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①在下列实数中，属于无理数的是 （
A.0
B.$\frac{22}{7}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\frac{π}{2}$
D
）A.0
B.$\frac{22}{7}$
C.$\sqrt{9}$
D.$\frac{π}{2}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个数是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。解题时我们逐个判断每个选项的类别，排除有理数即可得到答案，另外要注意带根号的数要先化简再判断，不要看到根号就默认是无理数。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 0是整数，整数属于有理数，不符合要求；
B. $\frac{22}{7}$是分数，分数属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求；
D. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的分类 3. 算术平方根化简
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对无理数概念的辨析，解题时要注意：所有分数都属于有理数，带根号的数需先化简再判断类型，π是常见的无理数，不含特殊运算的含π的数一般都是无理数。
【难度系数】
0.85
要判断哪个数是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。解题时我们逐个判断每个选项的类别，排除有理数即可得到答案，另外要注意带根号的数要先化简再判断，不要看到根号就默认是无理数。
【解析】
对每个选项逐一分析：
A. 0是整数，整数属于有理数，不符合要求；
B. $\frac{22}{7}$是分数，分数属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求；
D. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 有理数的分类 3. 算术平方根化简
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对无理数概念的辨析，解题时要注意：所有分数都属于有理数，带根号的数需先化简再判断类型，π是常见的无理数，不含特殊运算的含π的数一般都是无理数。
【难度系数】
0.85
②已知$a=\sqrt{5},b=2,c=\sqrt{3}$，则a、b、c的大小关系是 （
A.$b＞a＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
C
）A.$b＞a＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$b＞c＞a$
答案
2.C
解析
【分析】
要比较几个正数的大小，当数中含有算术平方根时，我们可以利用“正数越大，它的平方也越大”的性质，把三个数分别平方，转化为比较整数的大小，不需要计算根号的近似值就能快速得出结果。具体思路是：先分别计算a、b、c的平方，再比较平方结果的大小，最后对应还原出原数的大小关系即可。
【解析】
已知a、b、c都是正数，正数的平方越大，对应的原数越大。
分别计算三个数的平方：
$a^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$b^2=2^2=4$，
$c^2=(\sqrt{3})^2=3$。
因为$5＞4＞3$，所以对应的原数大小关系为$\sqrt{5}＞2＞\sqrt{3}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是比较含根号正数大小的基础题型，采用平方转化法可以将带根号的数转化为整数比较，运算量小、准确率高，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.85
要比较几个正数的大小，当数中含有算术平方根时，我们可以利用“正数越大，它的平方也越大”的性质，把三个数分别平方，转化为比较整数的大小，不需要计算根号的近似值就能快速得出结果。具体思路是：先分别计算a、b、c的平方，再比较平方结果的大小，最后对应还原出原数的大小关系即可。
【解析】
已知a、b、c都是正数，正数的平方越大，对应的原数越大。
分别计算三个数的平方：
$a^2=(\sqrt{5})^2=5$，
$b^2=2^2=4$，
$c^2=(\sqrt{3})^2=3$。
因为$5＞4＞3$，所以对应的原数大小关系为$\sqrt{5}＞2＞\sqrt{3}$，即$a＞b＞c$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题是比较含根号正数大小的基础题型，采用平方转化法可以将带根号的数转化为整数比较，运算量小、准确率高，是这类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.85
③[2024·四川眉山中考]下列四个数中，无理数是（
A.－3.14
B.－2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{2}$
D
）A.－3.14
B.－2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。接下来我们只需要逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数选项，就能选出正确的无理数选项。
【解析】
我们先明确相关概念：
1. 有理数包含整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都属于有理数；
2. 无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。
逐个分析选项：
选项A：-3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项B：-2是整数，属于有理数；
选项C：$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
选项D：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。接下来我们只需要逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数选项，就能选出正确的无理数选项。
【解析】
我们先明确相关概念：
1. 有理数包含整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都属于有理数；
2. 无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。
逐个分析选项：
选项A：-3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项B：-2是整数，属于有理数；
选项C：$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
选项D：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
④下列无理数中，大小在3与4之间的是（
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
C
）A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断哪个无理数在3和4之间，可利用平方运算将整数转化为带根号的形式，再通过比较被开方数的大小判断无理数的范围。具体思路：先算出3和4对应的算术平方根，即3=√9，4=√16，因此只需找到被开方数在9和16之间的二次根式即可，也可以将各选项的数分别平方，和9、16比较大小，平方结果在9到16之间的就符合要求。
【解析】
先把3和4转化为算术平方根的形式：
∵ $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$，$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$
∴ 符合要求的无理数$x$需要满足：$\sqrt{9} ＜ x ＜ \sqrt{16}$，即$9 ＜ x^2 ＜ 16$
逐个分析选项：
A. $\sqrt{7}$：被开方数$7 ＜ 9$，
∴ $\sqrt{7} ＜ \sqrt{9} = 3$，不符合要求；
B. $2\sqrt{2}$：计算平方得$(2\sqrt{2})^2 = 4×2 = 8 ＜9$，
∴ $2\sqrt{2} ＜ 3$，不符合要求；
C. $\sqrt{13}$：被开方数13满足$9 ＜13 ＜16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜4$，符合要求；
D. $\sqrt{17}$：被开方数$17＞16$，
∴ $\sqrt{17}＞\sqrt{16}=4$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算；实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题考查对无理数大小的估算能力，利用平方法将带根号的数和整数转化为同形式比较大小，是解决这类问题的常用方法，掌握平方和开平方的互逆关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个无理数在3和4之间，可利用平方运算将整数转化为带根号的形式，再通过比较被开方数的大小判断无理数的范围。具体思路：先算出3和4对应的算术平方根，即3=√9，4=√16，因此只需找到被开方数在9和16之间的二次根式即可，也可以将各选项的数分别平方，和9、16比较大小，平方结果在9到16之间的就符合要求。
【解析】
先把3和4转化为算术平方根的形式：
∵ $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$，$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$
∴ 符合要求的无理数$x$需要满足：$\sqrt{9} ＜ x ＜ \sqrt{16}$，即$9 ＜ x^2 ＜ 16$
逐个分析选项：
A. $\sqrt{7}$：被开方数$7 ＜ 9$，
∴ $\sqrt{7} ＜ \sqrt{9} = 3$，不符合要求；
B. $2\sqrt{2}$：计算平方得$(2\sqrt{2})^2 = 4×2 = 8 ＜9$，
∴ $2\sqrt{2} ＜ 3$，不符合要求；
C. $\sqrt{13}$：被开方数13满足$9 ＜13 ＜16$，
∴ $\sqrt{9} ＜ \sqrt{13} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{13} ＜4$，符合要求；
D. $\sqrt{17}$：被开方数$17＞16$，
∴ $\sqrt{17}＞\sqrt{16}=4$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算；实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题考查对无理数大小的估算能力，利用平方法将带根号的数和整数转化为同形式比较大小，是解决这类问题的常用方法，掌握平方和开平方的互逆关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
⑤$\sqrt{3}-2$的相反数是
$2-\sqrt{3}$
。答案
5.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意数a的相反数都可以表示为-a。要求$\sqrt{3}-2$的相反数，只需先给$\sqrt{3}-2$整体添加负号，再按照去括号法则化简式子即可得到结果，注意去括号时如果括号外是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
根据相反数的定义，一个数的相反数是在这个数前面加上负号，因此$\sqrt{3}-2$的相反数为：
$-(\sqrt{3}-2)$
根据去括号法则，括号前是负号，去掉括号后括号内各项都变号，可得：
$-\sqrt{3}+2=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 去括号法则
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考察对相反数定义的掌握，解题时要注意去括号的符号变化，避免因粗心写错符号丢分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，任意数a的相反数都可以表示为-a。要求$\sqrt{3}-2$的相反数，只需先给$\sqrt{3}-2$整体添加负号，再按照去括号法则化简式子即可得到结果，注意去括号时如果括号外是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
根据相反数的定义，一个数的相反数是在这个数前面加上负号，因此$\sqrt{3}-2$的相反数为：
$-(\sqrt{3}-2)$
根据去括号法则，括号前是负号，去掉括号后括号内各项都变号，可得：
$-\sqrt{3}+2=2-\sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 相反数的定义
2. 去括号法则
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考察对相反数定义的掌握，解题时要注意去括号的符号变化，避免因粗心写错符号丢分。
【难度系数】
0.9
⑥已知某正数的两个平方根分别是$a+3$和$2a-15$，$b$的立方根是$-2$，则$3a+b$的算术平方根是
2
。答案
6.2
解析
【分析】
解题时首先利用平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于a的方程求出a的值；再根据立方根的定义，由b的立方根是-2求出b的值；接着代入计算3a+b的结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ $a + 3 + 2a - 15 = 0$
合并同类项得：$3a - 12 = 0$
解得：$a = 4$
∵ $b$的立方根是$-2$
∴ $b = (-2)^3 = -8$
将a=4、b=-8代入得：
$3a + b = 3×4 + (-8) = 12 - 8 = 4$
∵ 4的算术平方根是2
∴ $3a + b$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平方根、立方根和算术平方根的相关性质，只要熟练掌握各类根式的基本定义和性质，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于a的方程求出a的值；再根据立方根的定义，由b的立方根是-2求出b的值；接着代入计算3a+b的结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ $a + 3 + 2a - 15 = 0$
合并同类项得：$3a - 12 = 0$
解得：$a = 4$
∵ $b$的立方根是$-2$
∴ $b = (-2)^3 = -8$
将a=4、b=-8代入得：
$3a + b = 3×4 + (-8) = 12 - 8 = 4$
∵ 4的算术平方根是2
∴ $3a + b$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平方根、立方根和算术平方根的相关性质，只要熟练掌握各类根式的基本定义和性质，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
⑦有一个数值转换器，原理如图.当输入的$x=16$时，输出的$y=$
$\sqrt{2}$
. 答案
7.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的输入值再次计算算术平方根；若结果是无理数，就直接输出该结果。我们只需要按照这个规则对x=16逐步迭代计算，直到得到无理数就是最终的y值。
【解析】
第一步：输入x=16，计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，需重新输入；
第二步：输入x=4，计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，需再次重新输入；
第三步：输入x=2，计算算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根计算，无理数的判定，流程图运算
【点评】
本题属于基础的程序运算类题型，核心考查对算术平方根计算方法和无理数概念的掌握，解题时需严格遵循流程图的规则反复运算，不可在得到有理数时提前终止计算。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算它的算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的输入值再次计算算术平方根；若结果是无理数，就直接输出该结果。我们只需要按照这个规则对x=16逐步迭代计算，直到得到无理数就是最终的y值。
【解析】
第一步：输入x=16，计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，需重新输入；
第二步：输入x=4，计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，需再次重新输入；
第三步：输入x=2，计算算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根计算，无理数的判定，流程图运算
【点评】
本题属于基础的程序运算类题型，核心考查对算术平方根计算方法和无理数概念的掌握，解题时需严格遵循流程图的规则反复运算，不可在得到有理数时提前终止计算。
【难度系数】
0.7
三、耐心做一做。
⑧计算：
(1)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{(-3)^2} - |1 - \sqrt{2}|$；
(2)$-\sqrt{16} + |3 - \sqrt{3}| - \sqrt[3]{-8} + 2\sqrt{3}$。
⑧计算：
(1)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{(-3)^2} - |1 - \sqrt{2}|$；
(2)$-\sqrt{16} + |3 - \sqrt{3}| - \sqrt[3]{-8} + 2\sqrt{3}$。
答案
8.(1)$-\sqrt{2}$；(2)$1+\sqrt{3}$
解析
【分析】
这两道题属于实数的混合运算，解题思路如下：第一步先分别化简每个运算项，包括立方根、算术平方根、绝对值三类：①化简立方根时，根据立方根性质，找到立方等于被开方数的数即可；②化简算术平方根时，先计算根号内的平方，再求非负的算术平方根；③化简绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第二步将化简后的项代入原式，去括号后合并常数项和同类二次根式即可，注意去括号时符号不要出错。
【解析】
(1) 先逐项化简：
∵$2^3=8$，
∴$\sqrt[3]{8}=2$；
∵$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}=3$，
∴$\sqrt{(-3)^2}=3$；
∵$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，即$1-\sqrt{2}＜0$，
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 - 3 - (\sqrt{2}-1)\\&=2-3-\sqrt{2}+1\\&=(2-3+1)-\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先逐项化简：
∵$\sqrt{16}=4$，
∴$-\sqrt{16}=-4$；
∵$\sqrt{3}\approx1.732＜3$，即$3-\sqrt{3}＞0$，
∴$|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$；
∵$(-2)^3=-8$，
∴$\sqrt[3]{-8}=-2$，即$-\sqrt[3]{-8}=2$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4 + (3-\sqrt{3}) - (-2) + 2\sqrt{3}\\&=-4+3-\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}\\&=(-4+3+2)+(-\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\&=1+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\sqrt{2}$；(2)$1+\sqrt{3}$
【知识点】
立方根的化简，算术平方根的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题核心是先准确化简各类运算项，再按整式加减的规则合并计算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这两道题属于实数的混合运算，解题思路如下：第一步先分别化简每个运算项，包括立方根、算术平方根、绝对值三类：①化简立方根时，根据立方根性质，找到立方等于被开方数的数即可；②化简算术平方根时，先计算根号内的平方，再求非负的算术平方根；③化简绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第二步将化简后的项代入原式，去括号后合并常数项和同类二次根式即可，注意去括号时符号不要出错。
【解析】
(1) 先逐项化简：
∵$2^3=8$，
∴$\sqrt[3]{8}=2$；
∵$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}=3$，
∴$\sqrt{(-3)^2}=3$；
∵$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，即$1-\sqrt{2}＜0$，
∴$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 - 3 - (\sqrt{2}-1)\\&=2-3-\sqrt{2}+1\\&=(2-3+1)-\sqrt{2}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先逐项化简：
∵$\sqrt{16}=4$，
∴$-\sqrt{16}=-4$；
∵$\sqrt{3}\approx1.732＜3$，即$3-\sqrt{3}＞0$，
∴$|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$；
∵$(-2)^3=-8$，
∴$\sqrt[3]{-8}=-2$，即$-\sqrt[3]{-8}=2$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4 + (3-\sqrt{3}) - (-2) + 2\sqrt{3}\\&=-4+3-\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}\\&=(-4+3+2)+(-\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\&=1+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\sqrt{2}$；(2)$1+\sqrt{3}$
【知识点】
立方根的化简，算术平方根的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题核心是先准确化简各类运算项，再按整式加减的规则合并计算，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
