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1（2025连云港）下列长度的3根小木棒能搭成三角形的是 （
A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
B
）A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
答案
1. B
解析
【分析】
要判断3根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度即可——如果较短两边之和都大于最长边，其余任意两边之和必然也大于第三边，可快速排除错误选项，接下来逐一验证各选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，选取每个选项中较短的两边求和，与最长边比较：
A选项：三根木棒长度为1、2、3，较短两边和为$1+2=3$，等于最长边3，无法构成三角形，排除；
B选项：三根木棒长度为2、3、4，较短两边和为$2+3=5$，$5＞4$，满足三边关系，可以构成三角形；
C选项：三根木棒长度为3、5、8，较短两边和为$3+5=8$，等于最长边8，无法构成三角形，排除；
D选项：三根木棒长度为4、5、10，较短两边和为$4+5=9$，$9＜10$，不满足三边关系，无法构成三角形，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，熟练掌握“较短两边之和大于最长边”的判断技巧，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断3根小木棒能否搭成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度即可——如果较短两边之和都大于最长边，其余任意两边之和必然也大于第三边，可快速排除错误选项，接下来逐一验证各选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，选取每个选项中较短的两边求和，与最长边比较：
A选项：三根木棒长度为1、2、3，较短两边和为$1+2=3$，等于最长边3，无法构成三角形，排除；
B选项：三根木棒长度为2、3、4，较短两边和为$2+3=5$，$5＞4$，满足三边关系，可以构成三角形；
C选项：三根木棒长度为3、5、8，较短两边和为$3+5=8$，等于最长边8，无法构成三角形，排除；
D选项：三根木棒长度为4、5、10，较短两边和为$4+5=9$，$9＜10$，不满足三边关系，无法构成三角形，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，熟练掌握“较短两边之和大于最长边”的判断技巧，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
2（2025连云港海州期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA=14 m，OB=9 m，则点A，B之间的距离可能是 （
A.5 m
B.13 m
C.23 m
D.24 m
B
）A.5 m
B.13 m
C.23 m
D.24 m
答案
2. B
解析
【分析】
要确定A、B两点的距离，首先观察A、B、O三点可构成三角形，根据三角形三边关系可得到AB长度的取值范围，再结合选项筛选出符合范围的数值即可。解题时需注意三角形三边需同时满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，因此第三边的长度介于两边之差和两边之和之间。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知OA=14m，OB=9m，因此可得：
$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值计算：$14 - 9 ＜ AB ＜ 14 + 9$，即$\boldsymbol{5\mathrm{m} ＜ AB ＜ 23\mathrm{m}}$。
结合选项，只有13m符合该取值范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合选项判断，属于基础题型，掌握三边关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要确定A、B两点的距离，首先观察A、B、O三点可构成三角形，根据三角形三边关系可得到AB长度的取值范围，再结合选项筛选出符合范围的数值即可。解题时需注意三角形三边需同时满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，因此第三边的长度介于两边之差和两边之和之间。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知OA=14m，OB=9m，因此可得：
$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值计算：$14 - 9 ＜ AB ＜ 14 + 9$，即$\boldsymbol{5\mathrm{m} ＜ AB ＜ 23\mathrm{m}}$。
结合选项，只有13m符合该取值范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题核心是利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合选项判断，属于基础题型，掌握三边关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
3（2025无锡经开区期中）如图，已知$∠ ADB＞∠ B＞∠ C$，则下列说法中正确的是（
A.$AC＞AB＞AD$
B.$AC＞AD＞AB$
C.$AB＞AD＞AC$
D.$AB＞AC＞AD$
A
）A.$AC＞AB＞AD$
B.$AC＞AD＞AB$
C.$AB＞AD＞AC$
D.$AB＞AC＞AD$
答案
3. A
解析
【分析】
解题要用到三角形“大角对大边”的性质，步骤如下：第一步，先在△ABC中，根据已知的∠B＞∠C，找到两个角对应的对边，即可判断AC和AB的大小；第二步，在△ABD中，根据已知的∠ADB＞∠B，找到这两个角对应的对边，判断AB和AD的大小；第三步，整合两次得到的边的大小关系，就能选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，根据“同一三角形内，大角对大边”的性质：
∠B对应的对边是AC，∠C对应的对边是AB，
已知∠B＞∠C，因此AC＞AB。
在△ABD中，同理：
∠ADB对应的对边是AB，∠B对应的对边是AD，
已知∠ADB＞∠B，因此AB＞AD。
综上可得AC＞AB＞AD，符合选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形大角对大边
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是准确找到每个角对应的对边，只要理清角和对边的对应关系，就能快速运用性质得出结论，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题要用到三角形“大角对大边”的性质，步骤如下：第一步，先在△ABC中，根据已知的∠B＞∠C，找到两个角对应的对边，即可判断AC和AB的大小；第二步，在△ABD中，根据已知的∠ADB＞∠B，找到这两个角对应的对边，判断AB和AD的大小；第三步，整合两次得到的边的大小关系，就能选出正确选项。
【解析】
在△ABC中，根据“同一三角形内，大角对大边”的性质：
∠B对应的对边是AC，∠C对应的对边是AB，
已知∠B＞∠C，因此AC＞AB。
在△ABD中，同理：
∠ADB对应的对边是AB，∠B对应的对边是AD，
已知∠ADB＞∠B，因此AB＞AD。
综上可得AC＞AB＞AD，符合选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形大角对大边
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是准确找到每个角对应的对边，只要理清角和对边的对应关系，就能快速运用性质得出结论，不易出错。
【难度系数】
0.8
4（2025镇江扬中期中）△ABC中三边长是a,b,c，若a=2,b=4，且三角形的周长是偶数，则c的值为
4
.答案
4. 4
解析
【分析】
解题时首先要利用三角形三边关系确定第三边c的取值范围，再结合“周长是偶数”的条件筛选出符合要求的c的值。第一步：根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，列出关于c的不等式，得到c的取值区间；第二步：先计算已知两边的和，判断其奇偶性，结合周长为偶数的要求，推导c的奇偶性，最后在取值区间内找到符合奇偶性要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，已知a=2，b=4，可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入数值计算：$4-2 ＜ c ＜ 2+4$，即$2 ＜ c ＜ 6$。
三角形周长为$a+b+c=2+4+c=6+c$，题目要求周长为偶数，其中6是偶数，根据“偶数+偶数=偶数”，可知c必须是偶数。
在$2 ＜ c ＜ 6$的范围内，偶数只有4，因此$c=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；奇偶性运算性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，同时结合奇偶性条件做进一步筛选，解题时要注意先确定未知边的取值范围，再结合限定条件排除不符合的结果，避免漏看条件导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用三角形三边关系确定第三边c的取值范围，再结合“周长是偶数”的条件筛选出符合要求的c的值。第一步：根据三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，列出关于c的不等式，得到c的取值区间；第二步：先计算已知两边的和，判断其奇偶性，结合周长为偶数的要求，推导c的奇偶性，最后在取值区间内找到符合奇偶性要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，已知a=2，b=4，可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入数值计算：$4-2 ＜ c ＜ 2+4$，即$2 ＜ c ＜ 6$。
三角形周长为$a+b+c=2+4+c=6+c$，题目要求周长为偶数，其中6是偶数，根据“偶数+偶数=偶数”，可知c必须是偶数。
在$2 ＜ c ＜ 6$的范围内，偶数只有4，因此$c=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系；奇偶性运算性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，同时结合奇偶性条件做进一步筛选，解题时要注意先确定未知边的取值范围，再结合限定条件排除不符合的结果，避免漏看条件导致出错。
【难度系数】
0.8
5 新趋势 新概念（2025徐州睢宁月考）定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”,较短的两条边长分别为2和3,则第三条边的长为
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
解题时首先要明确“倍长三角形”的定义，结合已知较短两边为2和3，可判断第三条边是最长边（长度大于3）；接下来根据倍长三角形的特征，分两种情况讨论第三条边的可能长度：要么是较短边2的2倍，要么是较短边3的2倍；最后结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
已知△ABC是“倍长三角形”，且较短的两条边长为2和3，因此第三条边为最长边，长度大于3。
根据“倍长三角形”的定义，第三条边应为其中一条已知边的2倍，分两种情况讨论：
① 若第三条边是边长2的2倍，则第三条边长为$2×2=4$，此时三角形三边长为2、3、4。
验证三边关系：$2+3＞4$，$2+4＞3$，$3+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，符合要求；
② 若第三条边是边长3的2倍，则第三条边长为$2×3=6$，此时三角形三边长为2、3、6。
验证三边关系：$2+3=5＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，第三条边的长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系，新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查三角形构成条件的应用，解题时需要先结合定义分类讨论所有可能的情况，再用三角形三边关系验证，避免忽略构成三角形的条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确“倍长三角形”的定义，结合已知较短两边为2和3，可判断第三条边是最长边（长度大于3）；接下来根据倍长三角形的特征，分两种情况讨论第三条边的可能长度：要么是较短边2的2倍，要么是较短边3的2倍；最后结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
已知△ABC是“倍长三角形”，且较短的两条边长为2和3，因此第三条边为最长边，长度大于3。
根据“倍长三角形”的定义，第三条边应为其中一条已知边的2倍，分两种情况讨论：
① 若第三条边是边长2的2倍，则第三条边长为$2×2=4$，此时三角形三边长为2、3、4。
验证三边关系：$2+3＞4$，$2+4＞3$，$3+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形，符合要求；
② 若第三条边是边长3的2倍，则第三条边长为$2×3=6$，此时三角形三边长为2、3、6。
验证三边关系：$2+3=5＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，第三条边的长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形三边关系，新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查三角形构成条件的应用，解题时需要先结合定义分类讨论所有可能的情况，再用三角形三边关系验证，避免忽略构成三角形的条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
6 教材P5例1·变式 (2025南京秦淮月考)如图,在△ABC中,点D在边BC上.求证:AC+CB＞AD+DB.
答案
6. 证明:由三角形三边关系定理,得$AC+CD＞AD$,
所以$AC+CD+DB＞AD+DB$,
即$AC+CB＞AD+DB$.
所以$AC+CD+DB＞AD+DB$,
即$AC+CB＞AD+DB$.
解析
【分析】
要证明$AC+CB＞AD+DB$，首先观察线段的组成，$CB=CD+DB$，因此只需证明$AC+CD＞AD$即可。而$AC、CD、AD$是$△ ACD$的三条边，根据三角形三边关系就能得到$AC+CD＞AD$，再对该不等式两边同时加上$DB$，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：在$△ ACD$中，根据三角形三边关系定理（三角形任意两边之和大于第三边），可得$AC+CD＞AD$。
根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上$DB$，不等号方向不变，因此有$AC+CD+DB＞AD+DB$。
又因为$CD+DB=CB$，代入上式可得$AC+CB＞AD+DB$，原式得证。
【答案】
证明:由三角形三边关系定理,得$AC+CD＞AD$,
所以$AC+CD+DB＞AD+DB$,
即$AC+CB＞AD+DB$.
【知识点】
三角形三边关系、不等式基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题目，解题关键是找到线段间的和差关系，将待证的不等关系转化为小三角形的三边不等问题，这类转化思想是解决线段不等类题目的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明$AC+CB＞AD+DB$，首先观察线段的组成，$CB=CD+DB$，因此只需证明$AC+CD＞AD$即可。而$AC、CD、AD$是$△ ACD$的三条边，根据三角形三边关系就能得到$AC+CD＞AD$，再对该不等式两边同时加上$DB$，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：在$△ ACD$中，根据三角形三边关系定理（三角形任意两边之和大于第三边），可得$AC+CD＞AD$。
根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上$DB$，不等号方向不变，因此有$AC+CD+DB＞AD+DB$。
又因为$CD+DB=CB$，代入上式可得$AC+CB＞AD+DB$，原式得证。
【答案】
证明:由三角形三边关系定理,得$AC+CD＞AD$,
所以$AC+CD+DB＞AD+DB$,
即$AC+CB＞AD+DB$.
【知识点】
三角形三边关系、不等式基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题目，解题关键是找到线段间的和差关系，将待证的不等关系转化为小三角形的三边不等问题，这类转化思想是解决线段不等类题目的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7 教材P6练习T3·变式 如图，AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD. 
答案
7. 证明:在$△ AOC$中,因为$CO＞AC$,
所以$∠ A＞∠ AOC$.
因为$∠ AOC=∠ BOD$,所以$∠ A＞∠ BOD$,
因为$∠ B＞∠ A$,所以$∠ B＞∠ BOD$,即$OD＞BD$.
所以$∠ A＞∠ AOC$.
因为$∠ AOC=∠ BOD$,所以$∠ A＞∠ BOD$,
因为$∠ B＞∠ A$,所以$∠ B＞∠ BOD$,即$OD＞BD$.
解析
【分析】
要证明$OD＞BD$，根据三角形“大角对大边”的性质，只需证明$△ BOD$中$∠ B＞∠ BOD$即可。已知$∠ B＞∠ A$，因此需要建立$∠ A$和$∠ BOD$的关系：首先利用对顶角相等可知$∠ BOD=∠ AOC$，再结合$△ AOC$中$CO＞AC$，由“大边对大角”可得$∠ A＞∠ AOC$，通过等量代换和不等式的传递性就能推出$∠ B＞∠ BOD$，从而完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOC$中，因为$CO＞AC$，根据三角形大边对大角的性质，可得$∠ A＞∠ AOC$。
因为$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ BOD$，因此$∠ A＞∠ BOD$。
又因为已知$∠ B＞∠ A$，根据不等式的传递性可得$∠ B＞∠ BOD$。
在$△ BOD$中，根据三角形大角对大边的性质，可得$OD＞BD$。
【答案】
证明:在$△ AOC$中,因为$CO＞AC$,所以$∠ A＞∠ AOC$.因为$∠ AOC=∠ BOD$,所以$∠ A＞∠ BOD$,因为$∠ B＞∠ A$,所以$∠ B＞∠ BOD$,即$OD＞BD$.
【知识点】
三角形边角关系；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形边角不等关系的基础应用题，解题的核心是借助对顶角作为桥梁，将两个三角形的角的大小关系关联起来，结合不等式的传递性推导得到目标角的大小关系，最终利用大角对大边完成证明，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
要证明$OD＞BD$，根据三角形“大角对大边”的性质，只需证明$△ BOD$中$∠ B＞∠ BOD$即可。已知$∠ B＞∠ A$，因此需要建立$∠ A$和$∠ BOD$的关系：首先利用对顶角相等可知$∠ BOD=∠ AOC$，再结合$△ AOC$中$CO＞AC$，由“大边对大角”可得$∠ A＞∠ AOC$，通过等量代换和不等式的传递性就能推出$∠ B＞∠ BOD$，从而完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOC$中，因为$CO＞AC$，根据三角形大边对大角的性质，可得$∠ A＞∠ AOC$。
因为$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ BOD$，因此$∠ A＞∠ BOD$。
又因为已知$∠ B＞∠ A$，根据不等式的传递性可得$∠ B＞∠ BOD$。
在$△ BOD$中，根据三角形大角对大边的性质，可得$OD＞BD$。
【答案】
证明:在$△ AOC$中,因为$CO＞AC$,所以$∠ A＞∠ AOC$.因为$∠ AOC=∠ BOD$,所以$∠ A＞∠ BOD$,因为$∠ B＞∠ A$,所以$∠ B＞∠ BOD$,即$OD＞BD$.
【知识点】
三角形边角关系；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形边角不等关系的基础应用题，解题的核心是借助对顶角作为桥梁，将两个三角形的角的大小关系关联起来，结合不等式的传递性推导得到目标角的大小关系，最终利用大角对大边完成证明，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
