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1 [2024贵州]小星通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4.下列说法正确的是
（
A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
（
A
）A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查概率的意义，解题时首先要明确：通过大量重复试验用频率估计得到的概率，反映的是随机事件发生的可能性大小，并不代表某次或某几次试验中事件一定会发生，也不代表固定试验次数内事件一定会发生对应比例的次数。我们只需结合概率的含义逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知小星投中的概率为0.4，说明每次投篮投中是可能性为40%的随机事件，不是必然事件：
A选项：定点投篮1次，投中是随机事件，不一定能投中，表述正确；
B选项：“投篮1次一定投中”错误，存在投不中的可能；
C选项：“投篮10次一定投中4次”错误，概率仅反映可能性，实际试验中投中次数是随机的，不一定恰好是4次；
D选项：“投篮4次一定投中1次”错误，同理，实际投中次数是随机的，不是必然为1次。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
概率的意义, 频率估计概率
【点评】
本题是概率概念的基础应用题，易错点是容易将概率数值等同于固定试验次数下的必然发生次数，准确理解概率反映事件发生的可能性大小是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查概率的意义，解题时首先要明确：通过大量重复试验用频率估计得到的概率，反映的是随机事件发生的可能性大小，并不代表某次或某几次试验中事件一定会发生，也不代表固定试验次数内事件一定会发生对应比例的次数。我们只需结合概率的含义逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知小星投中的概率为0.4，说明每次投篮投中是可能性为40%的随机事件，不是必然事件：
A选项：定点投篮1次，投中是随机事件，不一定能投中，表述正确；
B选项：“投篮1次一定投中”错误，存在投不中的可能；
C选项：“投篮10次一定投中4次”错误，概率仅反映可能性，实际试验中投中次数是随机的，不一定恰好是4次；
D选项：“投篮4次一定投中1次”错误，同理，实际投中次数是随机的，不是必然为1次。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
概率的意义, 频率估计概率
【点评】
本题是概率概念的基础应用题，易错点是容易将概率数值等同于固定试验次数下的必然发生次数，准确理解概率反映事件发生的可能性大小是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2 [2025张家港市段考]在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的球，做了10000次摸球试验，摸到红球的频数是401，估计盒子中红球的个数是
4
。答案
2.4
3 [2025苏州模拟]“抛掷图钉试验”的结果如下表：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 600 | 800 | 1000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 针尖不着地的频数$m$ | 64 | 118 |
| 252 | 360 | 488 | 610 |
| 针尖不着地的频率$\frac{m}{n}$ | 0.64 | 0.59 | 0.63 | 0.63 | 0.60 | 0.61 | 0.61 |
由表可知，“针尖不着地”的概率的估计值是
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 600 | 800 | 1000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 针尖不着地的频数$m$ | 64 | 118 |
| 252 | 360 | 488 | 610 || 针尖不着地的频率$\frac{m}{n}$ | 0.64 | 0.59 | 0.63 | 0.63 | 0.60 | 0.61 | 0.61 |
由表可知，“针尖不着地”的概率的估计值是
0.6
（精确到0.1）。答案
3.0.6
解析
【分析】
解题时首先要明确频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中针尖不着地的频率变化，随着抛掷次数不断增加，频率逐渐趋于稳定，找到稳定的频率值，再按要求精确到0.1即可得到概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近。观察表格数据，随着抛掷次数n从100增加到1000，针尖不着地的频率逐渐稳定在0.61左右，将0.61精确到0.1，结果为0.6。
【答案】
0.6
【知识点】
用频率估计概率、近似数的精确度
【点评】
本题核心考查利用频率估计概率的应用，需要理解试验次数越多，频率越接近概率，解题时注意最终结果要符合题目要求的精确程度。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中针尖不着地的频率变化，随着抛掷次数不断增加，频率逐渐趋于稳定，找到稳定的频率值，再按要求精确到0.1即可得到概率的估计值。
【解析】
根据频率估计概率的规律：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近。观察表格数据，随着抛掷次数n从100增加到1000，针尖不着地的频率逐渐稳定在0.61左右，将0.61精确到0.1，结果为0.6。
【答案】
0.6
【知识点】
用频率估计概率、近似数的精确度
【点评】
本题核心考查利用频率估计概率的应用，需要理解试验次数越多，频率越接近概率，解题时注意最终结果要符合题目要求的精确程度。
【难度系数】
0.9
4 在4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品。
（1）从这4件产品中随机抽1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率。
（2）从这4件产品中随机抽2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率。
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽1件进行检测，然后放回。多次重复这个试验，发现抽到合格品的频率稳定在0.95左右，请由此推算x的值。
（1）从这4件产品中随机抽1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率。
（2）从这4件产品中随机抽2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率。
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽1件进行检测，然后放回。多次重复这个试验，发现抽到合格品的频率稳定在0.95左右，请由此推算x的值。
答案
4.（1）$P(抽到的是不合格品)=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示
。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种。$\therefore P(抽到的都是合格品)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$。经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore x$的值是16
解析
【分析】
（1）第一问考查基础概率计算，直接利用概率公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数，找到不合格品数量和总产品数量代入即可求解。
（2）第二问是抽取2件产品的两步不放回事件，我们可以通过画树状图列出所有等可能的结果，再筛选出抽到2件都是合格品的结果数，代入概率公式就能得到所求概率。
（3）第三问依据“大量重复试验时，事件发生的频率稳定值近似等于该事件的概率”这一规律，可知抽到合格品的概率为0.95，再结合加入x件合格品后合格品的总数量、产品总数量列出分式方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合题意。
【解析】
（1）已知总共有4件产品，其中不合格品有1件，
根据概率公式可得$P(抽到的是不合格品)=\frac{不合格品的数量}{总产品数量}=\frac{1}{4}$。
（2）随机抽取2件产品，画树状图如图所示。
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种，
因此$P(抽到的都是合格品)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（3）大量重复试验中，抽到合格品的频率稳定在0.95，因此可估计抽到合格品的概率为0.95。
加入x件合格品后，合格品总数量为$(3+x)$件，产品总数量为$(4+x)$件，
根据题意列方程：$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，
去分母得：$3+x=0.95×(4+x)$，
展开计算：$3+x=3.8+0.95x$，
移项合并同类项得：$0.05x=0.8$，
解得：$x=16$。
检验：当$x=16$时，分母$4+x=20≠0$，因此$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
4.（1）$P(抽到的是不合格品)=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种。$\therefore P(抽到的都是合格品)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$。经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore x$的值是16
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，覆盖了单步事件概率计算、多步事件概率求解、概率的实际应用三类常见考点，解题时要注意区分抽取试验是放回还是不放回，涉及分式方程的结果务必要检验，熟练掌握概率的基础概念和相关公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.75
（1）第一问考查基础概率计算，直接利用概率公式：某事件的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数，找到不合格品数量和总产品数量代入即可求解。
（2）第二问是抽取2件产品的两步不放回事件，我们可以通过画树状图列出所有等可能的结果，再筛选出抽到2件都是合格品的结果数，代入概率公式就能得到所求概率。
（3）第三问依据“大量重复试验时，事件发生的频率稳定值近似等于该事件的概率”这一规律，可知抽到合格品的概率为0.95，再结合加入x件合格品后合格品的总数量、产品总数量列出分式方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合题意。
【解析】
（1）已知总共有4件产品，其中不合格品有1件，
根据概率公式可得$P(抽到的是不合格品)=\frac{不合格品的数量}{总产品数量}=\frac{1}{4}$。
（2）随机抽取2件产品，画树状图如图所示
。由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种，
因此$P(抽到的都是合格品)=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（3）大量重复试验中，抽到合格品的频率稳定在0.95，因此可估计抽到合格品的概率为0.95。
加入x件合格品后，合格品总数量为$(3+x)$件，产品总数量为$(4+x)$件，
根据题意列方程：$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，
去分母得：$3+x=0.95×(4+x)$，
展开计算：$3+x=3.8+0.95x$，
移项合并同类项得：$0.05x=0.8$，
解得：$x=16$。
检验：当$x=16$时，分母$4+x=20≠0$，因此$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
4.（1）$P(抽到的是不合格品)=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示
。由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种。$\therefore P(抽到的都是合格品)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$。经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意。$\therefore x$的值是16
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；频率估计概率
【点评】
本题是概率基础综合题，覆盖了单步事件概率计算、多步事件概率求解、概率的实际应用三类常见考点，解题时要注意区分抽取试验是放回还是不放回，涉及分式方程的结果务必要检验，熟练掌握概率的基础概念和相关公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.75
5 在一个不透明的袋子中装有若干个白球.为估计白球的个数,小何向其中投入8个黑球,搅拌均匀后随机摸出1个球,记下颜色,再把它放入袋子中,不断重复摸球400次,其中88次摸出黑球,则估计袋子中白球有（
A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
B
）A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
答案
5.B
解析
【分析】
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先，大量重复试验中，事件发生的频率可以近似代替该事件发生的概率；其次，明确摸出黑球的概率=黑球个数÷总球数，我们可以设白球的个数为未知数，结合已知的黑球个数、黑球出现的频率列出方程，最后解方程求出白球个数的近似值即可。
【解析】
设袋子中白球有$ x $个，则袋子中球的总个数为$ x+8 $个。
大量重复摸球试验中，摸出黑球的频率可近似等于摸出黑球的概率。
已知摸球400次，88次摸出黑球，因此摸出黑球的频率为$ \frac{88}{400} $，可得方程：
$\frac{8}{x+8}=\frac{88}{400}$
交叉相乘得：$ 88(x+8)=8×400 $
计算得：$ 88x + 704 = 3200 $
移项化简得：$ 88x = 2496 $
解得：$ x\approx28 $
经检验，$ x\approx28 $符合实际意义。
因此估计袋子中白球有28个，选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率应用的常见基础题型，核心考查对“大量重复试验下频率可近似代替概率”的理解，结合概率公式列方程求解即可，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
本题属于用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先，大量重复试验中，事件发生的频率可以近似代替该事件发生的概率；其次，明确摸出黑球的概率=黑球个数÷总球数，我们可以设白球的个数为未知数，结合已知的黑球个数、黑球出现的频率列出方程，最后解方程求出白球个数的近似值即可。
【解析】
设袋子中白球有$ x $个，则袋子中球的总个数为$ x+8 $个。
大量重复摸球试验中，摸出黑球的频率可近似等于摸出黑球的概率。
已知摸球400次，88次摸出黑球，因此摸出黑球的频率为$ \frac{88}{400} $，可得方程：
$\frac{8}{x+8}=\frac{88}{400}$
交叉相乘得：$ 88(x+8)=8×400 $
计算得：$ 88x + 704 = 3200 $
移项化简得：$ 88x = 2496 $
解得：$ x\approx28 $
经检验，$ x\approx28 $符合实际意义。
因此估计袋子中白球有28个，选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率应用的常见基础题型，核心考查对“大量重复试验下频率可近似代替概率”的理解，结合概率公式列方程求解即可，解题时注意结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
