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6 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有
0.8a
只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率为$\frac{5}{8}$
。答案
6.0.8a，$\frac{5}{8}$
解析
【分析】
解题先看第一空：已知刚出生的动物总数量和活到20岁的概率，根据概率的意义，存活数量等于总数量乘对应存活概率，直接代入计算即可。再看第二空：能活到25岁的动物必然先活到了20岁，因此现年20岁的动物活到25岁的概率，等于活到25岁的动物数量除以活到20岁的动物数量，代入数据约分化简就能得到结果。
【解析】
1. 求20年后存活的数量：
已知刚出生的这种动物共a只，活到20岁的概率为0.8，根据“估算存活数量=总数量×对应存活概率”，可得20年后存活的数量为：$a×0.8=0.8a$（只）。
2. 求现年20岁的这种动物活到25岁的概率：
刚出生的动物活到25岁的概率为0.5，因此活到25岁的动物数量为$0.5a$只。
由于活到25岁的动物都已经活到了20岁，因此所求概率为活到25岁的数量与活到20岁的数量的比值：
$P=\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{5}{8}$（$a≠0$，可约去）。
【答案】
$0.8a$，$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义，用概率估算数量，概率的简单计算
【点评】
本题结合实际场景考查概率的基础应用，解题关键是明确第二问的统计范围是已经存活到20岁的动物，避免混淆两个独立概率，能有效检验对概率含义的理解。
【难度系数】
0.7
解题先看第一空：已知刚出生的动物总数量和活到20岁的概率，根据概率的意义，存活数量等于总数量乘对应存活概率，直接代入计算即可。再看第二空：能活到25岁的动物必然先活到了20岁，因此现年20岁的动物活到25岁的概率，等于活到25岁的动物数量除以活到20岁的动物数量，代入数据约分化简就能得到结果。
【解析】
1. 求20年后存活的数量：
已知刚出生的这种动物共a只，活到20岁的概率为0.8，根据“估算存活数量=总数量×对应存活概率”，可得20年后存活的数量为：$a×0.8=0.8a$（只）。
2. 求现年20岁的这种动物活到25岁的概率：
刚出生的动物活到25岁的概率为0.5，因此活到25岁的动物数量为$0.5a$只。
由于活到25岁的动物都已经活到了20岁，因此所求概率为活到25岁的数量与活到20岁的数量的比值：
$P=\frac{0.5a}{0.8a}=\frac{5}{8}$（$a≠0$，可约去）。
【答案】
$0.8a$，$\frac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义，用概率估算数量，概率的简单计算
【点评】
本题结合实际场景考查概率的基础应用，解题关键是明确第二问的统计范围是已经存活到20岁的动物，避免混淆两个独立概率，能有效检验对概率含义的理解。
【难度系数】
0.7
7 [2024 泸州]一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出1个球是白球的概率是$\frac{2}{3}$，则黄球的个数为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
要计算黄球的个数，我们可以利用概率公式列方程求解：首先明确随机事件的概率等于该事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数，本题中摸出白球的概率=白球个数÷球的总个数，球的总个数为白球数加黄球数，因此设黄球个数为未知数，代入概率公式得到方程，解方程后检验解是否符合实际即可得到结果。
【解析】
解：设黄球的个数为$ x $个，则盒子中球的总个数为$ 6+x $个。
根据概率计算公式可得：
$\frac{6}{6+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2(6+x)=6×3$
化简得：$12+2x=18$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$6+x=9≠0$，因此$x=3$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
3
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是牢记概率的计算方法，通过建立方程求解，注意分式方程的解需要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要计算黄球的个数，我们可以利用概率公式列方程求解：首先明确随机事件的概率等于该事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数，本题中摸出白球的概率=白球个数÷球的总个数，球的总个数为白球数加黄球数，因此设黄球个数为未知数，代入概率公式得到方程，解方程后检验解是否符合实际即可得到结果。
【解析】
解：设黄球的个数为$ x $个，则盒子中球的总个数为$ 6+x $个。
根据概率计算公式可得：
$\frac{6}{6+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2(6+x)=6×3$
化简得：$12+2x=18$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$6+x=9≠0$，因此$x=3$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
3
【知识点】
概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题关键是牢记概率的计算方法，通过建立方程求解，注意分式方程的解需要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
8 一个口袋中共放有 290 个红、黑、白三种颜色的质地、大小、形状都相同的球.若红球个数比黑球个数的 2 倍多 40,从口袋中任取 1 个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$.求：
（1）口袋中红球的个数；
（2）从口袋中任取 1 个球是黑球的概率.
（1）口袋中红球的个数；
（2）从口袋中任取 1 个球是黑球的概率.
答案
8.（1）设口袋中黑球有$x$个，则红球有$(2x+40)$个。$\therefore$ 口袋中白球的个数为$290-x-(2x+40)=250-3x$。根据题意，得$\frac{250-3x}{290}=\frac{1}{29}$，解得$x=80$。$\therefore 2x+40=200$，$\therefore$ 口袋中红球的个数为200
（2）由(1)，得口袋中黑球的个数为80，$\therefore$ 从口袋中任取1个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$
（2）由(1)，得口袋中黑球的个数为80，$\therefore$ 从口袋中任取1个球是黑球的概率为$\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$
解析
【分析】
本题是概率与一元一次方程结合的应用题，解题思路如下：1. 明确概率计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的数量÷总数量，本题已知取白球的概率，可据此建立等量关系；2. 设黑球个数为未知数，根据红球和黑球的数量关系表示出红球个数，再用总球数减去红球、黑球的个数表示出白球个数；3. 将白球数量代入概率公式列方程，求解得到黑球个数后即可算出红球个数；4. 第二问直接用黑球个数除以总球数，就能得到取到黑球的概率。
【解析】
（1）设口袋中黑球有$x$个，根据“红球个数比黑球个数的2倍多40”，可得红球有$(2x+40)$个。
则口袋中白球的个数为：$290 - x - (2x + 40) = 250 - 3x$。
结合“从口袋中任取1个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$”，根据概率公式列方程：
$\frac{250 - 3x}{290} = \frac{1}{29}$
解方程得：$250-3x=10$，$3x=240$，$x=80$。
因此红球个数为：$2x + 40 = 2×80 + 40 = 200$。
（2）由（1）可知黑球个数为80个，总球数为290个，因此任取1个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{取到黑球})=\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$。
【答案】
（1）200个；（2）$\frac{8}{29}$
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，将概率计算和方程求解结合考查，解题关键是理清三种颜色球的数量关系，熟练运用概率公式建立等量关系，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题是概率与一元一次方程结合的应用题，解题思路如下：1. 明确概率计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的数量÷总数量，本题已知取白球的概率，可据此建立等量关系；2. 设黑球个数为未知数，根据红球和黑球的数量关系表示出红球个数，再用总球数减去红球、黑球的个数表示出白球个数；3. 将白球数量代入概率公式列方程，求解得到黑球个数后即可算出红球个数；4. 第二问直接用黑球个数除以总球数，就能得到取到黑球的概率。
【解析】
（1）设口袋中黑球有$x$个，根据“红球个数比黑球个数的2倍多40”，可得红球有$(2x+40)$个。
则口袋中白球的个数为：$290 - x - (2x + 40) = 250 - 3x$。
结合“从口袋中任取1个球是白球的概率为$\frac{1}{29}$”，根据概率公式列方程：
$\frac{250 - 3x}{290} = \frac{1}{29}$
解方程得：$250-3x=10$，$3x=240$，$x=80$。
因此红球个数为：$2x + 40 = 2×80 + 40 = 200$。
（2）由（1）可知黑球个数为80个，总球数为290个，因此任取1个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{取到黑球})=\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$。
【答案】
（1）200个；（2）$\frac{8}{29}$
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率基础应用题，将概率计算和方程求解结合考查，解题关键是理清三种颜色球的数量关系，熟练运用概率公式建立等量关系，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
9 端午节前，小明的爸爸去超市购买了大小、形状、质量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干只，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出1只粽子是火腿粽子的概率为$\frac{1}{3}$。妈妈从盒中取出3只火腿粽子和7只豆沙粽子送给爷爷、奶奶后，这时从盒中随机取出1只粽子是火腿粽子的概率为$\frac{2}{5}$。
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有多少只？
（2）若小明从盒中剩余的粽子中一次任取2只，则恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为多少（用列表或画树状图的方法计算）？
（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有多少只？
（2）若小明从盒中剩余的粽子中一次任取2只，则恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率为多少（用列表或画树状图的方法计算）？
答案
9.（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只。根据题意，得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=10.\end{cases}$经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解。$\therefore$ 爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只
（2）由(1)，易得盒中剩下2只火腿粽子，3只豆沙粽子，分别用$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，$B_3$表示，画树状图如图所示
。由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种。$\therefore P(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$解析
【分析】
（1）第一问可利用概率公式建立等量关系：随机取1只粽子是火腿粽子的概率=火腿粽子总数÷粽子总数量。设火腿粽子、豆沙粽子原来的数量为未知数，结合题目给出的两次概率，列分式方程组求解即可，注意分式方程组的解需要检验是否符合实际和方程要求。
（2）第二问先根据第一问的结果计算剩余的火腿、豆沙粽子数量，将不同粽子标记后，通过画树状图列出一次取2只的所有等可能结果，再统计出恰有1只火腿、1只豆沙粽子的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）设爸爸买的火腿粽子原来有$x$只，豆沙粽子原来有$y$只。
根据题意，原来取出1只火腿粽子的概率为$\frac{1}{3}$，可得：$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}$；
妈妈送出3只火腿粽子、7只豆沙粽子后，剩余火腿粽子$(x-3)$只，剩余豆沙粽子$(y-7)$只，此时取出1只火腿粽子的概率为$\frac{2}{5}$，可得：$\frac{x-3}{(x-3)+(y-7)}=\frac{2}{5}$。
联立得到方程组：$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}\\\frac{x-3}{x+y-10}=\frac{2}{5}\end{cases}$
化简第一个方程得$y=2x$，将其代入第二个方程，解得$x=5$，则$y=10$。
经检验，$\begin{cases}x=5\\y=10\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
（2）由（1）的结果可得，剩余火腿粽子数量：$5-3=2$只，剩余豆沙粽子数量：$10-7=3$只。将2只火腿粽子记为$A_1、A_2$，3只豆沙粽子记为$B_1、B_2、B_3$，一次任取2只为不放回抽取，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有1只火腿粽子、1只豆沙粽子的结果共12种。
根据概率公式可得：$P(恰有火腿、豆沙粽子各1只)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只。根据题意，得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=10.\end{cases}$经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解。$\therefore$ 爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只
（2）由(1)，易得盒中剩下2只火腿粽子，3只豆沙粽子，分别用$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，$B_3$表示，画树状图如图所示。由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种。$\therefore P(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
【知识点】
1. 分式方程组应用
2. 概率公式
3. 树状图法求概率
【点评】
本题结合生活场景考察方程与概率的综合应用，解题时需注意分式方程的解要进行双重检验，既要符合方程要求，也要符合实际意义；用树状图统计抽取结果时，要注意区分放回与不放回抽取，做到计数不重不漏。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可利用概率公式建立等量关系：随机取1只粽子是火腿粽子的概率=火腿粽子总数÷粽子总数量。设火腿粽子、豆沙粽子原来的数量为未知数，结合题目给出的两次概率，列分式方程组求解即可，注意分式方程组的解需要检验是否符合实际和方程要求。
（2）第二问先根据第一问的结果计算剩余的火腿、豆沙粽子数量，将不同粽子标记后，通过画树状图列出一次取2只的所有等可能结果，再统计出恰有1只火腿、1只豆沙粽子的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）设爸爸买的火腿粽子原来有$x$只，豆沙粽子原来有$y$只。
根据题意，原来取出1只火腿粽子的概率为$\frac{1}{3}$，可得：$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}$；
妈妈送出3只火腿粽子、7只豆沙粽子后，剩余火腿粽子$(x-3)$只，剩余豆沙粽子$(y-7)$只，此时取出1只火腿粽子的概率为$\frac{2}{5}$，可得：$\frac{x-3}{(x-3)+(y-7)}=\frac{2}{5}$。
联立得到方程组：$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}\\\frac{x-3}{x+y-10}=\frac{2}{5}\end{cases}$
化简第一个方程得$y=2x$，将其代入第二个方程，解得$x=5$，则$y=10$。
经检验，$\begin{cases}x=5\\y=10\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
（2）由（1）的结果可得，剩余火腿粽子数量：$5-3=2$只，剩余豆沙粽子数量：$10-7=3$只。将2只火腿粽子记为$A_1、A_2$，3只豆沙粽子记为$B_1、B_2、B_3$，一次任取2只为不放回抽取，画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有1只火腿粽子、1只豆沙粽子的结果共12种。
根据概率公式可得：$P(恰有火腿、豆沙粽子各1只)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
【答案】
（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有$x$只、$y$只。根据题意，得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3},\\\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=10.\end{cases}$经检验，$\begin{cases}x=5,\\y=10\end{cases}$是原方程组的解。$\therefore$ 爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子原来分别有5只、10只
（2）由(1)，易得盒中剩下2只火腿粽子，3只豆沙粽子，分别用$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$，$B_3$表示，画树状图如图所示
。由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的结果有12种。$\therefore P(恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$【知识点】
1. 分式方程组应用
2. 概率公式
3. 树状图法求概率
【点评】
本题结合生活场景考察方程与概率的综合应用，解题时需注意分式方程的解要进行双重检验，既要符合方程要求，也要符合实际意义；用树状图统计抽取结果时，要注意区分放回与不放回抽取，做到计数不重不漏。
【难度系数】
0.7
