7 [2024重庆A卷]甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为。

7. $\frac{1}{3}$

【分析】要计算甲、乙两人恰好选择同一景区的概率，首先明确该事件为等可能事件，可先通过列举法统计所有等可能的总结果数，再找出两人选择同一景区的符合条件的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。首先甲、乙各自选择景区都有3种可能，总结果数为两人选择数的乘积；再梳理出两人选择相同的情况数，代入公式就能得到结果。
【解析】用列表法列出所有等可能的结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙恰好选择同一景区的结果有3种，分别为(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式可得：$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】1. 等可能事件概率计算 2. 列表法计数
【点评】本题属于基础概率计算题，解题核心是准确统计总等可能结果数和符合要求的结果数，熟练掌握列举法求概率的方法即可快速求解。
【难度系数】0.8

8 如图，有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率.
（2）小明和小亮做游戏，其规则为 先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张. 若摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜. 这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由（纸牌用A,B,C,D表示）.

8.（1）四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D中,牌面图形是中心对称图形的纸牌是B,C,D,共3张,
∴ P(摸出的牌面图形是中心对称图形)=$\frac{3}{4}$
（2）公平 理由:画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形的有AB,AD,BA,BD,DA,DB这6种结果,
∴ P(小明获胜)=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小亮获胜)=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小明获胜)=P(小亮获胜),
∴ 这个游戏公平.

【分析】
（1）解决第一问首先要明确中心对称图形的定义：绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形。先逐一判断四张纸牌的图形是否为中心对称图形，统计符合条件的纸牌数量，再根据概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$计算即可。
（2）解决第二问首先明确轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形，先判断哪些纸牌的图形是轴对称图形；游戏公平性的判断依据是双方获胜的概率是否相等，本题是不放回摸牌试验，用树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再统计两张牌都是轴对称图形的结果数，计算小明获胜的概率，进而得到小亮获胜的概率，比较两个概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
（1）逐一判断各图形的中心对称性：
A.正三角形旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形；
B.正方形旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形；
C.平行四边形旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形；
D.矩形旋转180°后可与自身重合，是中心对称图形。
因此中心对称图形共3张，总共有4种等可能的摸牌结果，
$\therefore P(\mathrm{摸出的牌面图形是中心对称图形})=\frac{3}{4}$。
（2）先判断各图形的轴对称性：正三角形、正方形、矩形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，即轴对称图形对应的纸牌为A、B、D。
根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形的有AB、AD、BA、BD、DA、DB，共6种结果，
$\therefore P(\mathrm{小明获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
$\therefore P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$\because P(\mathrm{小明获胜})=P(\mathrm{小亮获胜})$，
$\therefore$这个游戏公平。
【答案】
（1）$\frac{3}{4}$
（2）公平，理由见解析，树状图如下：

【知识点】
轴对称与中心对称图形识别、概率公式应用、游戏公平性判断
【点评】
本题将图形的对称性性质和概率计算相结合，既考查了基础几何概念的掌握，也考查了用列举法求解不放回试验概率的能力，解题时要注意区分两类对称图形的定义，避免计数时出现重复或遗漏。
【难度系数】
0.7

9 [2024青岛改编]小伟和小梅两名同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次6个面分别写有1,2,3,4,5，6的质地均匀的骰子，以掷出的数字之差的绝对值判断胜负.若所得差的绝对值为0,1,2，则小伟胜；若所得差的绝对值为3,4,5，则小梅胜.
（1）请用列表法分别求出小伟、小梅获胜的概率.
（2）判断上述游戏是否公平.如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性.

9.（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
| 差的绝对值 小伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知,共有36种等可能的结果,其中差的绝对值为0,1,2的结果有24种,差的绝对值为3,4,5的结果有12种.
∴ P(小伟胜)=$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$,P(小梅胜)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$
（2）
∵ $\frac{2}{3}$≠$\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平 修改游戏规则的方法不唯一,如修改为“若两次掷出的数字之差的绝对值为1,2,则小伟胜;否则小梅胜”.
∵ 此时小伟、小梅获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏是公平的

【分析】
（1）计算两人获胜概率时，首先明确两人各掷一次均匀骰子，所有结果是等可能的，总共有6×6=36种情况。我们可以通过列表法列举出两人掷出点数差的绝对值的所有情况，分别统计符合小伟胜、小梅胜的结果数，再根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算对应概率。（2）判断游戏公平性的依据是双方获胜的概率是否相等，若不相等则游戏不公平；修改规则时只需调整获胜条件，使得双方获胜的概率相等即可。
【解析】
（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
| 差的绝对值 小伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知，共有36种等可能的结果，其中差的绝对值为0,1,2的结果有24种，差的绝对值为3,4,5的结果有12种。
∴ P(小伟胜)=$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$，P(小梅胜)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$。
（2）
∵ $\frac{2}{3}$≠$\frac{1}{3}$，
∴ 游戏不公平。
修改游戏规则的方法不唯一，示例：修改为“若两次掷出的数字之差的绝对值为1,2，则小伟胜；否则小梅胜”。此时符合小伟胜的结果共18种，符合小梅胜的结果也为18种，小伟、小梅获胜的概率均为$\frac{18}{36}$=$\frac{1}{2}$，因此该规则下游戏公平。
【答案】
（1）$\boldsymbol{P(小伟胜)=\frac{2}{3}}$，$\boldsymbol{P(小梅胜)=\frac{1}{3}}$；
（2）游戏不公平，修改规则示例：若两次掷出的数字之差的绝对值为1,2，则小伟胜，否则小梅胜（修改规则合理即可）。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算与游戏公平性的判定，解题关键是通过列表法不重不漏地列举所有等可能结果，明确游戏公平的本质是参与双方获胜的概率相等，修改规则的答案具有开放性，只要满足双方获胜概率相等即可。
【难度系数】
0.7