为长度，取正值，所以$h = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应各边的长度，再代入勾股定理计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
3.如图,数轴上点 A 所表示的数为 a,则 a 的值是 (
A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}+1$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}$
C
)A.$\sqrt{5}+1$
B.$-\sqrt{5}+1$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形，先通过数轴刻度确定直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长，结合圆规画弧半径相等的特点，可得到点A到数轴上表示-1的点的距离等于斜边长，最后结合点A在-1右侧的位置，就能求出a的值。
【解析】
首先计算直角三角形的两条直角边长度：水平方向直角边长度为$1 - (-1) = 2$，竖直方向直角边长度为1。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
由画图可知，斜边长等于数轴上点A到表示-1的点的距离，且点A在-1的右侧，因此点A表示的数$a = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理
2.数轴与实数
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的典型基础题，考查学生运用勾股定理计算线段长度、结合数轴位置确定对应实数的能力，解题时要注意线段的起始点位置，避免直接将斜边长度当作a的值。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，先通过数轴刻度确定直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长，结合圆规画弧半径相等的特点，可得到点A到数轴上表示-1的点的距离等于斜边长，最后结合点A在-1右侧的位置，就能求出a的值。
【解析】
首先计算直角三角形的两条直角边长度：水平方向直角边长度为$1 - (-1) = 2$，竖直方向直角边长度为1。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
由画图可知，斜边长等于数轴上点A到表示-1的点的距离，且点A在-1的右侧，因此点A表示的数$a = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理
2.数轴与实数
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的典型基础题，考查学生运用勾股定理计算线段长度、结合数轴位置确定对应实数的能力，解题时要注意线段的起始点位置，避免直接将斜边长度当作a的值。
【难度系数】
0.7
4.将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放:先把$60°$和$45°$角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点,则AB的长是 (
A.$(2-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$
B.$(2\sqrt{3}-2)\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B
)A.$(2-\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$
B.$(2\sqrt{3}-2)\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先明确直尺的宽度就是重合顶点到直尺上沿的垂直距离，为2cm。我们可以通过作垂线构造两个特殊直角三角形：①先构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形两直角边相等的性质求出较短的水平线段长度；②再构造含30°角的直角三角形，利用“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质得到斜边长度，再用勾股定理求出较长的水平线段长度；③AB的长度就是两条水平线段的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
设两个三角板重合的锐角顶点为O，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由直尺宽度为2cm可得OC=2cm。
1. 对于45°角的三角板，其斜边与AB交于A点，在Rt△OCA中，∠OAC=45°，因此△OCA是等腰直角三角形，可得AC=OC=2cm。
2. 对于60°角的三角板，其斜边与AB交于B点，在Rt△OCB中，∠OBC=30°，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边OB=2OC=4cm。
3. 根据勾股定理，$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$AB=BC-AC=(2\sqrt{3}-2)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊直角三角形的性质，勾股定理，垂线的性质
【点评】
本题结合三角板和直尺的摆放考查几何计算，解题的关键是将实际摆放的图形转化为熟悉的特殊直角三角形模型，结合特殊角的性质和勾股定理求解，是几何应用类的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确直尺的宽度就是重合顶点到直尺上沿的垂直距离，为2cm。我们可以通过作垂线构造两个特殊直角三角形：①先构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形两直角边相等的性质求出较短的水平线段长度；②再构造含30°角的直角三角形，利用“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质得到斜边长度，再用勾股定理求出较长的水平线段长度；③AB的长度就是两条水平线段的长度差，代入数值计算即可。
【解析】
设两个三角板重合的锐角顶点为O，过点O作OC⊥AB，垂足为C，由直尺宽度为2cm可得OC=2cm。
1. 对于45°角的三角板，其斜边与AB交于A点，在Rt△OCA中，∠OAC=45°，因此△OCA是等腰直角三角形，可得AC=OC=2cm。
2. 对于60°角的三角板，其斜边与AB交于B点，在Rt△OCB中，∠OBC=30°，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边OB=2OC=4cm。
3. 根据勾股定理，$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$AB=BC-AC=(2\sqrt{3}-2)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
特殊直角三角形的性质，勾股定理，垂线的性质
【点评】
本题结合三角板和直尺的摆放考查几何计算，解题的关键是将实际摆放的图形转化为熟悉的特殊直角三角形模型，结合特殊角的性质和勾股定理求解，是几何应用类的典型题型。
【难度系数】
0.6
5.如图,在四边形 ABCD 中,$AD // BC$,$∠ D = 90°$,$AD = 4$,$BC = 3$.分别以点 A,C 为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$长为半径作弧,两弧交于点 E,作射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O.若点 O 是 AC 的中点,则 CD 的长为
(
A.$2\sqrt{2}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{10}$
(
A
)A.$2\sqrt{2}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{10}$
答案
5.A
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断BE是AC的垂直平分线，结合O是AC中点，可利用垂直平分线的性质得到线段等量关系。再利用AD//BC得到内错角相等，证明△AOF和△COB全等，求出AF的长度，进而得到FD的长度，再结合垂直平分线性质得到CF的长度，最后在Rt△CDF中用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，BE是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得：$AF=CF$。
2. $\because AD// BC$，$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$（两直线平行，内错角相等）。
3. 在$△ AOF$和$△ COB$中：
$\begin{cases} ∠ OAF=∠ OCB \\ AO=CO \\ ∠ AOF=∠ COB（对顶角相等） \end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COB（ASA）$。
4. $\therefore AF=BC=3$，则$FD=AD-AF=4-3=1$。
5. 由垂直平分线性质得$CF=AF=3$，又$\because ∠ D=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，根据勾股定理：
$CD^2 + FD^2 = CF^2$，代入数值得$CD^2 +1^2=3^2$，
解得$CD^2=8$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】A
【知识点】
垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、全等三角形的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是先识别出BE是AC的垂直平分线，再通过全等三角形转化线段长度，最后结合勾股定理计算未知线段。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的特征判断BE是AC的垂直平分线，结合O是AC中点，可利用垂直平分线的性质得到线段等量关系。再利用AD//BC得到内错角相等，证明△AOF和△COB全等，求出AF的长度，进而得到FD的长度，再结合垂直平分线性质得到CF的长度，最后在Rt△CDF中用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，BE是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得：$AF=CF$。
2. $\because AD// BC$，$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$（两直线平行，内错角相等）。
3. 在$△ AOF$和$△ COB$中：
$\begin{cases} ∠ OAF=∠ OCB \\ AO=CO \\ ∠ AOF=∠ COB（对顶角相等） \end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ COB（ASA）$。
4. $\therefore AF=BC=3$，则$FD=AD-AF=4-3=1$。
5. 由垂直平分线性质得$CF=AF=3$，又$\because ∠ D=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，根据勾股定理：
$CD^2 + FD^2 = CF^2$，代入数值得$CD^2 +1^2=3^2$，
解得$CD^2=8$，$\therefore CD=2\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】A
【知识点】
垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图识别、全等三角形的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是先识别出BE是AC的垂直平分线，再通过全等三角形转化线段长度，最后结合勾股定理计算未知线段。
【难度系数】
0.7
6.如图是“赵爽弦图”，$△ ABH$，$△ BCG$，$△ CDF$和$△ DAE$是四个全等的直角三角形，四边形$ABCD$和$EFGH$都是正方形，如果$EF=4$，$AH=12$，那么$AB$等于（
A.$30$
B.$25$
C.$20$
D.$15$
C
）A.$30$
B.$25$
C.$20$
D.$15$
答案
6.C
解析
【分析】
本题是赵爽弦图的计算问题，解题思路如下：首先利用全等三角形的对应边相等，得到已知边AH的对应边长度；再结合正方形EFGH的边长，求出直角三角形ABH的另一条直角边BH的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABH、△BCG、△CDF、△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH=BG=12，
∵四边形EFGH是正方形，EF=4，
∴正方形的边长GH=EF=4，
∴Rt△ABH的直角边BH=BG+GH=12+4=16，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为载体，是勾股定理应用的典型题型，解题核心是理清弦图中各线段的数量关系，结合几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是赵爽弦图的计算问题，解题思路如下：首先利用全等三角形的对应边相等，得到已知边AH的对应边长度；再结合正方形EFGH的边长，求出直角三角形ABH的另一条直角边BH的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理计算斜边AB的长度即可。
【解析】
解：
∵△ABH、△BCG、△CDF、△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH=BG=12，
∵四边形EFGH是正方形，EF=4，
∴正方形的边长GH=EF=4，
∴Rt△ABH的直角边BH=BG+GH=12+4=16，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为载体，是勾股定理应用的典型题型，解题核心是理清弦图中各线段的数量关系，结合几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
