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9 把下列各数填入相应的括号内.
$-\sqrt[3]{9}, \frac{1}{3}, 3.\dot{6}, \frac{4}{9}, 0.8080080008···, \sqrt{2}, \sqrt[3]{-8}, -\frac{5}{2}, \sqrt{36}, \sqrt[3]{25}, \sqrt{4}-1, \frac{π}{2}.$
整数集合$\{ ··· \}$
负分数集合$\{ ··· \}$
正实数集合$\{ ··· \}$
负实数集合$\{ ··· \}$
有理数集合$\{ ··· \}$
无理数集合$\{ ··· \}$
$-\sqrt[3]{9}, \frac{1}{3}, 3.\dot{6}, \frac{4}{9}, 0.8080080008···, \sqrt{2}, \sqrt[3]{-8}, -\frac{5}{2}, \sqrt{36}, \sqrt[3]{25}, \sqrt{4}-1, \frac{π}{2}.$
整数集合$\{ ··· \}$
负分数集合$\{ ··· \}$
正实数集合$\{ ··· \}$
负实数集合$\{ ··· \}$
有理数集合$\{ ··· \}$
无理数集合$\{ ··· \}$
答案
解：
先化简可化简的数：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{4}-1=1$
整数集合$\{ \sqrt[3]{-8},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
负分数集合$\{ -\frac{5}{2} \dots \}$
正实数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt{36},\sqrt[3]{25},\sqrt{4}-1,\frac{π}{2} \dots \}$
负实数集合$\{ -\sqrt[3]{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2} \dots \}$
有理数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
无理数集合$\{ -\sqrt[3]{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt[3]{25},\frac{π}{2} \dots \}$
先化简可化简的数：$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{4}-1=1$
整数集合$\{ \sqrt[3]{-8},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
负分数集合$\{ -\frac{5}{2} \dots \}$
正实数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt{36},\sqrt[3]{25},\sqrt{4}-1,\frac{π}{2} \dots \}$
负实数集合$\{ -\sqrt[3]{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2} \dots \}$
有理数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
无理数集合$\{ -\sqrt[3]{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt[3]{25},\frac{π}{2} \dots \}$
解析
【分析】
解题时首先要先把题目中可以化简的带根号、立方根的数先计算出结果，再结合各类数的定义逐一判断归类：①整数包括正整数、0、负整数；②负分数是小于0的分数（含负的有限小数、无限循环小数）；③正实数是所有大于0的实数；④负实数是所有小于0的实数；⑤有理数是整数和分数的统称，表现为有限小数或无限循环小数；⑥无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数，按这个思路逐个对应分类即可。
【解析】
第一步：先化简可化简的数：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{4}-1=2-1=1$
第二步：按各类数的定义分类：
整数是正整数、0、负整数的统称，因此填入对应整数；
负分数是小于0的分数，因此筛选出符合要求的数；
正实数是大于0的实数，筛选出所有大于0的数；
负实数是小于0的实数，筛选出所有小于0的数；
有理数是整数和分数的统称，筛选出整数、分数类的数；
无理数是无限不循环小数，筛选出符合要求的无限不循环小数。
【答案】
整数集合$\{ \sqrt[3]{-8},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
负分数集合$\{ -\frac{5}{2} \dots \}$
正实数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt{36},\sqrt[3]{25},\sqrt{4}-1,\frac{π}{2} \dots \}$
负实数集合$\{ -\sqrt[3]{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2} \dots \}$
有理数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
无理数集合$\{ -\sqrt[3]{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt[3]{25},\frac{π}{2} \dots \}$
【知识点】
实数的分类，根式化简，有理数与无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是先对可化简的根式进行运算，再严格按照各类数的定义进行归类，易错点是容易误将开方开不尽的数、无限不循环小数判定为有理数，分类时要注意逐一排查，避免漏项或错放。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先把题目中可以化简的带根号、立方根的数先计算出结果，再结合各类数的定义逐一判断归类：①整数包括正整数、0、负整数；②负分数是小于0的分数（含负的有限小数、无限循环小数）；③正实数是所有大于0的实数；④负实数是所有小于0的实数；⑤有理数是整数和分数的统称，表现为有限小数或无限循环小数；⑥无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数，按这个思路逐个对应分类即可。
【解析】
第一步：先化简可化简的数：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{36}=6$，$\sqrt{4}-1=2-1=1$
第二步：按各类数的定义分类：
整数是正整数、0、负整数的统称，因此填入对应整数；
负分数是小于0的分数，因此筛选出符合要求的数；
正实数是大于0的实数，筛选出所有大于0的数；
负实数是小于0的实数，筛选出所有小于0的数；
有理数是整数和分数的统称，筛选出整数、分数类的数；
无理数是无限不循环小数，筛选出符合要求的无限不循环小数。
【答案】
整数集合$\{ \sqrt[3]{-8},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
负分数集合$\{ -\frac{5}{2} \dots \}$
正实数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt{36},\sqrt[3]{25},\sqrt{4}-1,\frac{π}{2} \dots \}$
负实数集合$\{ -\sqrt[3]{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2} \dots \}$
有理数集合$\{ \frac{1}{3},3.\dot{6},\frac{4}{9},\sqrt[3]{-8},-\frac{5}{2},\sqrt{36},\sqrt{4}-1 \dots \}$
无理数集合$\{ -\sqrt[3]{9},0.8080080008···,\sqrt{2},\sqrt[3]{25},\frac{π}{2} \dots \}$
【知识点】
实数的分类，根式化简，有理数与无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的核心是先对可化简的根式进行运算，再严格按照各类数的定义进行归类，易错点是容易误将开方开不尽的数、无限不循环小数判定为有理数，分类时要注意逐一排查，避免漏项或错放。
【难度系数】
0.8
⑩[2025·湖北恩施期中]如图，小华用两个面积为200 cm²的小正方形拼成了一个大的正方形.
(1)则大正方形的边长为
(2)现要在大正方形内部剪一个长方形纸片，要求长方形纸片的长宽之比为4：3，面积为360 cm²，请问能否剪出符合要求的长方形纸片呢？
(1)则大正方形的边长为
20
cm.(2)现要在大正方形内部剪一个长方形纸片，要求长方形纸片的长宽之比为4：3，面积为360 cm²，请问能否剪出符合要求的长方形纸片呢？
答案
10.(1)20；
(2)不能剪出符合要求的长方形纸片.
(2)不能剪出符合要求的长方形纸片.
解析
【分析】
（1）求大正方形的边长时，先计算大正方形的总面积：大正方形由两个面积为200cm²的小正方形拼接而成，总面积等于两个小正方形面积之和，再根据正方形边长是其面积的算术平方根，即可算出边长。
（2）判断能否剪出符合要求的长方形时，先根据长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长方形的长，再将长和大正方形的边长作比较：如果长小于等于大正方形边长就可以剪出，反之则不能。
【解析】
（1）大正方形的面积为两个小正方形面积之和：$200×2=400(\mathrm{cm}^2)$，
根据正方形边长和面积的关系，大正方形的边长为$\sqrt{400}=20(\mathrm{cm})$。
（2）设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），
由长方形面积公式可得：$4x·3x=360$，
整理得$12x^2=360$，即$x^2=30$，
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{30}$，
则长方形的长为$4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，
比较$4\sqrt{30}$和20的大小：$(4\sqrt{30})^2=16×30=480$，$20^2=400$，
因为$480＞400$，所以$4\sqrt{30}＞20$，即长方形的长大于大正方形的边长，
因此无法剪出符合要求的长方形纸片。
【答案】
(1)$20$；(2)不能剪出符合要求的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根应用；正方形面积计算；长方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接、裁剪场景考查平方根的实际应用，解题关键是先求出大正方形边长，再通过设参数计算长方形的长，通过长度比较判断裁剪可行性，计算时注意边长为正数，需取算术平方根。
【难度系数】
0.7
（1）求大正方形的边长时，先计算大正方形的总面积：大正方形由两个面积为200cm²的小正方形拼接而成，总面积等于两个小正方形面积之和，再根据正方形边长是其面积的算术平方根，即可算出边长。
（2）判断能否剪出符合要求的长方形时，先根据长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长方形的长，再将长和大正方形的边长作比较：如果长小于等于大正方形边长就可以剪出，反之则不能。
【解析】
（1）大正方形的面积为两个小正方形面积之和：$200×2=400(\mathrm{cm}^2)$，
根据正方形边长和面积的关系，大正方形的边长为$\sqrt{400}=20(\mathrm{cm})$。
（2）设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），
由长方形面积公式可得：$4x·3x=360$，
整理得$12x^2=360$，即$x^2=30$，
因为长度为正数，所以$x=\sqrt{30}$，
则长方形的长为$4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，
比较$4\sqrt{30}$和20的大小：$(4\sqrt{30})^2=16×30=480$，$20^2=400$，
因为$480＞400$，所以$4\sqrt{30}＞20$，即长方形的长大于大正方形的边长，
因此无法剪出符合要求的长方形纸片。
【答案】
(1)$20$；(2)不能剪出符合要求的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根应用；正方形面积计算；长方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接、裁剪场景考查平方根的实际应用，解题关键是先求出大正方形边长，再通过设参数计算长方形的长，通过长度比较判断裁剪可行性，计算时注意边长为正数，需取算术平方根。
【难度系数】
0.7
