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8（2025扬州邗江期中）在$△ ABC$中，若$AB＞AC＞BC$，且$∠ C=87°$，则$△ ABC$一定是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先利用三角形“大边对大角”的性质，结合题干给出的三边大小关系，确定三个内角的大小排序，找到最大内角；再根据已知最大内角的度数判断三角形的类型，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
根据三角形“大边对大角”的性质：在同一个三角形中，边长越长，所对的内角越大。
在△ABC中，边AB对的内角是∠C，边AC对的内角是∠B，边BC对的内角是∠A。
∵AB＞AC＞BC，
∴∠C＞∠B＞∠A，即∠C是△ABC的最大内角。
已知∠C=87°＜90°，属于锐角，因此△ABC的三个内角都小于90°，均为锐角，故△ABC是锐角三角形。
排除其他选项：
B. 直角三角形需有一个内角为90°，最大角仅87°，不符合；
C. 钝角三角形需有一个内角大于90°，不符合；
D. 等腰三角形需至少有两条边长度相等，题干给出三边长度不等，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形大边对大角，三角形的分类
【点评】
本题解题的核心是通过边的大小关系快速锁定最大内角，再根据最大内角的类型判断三角形的形状，同时要注意结合选项特征排除错误答案，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用三角形“大边对大角”的性质，结合题干给出的三边大小关系，确定三个内角的大小排序，找到最大内角；再根据已知最大内角的度数判断三角形的类型，同时逐一排除错误选项即可。
【解析】
根据三角形“大边对大角”的性质：在同一个三角形中，边长越长，所对的内角越大。
在△ABC中，边AB对的内角是∠C，边AC对的内角是∠B，边BC对的内角是∠A。
∵AB＞AC＞BC，
∴∠C＞∠B＞∠A，即∠C是△ABC的最大内角。
已知∠C=87°＜90°，属于锐角，因此△ABC的三个内角都小于90°，均为锐角，故△ABC是锐角三角形。
排除其他选项：
B. 直角三角形需有一个内角为90°，最大角仅87°，不符合；
C. 钝角三角形需有一个内角大于90°，不符合；
D. 等腰三角形需至少有两条边长度相等，题干给出三边长度不等，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形大边对大角，三角形的分类
【点评】
本题解题的核心是通过边的大小关系快速锁定最大内角，再根据最大内角的类型判断三角形的形状，同时要注意结合选项特征排除错误答案，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85
9 新素养 应用意识 (2025南京鼓楼月考)如图，将四根长度分别为3 cm,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是 (
A.1 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.12 cm
C
)A.1 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.12 cm
答案
9. C
解析
【分析】
四边形具有不稳定性，扭动过程中连接BD，可将BD看作△ABD和△BCD的公共边，我们只需要分别根据两个三角形的已知边长，利用三角形三边关系求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项找到符合区间的数值即可。
【解析】
解：扭动四边形时连接BD，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”分析：
1. 在△ABD中，AB=7cm，AD=5cm，可得：
$7-5 ＜ BD ＜ 7+5$，即$2\mathrm{cm} ＜ BD ＜12\mathrm{cm}$；
2. 在△BCD中，BC=8cm，CD=3cm，可得：
$8-3 ＜ BD ＜ 8+3$，即$5\mathrm{cm} ＜ BD ＜11\mathrm{cm}$；
BD需同时满足两个三角形的三边要求，因此取两个区间的交集，可得BD的取值范围为$5\mathrm{cm} ＜ BD ＜11\mathrm{cm}$。
观察选项，只有9cm符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，四边形的不稳定性
【点评】
本题的易错点是只计算单个三角形中BD的取值范围就直接判断选项，解题时要注意BD是两个三角形的公共边，需同时满足两个三角形的边长限制。
【难度系数】
0.7
四边形具有不稳定性，扭动过程中连接BD，可将BD看作△ABD和△BCD的公共边，我们只需要分别根据两个三角形的已知边长，利用三角形三边关系求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最后对比选项找到符合区间的数值即可。
【解析】
解：扭动四边形时连接BD，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”分析：
1. 在△ABD中，AB=7cm，AD=5cm，可得：
$7-5 ＜ BD ＜ 7+5$，即$2\mathrm{cm} ＜ BD ＜12\mathrm{cm}$；
2. 在△BCD中，BC=8cm，CD=3cm，可得：
$8-3 ＜ BD ＜ 8+3$，即$5\mathrm{cm} ＜ BD ＜11\mathrm{cm}$；
BD需同时满足两个三角形的三边要求，因此取两个区间的交集，可得BD的取值范围为$5\mathrm{cm} ＜ BD ＜11\mathrm{cm}$。
观察选项，只有9cm符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，四边形的不稳定性
【点评】
本题的易错点是只计算单个三角形中BD的取值范围就直接判断选项，解题时要注意BD是两个三角形的公共边，需同时满足两个三角形的边长限制。
【难度系数】
0.7
10 易错题（2025无锡锡山月考）已知△ABC的三边长分别为a,b,c，则化简|b−c−a|−|a+b−c|的值是
$2c-2b$
。答案
10. $2c-2b$
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号。本题可通过三角形三边关系判断式子正负：三角形任意两边之和大于第三边，据此推导两个绝对值内式子的正负后，去绝对值、合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+c＞b$，$a+b＞c$
因此$b-(a+c)＜0$，$a+b-c＞0$，即$b-c-a＜0$，$a+b-c＞0$。
根据绝对值的性质：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|a+b-c|=a+b-c$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-b+c+a)-(a+b-c)\\&=-b+c+a-a-b+c\\&=2c-2b\end{aligned}$
【答案】
$2c-2b$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值化简、整式加减
【点评】
本题属于基础易错题，解题核心是结合三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，易错点为去绝对值、去括号时符号处理错误，计算时要格外注意符号变化。
【难度系数】
0.6
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值符号。本题可通过三角形三边关系判断式子正负：三角形任意两边之和大于第三边，据此推导两个绝对值内式子的正负后，去绝对值、合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+c＞b$，$a+b＞c$
因此$b-(a+c)＜0$，$a+b-c＞0$，即$b-c-a＜0$，$a+b-c＞0$。
根据绝对值的性质：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|a+b-c|=a+b-c$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-b+c+a)-(a+b-c)\\&=-b+c+a-a-b+c\\&=2c-2b\end{aligned}$
【答案】
$2c-2b$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值化简、整式加减
【点评】
本题属于基础易错题，解题核心是结合三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，易错点为去绝对值、去括号时符号处理错误，计算时要格外注意符号变化。
【难度系数】
0.6
11 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$a,b$满足$|3-b|+a^2 -12a +36=0$，$c$为奇数，则$c$的值为________.
答案
11. 5或7
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先对已知等式变形，观察到等式包含绝对值和可化为完全平方的二次式，二者都是非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，即可求出a、b的值；第二步，根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定c的取值范围；第三步，结合c是奇数的限制条件，在范围内筛选出符合要求的c的值。
【解析】
首先对已知等式变形：
$\vert 3-b\vert + a^2 -12a +36 = \vert 3-b\vert + (a-6)^2 = 0$
∵ 绝对值和完全平方数均为非负数，即$\vert 3-b\vert≥0$，$(a-6)^2≥0$
两个非负数的和为0，则每一项都为0，可得：
$\begin{cases}3 - b = 0 \\ a - 6 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 6 \\ b = 3\end{cases}$
根据三角形三边关系：
$a - b ＜ c ＜ a + b$
代入a、b的值得：$6 - 3 ＜ c ＜ 6 + 3$，即$3 ＜ c ＜ 9$
又
∵ c为奇数，
∴ c的取值为5或7。
【答案】
5或7
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出两条已知边的长度，再结合三角形三边关系和题干限制条件确定第三边的取值，需要注意第三边的范围要同时满足大于两边之差、小于两边之和。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，先对已知等式变形，观察到等式包含绝对值和可化为完全平方的二次式，二者都是非负数，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，即可求出a、b的值；第二步，根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定c的取值范围；第三步，结合c是奇数的限制条件，在范围内筛选出符合要求的c的值。
【解析】
首先对已知等式变形：
$\vert 3-b\vert + a^2 -12a +36 = \vert 3-b\vert + (a-6)^2 = 0$
∵ 绝对值和完全平方数均为非负数，即$\vert 3-b\vert≥0$，$(a-6)^2≥0$
两个非负数的和为0，则每一项都为0，可得：
$\begin{cases}3 - b = 0 \\ a - 6 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 6 \\ b = 3\end{cases}$
根据三角形三边关系：
$a - b ＜ c ＜ a + b$
代入a、b的值得：$6 - 3 ＜ c ＜ 6 + 3$，即$3 ＜ c ＜ 9$
又
∵ c为奇数，
∴ c的取值为5或7。
【答案】
5或7
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出两条已知边的长度，再结合三角形三边关系和题干限制条件确定第三边的取值，需要注意第三边的范围要同时满足大于两边之差、小于两边之和。
【难度系数】
0.7
12 新素养 推理能力 为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB,BC,CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为
4(答案不唯一)
m.（写一个即可）答案
12. 4(答案不唯一)
解析
【分析】
本题需要结合三角形三边关系求解，首先明确：围成三角形的三条边分别是长度为3m的CD、长度为8m的BC，以及AB接上新篱笆后的总长度。设新接篱笆长度为x m，那么接完后的这条边总长度为(2+x)m，再根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边列出不等式，求出x的取值范围，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
设接上新篱笆的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则AB接完篱笆后的总长度为$ (2+x) \, \mathrm{m} $。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$ 8-3 ＜ 2+x ＜ 8+3 $
化简不等式：
左边：$ 5 ＜ 2+x $，解得$ x＞3 $
右边：$ 2+x ＜ 11 $，解得$ x＜9 $
因此$ x $的取值范围是$ 3＜x＜9 $，在该范围内任取一个值都符合要求，例如4。
【答案】
4（答案不唯一，大于3且小于9的数均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合实际操作场景考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先确定拼接后三角形的三条边的长度表达式，再利用三边关系求出未知量的取值范围，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
本题需要结合三角形三边关系求解，首先明确：围成三角形的三条边分别是长度为3m的CD、长度为8m的BC，以及AB接上新篱笆后的总长度。设新接篱笆长度为x m，那么接完后的这条边总长度为(2+x)m，再根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边列出不等式，求出x的取值范围，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
设接上新篱笆的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则AB接完篱笆后的总长度为$ (2+x) \, \mathrm{m} $。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$ 8-3 ＜ 2+x ＜ 8+3 $
化简不等式：
左边：$ 5 ＜ 2+x $，解得$ x＞3 $
右边：$ 2+x ＜ 11 $，解得$ x＜9 $
因此$ x $的取值范围是$ 3＜x＜9 $，在该范围内任取一个值都符合要求，例如4。
【答案】
4（答案不唯一，大于3且小于9的数均可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题结合实际操作场景考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先确定拼接后三角形的三条边的长度表达式，再利用三边关系求出未知量的取值范围，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
13 长度分别为5,6,11,16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为
16或17
。答案
13. 16或17
解析
【分析】
解题核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将4根木棒拼接成3条边来围成三角形，因此需先将两根木棒拼接为1条边，剩余两根各为1条边，解题时先不重不漏列举所有两根拼接的可能，得到对应的三边长组合，再逐一用三边关系验证是否能构成三角形，最后统计符合条件的最长边即可。
【解析】
要围成三角形，需将四根木棒中的两根拼接为一条边，剩余两根分别作为另外两条边，共6种拼接情况，逐一验证如下：
1. 拼接5和6，得拼接边长为$5+6=11$，此时三边长为11、11、16：
验证：$11+11=22＞16$，满足三角形三边关系，此时最长边为16；
2. 拼接5和11，得拼接边长为$5+11=16$，此时三边长为6、16、16：
验证：$6+16=22＞16$，满足三角形三边关系，此时最长边为16；
3. 拼接5和16，得拼接边长为$5+16=21$，此时三边长为6、11、21：
验证：$6+11=17＜21$，不满足三边关系，舍去；
4. 拼接6和11，得拼接边长为$6+11=17$，此时三边长为5、16、17：
验证：$5+16=21＞17$，满足三角形三边关系，此时最长边为17；
5. 拼接6和16，得拼接边长为$6+16=22$，此时三边长为5、11、22：
验证：$5+11=16＜22$，不满足三边关系，舍去；
6. 拼接11和16，得拼接边长为$11+16=27$，此时三边长为5、6、27：
验证：$5+6=11＜27$，不满足三边关系，舍去。
综上，符合条件的三角形最长边为16或17。
【答案】
16或17
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题关键是完整列举所有拼接组合，再逐一验证，容易因遗漏拼接情况或验证时计算错误出现漏解、错解。
【难度系数】
0.6
解题核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将4根木棒拼接成3条边来围成三角形，因此需先将两根木棒拼接为1条边，剩余两根各为1条边，解题时先不重不漏列举所有两根拼接的可能，得到对应的三边长组合，再逐一用三边关系验证是否能构成三角形，最后统计符合条件的最长边即可。
【解析】
要围成三角形，需将四根木棒中的两根拼接为一条边，剩余两根分别作为另外两条边，共6种拼接情况，逐一验证如下：
1. 拼接5和6，得拼接边长为$5+6=11$，此时三边长为11、11、16：
验证：$11+11=22＞16$，满足三角形三边关系，此时最长边为16；
2. 拼接5和11，得拼接边长为$5+11=16$，此时三边长为6、16、16：
验证：$6+16=22＞16$，满足三角形三边关系，此时最长边为16；
3. 拼接5和16，得拼接边长为$5+16=21$，此时三边长为6、11、21：
验证：$6+11=17＜21$，不满足三边关系，舍去；
4. 拼接6和11，得拼接边长为$6+11=17$，此时三边长为5、16、17：
验证：$5+16=21＞17$，满足三角形三边关系，此时最长边为17；
5. 拼接6和16，得拼接边长为$6+16=22$，此时三边长为5、11、22：
验证：$5+11=16＜22$，不满足三边关系，舍去；
6. 拼接11和16，得拼接边长为$11+16=27$，此时三边长为5、6、27：
验证：$5+6=11＜27$，不满足三边关系，舍去。
综上，符合条件的三角形最长边为16或17。
【答案】
16或17
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题关键是完整列举所有拼接组合，再逐一验证，容易因遗漏拼接情况或验证时计算错误出现漏解、错解。
【难度系数】
0.6
14（2025盐城东台月考）如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB.求证:AP+BP＜AC+BC. 
答案
14. 证明:如图,延长AP交BC于点D.
在$△ ACD$中,$AC+CD＞AD$.
因为$AD=AP+PD$,
所以$AC+CD＞AP+PD$.
又在$△ BPD$中,$PD+BD＞BP$,
所以$AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP$,
所以$AC+(CD+BD)＞AP+BP$.
因为$CD+BD=BC$,
所以$AC+BC＞AP+BP$,即$AP+BP＜AC+BC$.
解析
【分析】
要证明AP+BP＜AC+BC，现有线段分散在不同图形中，无法直接利用三角形三边关系推导，因此需要构造辅助线将相关线段纳入到三角形中。我们可以延长AP交BC于点D，分别在△ACD和△BPD中应用三角形三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，结合线段和差关系化简，即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图，延长AP交BC于点D。
在$△ ACD$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$AC+CD＞AD$。
$\because AD=AP+PD$，
$\therefore AC+CD＞AP+PD$ ①。
在$△ BPD$中，同理可得$PD+BD＞BP$ ②。
将①和②左右两边分别相加，得：
$AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP$，
两边同时减去PD，可得$AC+(CD+BD)＞AP+BP$。
又$\because CD+BD=BC$，
$\therefore AC+BC＞AP+BP$，即$AP+BP＜AC+BC$。
【答案】
14. 证明:如图,延长AP交BC于点D.
在$△ ACD$中,$AC+CD＞AD$.
因为$AD=AP+PD$,
所以$AC+CD＞AP+PD$.
又在$△ BPD$中,$PD+BD＞BP$,
所以$AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP$,
所以$AC+(CD+BD)＞AP+BP$.
因为$CD+BD=BC$,
所以$AC+BC＞AP+BP$,即$AP+BP＜AC+BC$.
【知识点】
1.三角形三边关系 2.不等式基本性质 3.线段和差
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题目，解题关键是通过构造辅助线，将分散的线段转化到多个三角形中建立不等关系，再结合线段和差、不等式性质化简推导，能够有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.7
要证明AP+BP＜AC+BC，现有线段分散在不同图形中，无法直接利用三角形三边关系推导，因此需要构造辅助线将相关线段纳入到三角形中。我们可以延长AP交BC于点D，分别在△ACD和△BPD中应用三角形三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，结合线段和差关系化简，即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图，延长AP交BC于点D。
在$△ ACD$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$AC+CD＞AD$。
$\because AD=AP+PD$，
$\therefore AC+CD＞AP+PD$ ①。
在$△ BPD$中，同理可得$PD+BD＞BP$ ②。
将①和②左右两边分别相加，得：
$AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP$，
两边同时减去PD，可得$AC+(CD+BD)＞AP+BP$。
又$\because CD+BD=BC$，
$\therefore AC+BC＞AP+BP$，即$AP+BP＜AC+BC$。
【答案】
14. 证明:如图,延长AP交BC于点D.
在$△ ACD$中,$AC+CD＞AD$.
因为$AD=AP+PD$,
所以$AC+CD＞AP+PD$.
又在$△ BPD$中,$PD+BD＞BP$,
所以$AC+CD+PD+BD＞AP+PD+BP$,
所以$AC+(CD+BD)＞AP+BP$.
因为$CD+BD=BC$,
所以$AC+BC＞AP+BP$,即$AP+BP＜AC+BC$.
【知识点】
1.三角形三边关系 2.不等式基本性质 3.线段和差
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题目，解题关键是通过构造辅助线，将分散的线段转化到多个三角形中建立不等关系，再结合线段和差、不等式性质化简推导，能够有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.7
15 新趋势 阅读理解 将长度为$2n$（$n$为不小于4的自然数）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形.把三边长分别为$a,b,c$且满足$a≤ b≤ c$的三角形简记为数组$(a,b,c)$，如当$n=4$时，有$(2,3,3)$.
（1）当$n=5$或$n=6$时，分别写出所有满足题意的$(a,b,c)$；
（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为$2n$（$n$为不小于4的自然数）时，对应$(a,b,c)$的个数是
（1）当$n=5$或$n=6$时，分别写出所有满足题意的$(a,b,c)$；
（2）根据前面的结果猜想：当铅丝的长度为$2n$（$n$为不小于4的自然数）时，对应$(a,b,c)$的个数是
$n-3$
；为了检验这个猜想是否正确，请分别写出当$n=8$或$n=10$时，所有可能的$(a,b,c)$，并判断这个猜想不正确
.（填“正确”或“不正确”）答案
15. 解:(1) 当$n=5$时,有$(2,4,4),(3,3,4)$;
当$n=6$时,有$(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)$.
(2) $n-3$ 不正确 提示:当$n=8$时,有$(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7),(4,6,6),(5,5,6)$,共5个,$5=8-3$,猜想正确;当$n=10$时,有$(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9),(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8),(6,7,7)$,共8个,$8≠10-3$,猜想不正确.
当$n=6$时,有$(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)$.
(2) $n-3$ 不正确 提示:当$n=8$时,有$(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7),(4,6,6),(5,5,6)$,共5个,$5=8-3$,猜想正确;当$n=10$时,有$(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9),(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8),(6,7,7)$,共8个,$8≠10-3$,猜想不正确.
解析
【分析】
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定边长的取值范围，再结合整数边长、a≤b≤c的条件分类列举。首先，三角形周长为2n，根据三边关系“两边之和大于第三边”，可得最大边c＜周长的一半即c＜n；又因为c是最大边，故3c≥a+b+c=2n，即$c≥\frac{2n}{3}$，由此先确定c的整数取值范围，再对每个c值，根据a+b=2n-c、a≤b≤c的要求找出所有整数a、b即可。第二问先通过前几组n对应的数组个数归纳猜想，再验证n=8、n=10的情况判断猜想是否正确。【解析】（1）①当n=5时，铅丝总长为2×5=10，即a+b+c=10，满足a≤b≤c、a+b＞c：由三边关系得$c＜\frac{10}{2}=5$，且3c≥10，c为整数，故c=4；此时a+b=10-4=6，结合a≤b≤4，可得：当b=4时，a=6-4=2，得(2,4,4)；当b=3时，a=6-3=3，得(3,3,4)。②当n=6时，铅丝总长为2×6=12，即a+b+c=12：由三边关系得$c＜\frac{12}{2}=6$，且3c≥12，c为整数，故c=4或5；当c=5时，a+b=12-5=7，结合a≤b≤5：b=5时a=2得(2,5,5)；b=4时a=3得(3,4,5)；当c=4时，a+b=12-4=8，结合a≤b≤4，得a=b=4，即(4,4,4)。（2）观察前面结果：n=4时数组共1个=4-3，n=5时共2个=5-3，n=6时共3个=6-3，故猜想对应数组个数为n-3。验证：①当n=8时，总长为16，c＜8，且3c≥16，c为整数，故c=6、7：c=7时，a+b=9，符合条件的有(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7)；c=6时，a+b=10，符合条件的有(4,6,6),(5,5,6)；共5个，5=8-3，符合猜想。②当n=10时，总长为20，c＜10，且3c≥20，c为整数，故c=7、8、9：c=9时，a+b=11，符合条件的有(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9)；c=8时，a+b=12，符合条件的有(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8)；c=7时，a+b=13，符合条件的有(6,7,7)；共8个，10-3=7≠8，故猜想不正确。【答案】（1）当n=5时，满足题意的数组为(2,4,4),(3,3,4)；当n=6时，满足题意的数组为(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)；（2）n-3；不正确
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；归纳猜想
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，解题关键是先锁定最大边的取值范围，再有序列举所有符合条件的边长组合，避免漏解或重复计数，能帮助学生理解从特殊到一般的归纳推理过程。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定边长的取值范围，再结合整数边长、a≤b≤c的条件分类列举。首先，三角形周长为2n，根据三边关系“两边之和大于第三边”，可得最大边c＜周长的一半即c＜n；又因为c是最大边，故3c≥a+b+c=2n，即$c≥\frac{2n}{3}$，由此先确定c的整数取值范围，再对每个c值，根据a+b=2n-c、a≤b≤c的要求找出所有整数a、b即可。第二问先通过前几组n对应的数组个数归纳猜想，再验证n=8、n=10的情况判断猜想是否正确。【解析】（1）①当n=5时，铅丝总长为2×5=10，即a+b+c=10，满足a≤b≤c、a+b＞c：由三边关系得$c＜\frac{10}{2}=5$，且3c≥10，c为整数，故c=4；此时a+b=10-4=6，结合a≤b≤4，可得：当b=4时，a=6-4=2，得(2,4,4)；当b=3时，a=6-3=3，得(3,3,4)。②当n=6时，铅丝总长为2×6=12，即a+b+c=12：由三边关系得$c＜\frac{12}{2}=6$，且3c≥12，c为整数，故c=4或5；当c=5时，a+b=12-5=7，结合a≤b≤5：b=5时a=2得(2,5,5)；b=4时a=3得(3,4,5)；当c=4时，a+b=12-4=8，结合a≤b≤4，得a=b=4，即(4,4,4)。（2）观察前面结果：n=4时数组共1个=4-3，n=5时共2个=5-3，n=6时共3个=6-3，故猜想对应数组个数为n-3。验证：①当n=8时，总长为16，c＜8，且3c≥16，c为整数，故c=6、7：c=7时，a+b=9，符合条件的有(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7)；c=6时，a+b=10，符合条件的有(4,6,6),(5,5,6)；共5个，5=8-3，符合猜想。②当n=10时，总长为20，c＜10，且3c≥20，c为整数，故c=7、8、9：c=9时，a+b=11，符合条件的有(2,9,9),(3,8,9),(4,7,9),(5,6,9)；c=8时，a+b=12，符合条件的有(4,8,8),(5,7,8),(6,6,8)；c=7时，a+b=13，符合条件的有(6,7,7)；共8个，10-3=7≠8，故猜想不正确。【答案】（1）当n=5时，满足题意的数组为(2,4,4),(3,3,4)；当n=6时，满足题意的数组为(2,5,5),(3,4,5),(4,4,4)；（2）n-3；不正确
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论；归纳猜想
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，解题关键是先锁定最大边的取值范围，再有序列举所有符合条件的边长组合，避免漏解或重复计数，能帮助学生理解从特殊到一般的归纳推理过程。
【难度系数】
0.6
