8.(鼓楼区期末)已知一次函数$y_1=k_1x+b_1$与一次函数$y_2=k_2x+b_2$中，函数$y_1,y_2$与自变量$x$的部分对应值分别如下表所示：


则当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是 （）

A.$x＜0$
B.$x＞0$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$

8.D

【分析】
要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，首先需要找到两个一次函数的交点，即$y_1=y_2$时对应的$x$值，这个$x$值是两个函数值大小的分界点；随后分别对比分界点左右两侧的$x$对应的$y_1、y_2$的大小，就能得到符合条件的$x$的取值范围。
【解析】
首先根据表格中的对应值可知，当$x=1$时，$y_1=y_2$，即两个一次函数图象的交点横坐标为1；
接下来对比交点两侧的函数值：
当$x＜1$时，代入表格中对应的$x$取值，可得$y_1＜y_2$；
当$x＞1$时，代入表格中对应的$x$取值，可得$y_1＞y_2$；
因此当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＞1$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数与不等式的结合应用，解题核心是找准两个函数值相等的分界点，再结合表格数据判断分界点两侧函数值的大小关系，是一次函数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7

9.(秦淮区月考)若一次函数$y=kx+b(k$为常数，且$k≠0)$的图象经过点$(-2,0)$，则关于$x$的方程$k(x-5)+b=0$的解为。

9.x=3

【分析】
解题时首先回忆一次函数与一元一次方程的关系：一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程$kx+b=0$的解。已知一次函数过点$(-2,0)$，可先得到方程$kx+b=0$的解为$x=-2$；再观察待解方程$k(x-5)+b=0$的形式，发现可将$(x-5)$看作整体，等同于原方程中的$x$，因此可通过整体代换建立等式求解$x$，无需计算$k$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
步骤1：根据一次函数与一元一次方程的关系求原方程的解
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-2,0)$
∴当$x=-2$时，$y=0$，即$k·(-2)+b=0$
∴一元一次方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
步骤2：利用整体代换求解待求方程
观察方程$k(x-5)+b=0$，将$(x-5)$看作整体，该方程等价于$kt+b=0$（令$t=x-5$）
由步骤1可知$kt+b=0$的解为$t=-2$，即$x-5=-2$
解得：$x=5-2=3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
1. 一次函数与一元一次方程的关系
2. 整体代入法
3. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程结合的典型题型，核心是理解一次函数图象与x轴交点和对应方程解的对应关系，运用整体代换思想可以避免求解未知参数，提升解题效率，是一次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7

10.(雨花台区期末)如图,直线$l_1:y=x+5$分别交y轴、x轴于点A,B,直线$l_2:y=-\frac{1}{2}x-1$分别交y轴、x轴于点C,D,直线$l_1,l_2$相交于点P.
(1)方程组$\begin{cases}y=x+5,\\y=-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$的解是 ______ ;
(2)求直线$l_1,l_2$与x轴围成的三角形的面积;
(3)过点P的直线把$△ PAC$的面积二等分,写出这条直线的函数表达式.

10.(1)$\begin{cases} x=-4,\\ y=1 \end{cases}$
(2)解:把$y=0$分别代入$y=x+5$和$y=-\frac{1}{2}x-1$,解得$x=-5$和$x=-2$,
$\therefore B(-5,0),D(-2,0)$.
$\because P(-4,1)$,$\therefore$直线$l_1$,$l_2$与$x$轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}×(-2+5)×1=\frac{3}{2}$.
(3)解:根据题意,得点$A$的坐标是$(0,5)$,点$C$的坐标是$(0,-1)$,$\therefore$线段$AC$的中点坐标为$(0,2)$.
设过点$P$且把$△ PAC$的面积二等分的直线的函数表达式为$y=kx+b$. 把点$(-4,1),(0,2)$代入,得
$\begin{cases} -4k+b=1,\\ b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{4},\\ b=2. \end{cases}$
$\therefore$这条直线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$.

【分析】
(1) 二元一次方程组的解对应组成方程组的两个一次函数图像的交点坐标，因此联立两个直线的解析式求解，即可得到方程组的解。
(2) 求两条直线与x轴围成的三角形面积，首先确定三角形的三个顶点：两直线与x轴的交点B、D，以及两直线的交点P。先令两个直线解析式中y=0，求出B、D的坐标，得到BD的长度作为三角形的底，交点P的纵坐标的绝对值作为三角形的高，再代入三角形面积公式计算即可。
(3) 根据三角形中线的性质，三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到线段AC的中点，求出过点P和该中点的直线解析式即可。先求出A、C两点的坐标，得到AC中点坐标，再用待定系数法代入两点坐标求解直线解析式。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=x+5\\y=-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，将$y=x+5$代入$y=-\frac{1}{2}x-1$，得$x+5=-\frac{1}{2}x-1$，解得$x=-4$，将$x=-4$代入$y=x+5$，得$y=1$，因此方程组的解为$\begin{cases}x=-4\\y=1\end{cases}$。
(2) 对于直线$l_1:y=x+5$，令$y=0$，解得$x=-5$，即$B(-5,0)$；对于直线$l_2:y=-\frac{1}{2}x-1$，令$y=0$，解得$x=-2$，即$D(-2,0)$。
$\therefore BD=|-2-(-5)|=3$，由(1)知交点$P(-4,1)$，三角形的高为P点纵坐标的绝对值1，
$\therefore$ 所求三角形面积$S=\frac{1}{2}×BD×1=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
(3) 直线$l_1$交y轴于A，令$x=0$，代入$y=x+5$得$y=5$，即$A(0,5)$；直线$l_2$交y轴于C，令$x=0$，代入$y=-\frac{1}{2}x-1$得$y=-1$，即$C(0,-1)$。
要平分$△ PAC$的面积，过P作$△ PAC$的中线即可，线段AC的中点坐标为$(\frac{0+0}{2},\frac{5+(-1)}{2})=(0,2)$。
设所求直线解析式为$y=kx+b$，将$P(-4,1)$和$(0,2)$代入得：
$\begin{cases}-4k+b=1\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4}\\b=2\end{cases}$，
因此所求直线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-4\\y=1\end{cases}$；(2) $\frac{3}{2}$；(3) $y=\frac{1}{4}x+2$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，待定系数法求解析式，三角形中线性质
【点评】
本题属于一次函数的常考综合题型，考查了一次函数与二元一次方程组的对应关系、一次函数与坐标轴交点的求法，以及利用三角形中线平分面积的性质解决问题，解题时注意结合数形结合思想简化思考过程。
【难度系数】
0.7

11. 一次函数$y=2x-2$的图象$l_1$与一次函数$y=\frac{1}{2}x-1$的图象$l_2$相交于点$P$.
(1)求直线$l_1$与$y$轴的交点$A$的坐标及直线$l_2$与$x$轴的交点$B$的坐标；
(2)求点$P$的坐标；
(3)求由$P,A,B$三点围成的三角形的面积.

11.解:(1)对于直线$l_1$,当$x=0$时,$y=2×0-2=-2$,
$\therefore$点$A$的坐标是$(0,-2)$.
对于直线$l_2$,当$y=0$时,由$0=\frac{1}{2}x-1$,得$x=2$,
$\therefore$点$B$的坐标是$(2,0)$.
(2)由题意,得$\begin{cases} y=2x-2,\\ y=\frac{1}{2}x-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{2}{3},\\ y=-\frac{2}{3}, \end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$.
(3)如答图,连接$AB$,设直线$l_1$与$x$轴交于点$C$,当$y=0$时,由$0=2x-2$,得$x=1$,则点$C$的坐标为$(1,0)$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ ABC}-S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.

【分析】
(1) 求直线与y轴交点时，y轴上的点横坐标为0，将x=0代入$l_1$的解析式即可求出A点纵坐标，得到A点坐标；求直线与x轴交点时，x轴上的点纵坐标为0，将y=0代入$l_2$的解析式即可求出B点横坐标，得到B点坐标。
(2) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此联立两个一次函数的解析式得到二元一次方程组，求解方程组的解就是P点的横、纵坐标。
(3) 直接计算$△ PAB$的面积不容易找到对应的底和高，因此采用割补法：先找到直线$l_1$与x轴的交点C，将$△ PAB$的面积转化为$△ ABC$的面积减去$△ PBC$的面积，两个小三角形的底均为线段BC的长度，高分别为A点到x轴的距离、P点到x轴的距离，分别计算两个小三角形面积再作差即可得到结果。
【解析】
(1) 对于直线$l_1:y=2x-2$，当$x=0$时，$y=2×0-2=-2$，
∴点$A$的坐标是$(0,-2)$。
对于直线$l_2:y=\frac{1}{2}x-1$，当$y=0$时，$0=\frac{1}{2}x-1$，解得$x=2$，
∴点$B$的坐标是$(2,0)$。
(2) 联立两个直线的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=2x-2\\ y=\frac{1}{2}x-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{2}{3}\\ y=-\frac{2}{3} \end{cases}$，即点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$。
(3) 如答图，连接$AB$，设直线$l_1$与$x$轴交于点$C$，对于$l_1:y=2x-2$，当$y=0$时，$0=2x-2$，解得$x=1$，则点$C$的坐标为$(1,0)$。
$BC=2-1=1$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×2=1$，$S_{△PBC}=\frac{1}{2}×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∴$S_{△ PAB}=S_{△ ABC}-S_{△ PBC}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
11.解:(1)对于直线$l_1$,当$x=0$时,$y=2×0-2=-2$,
$\therefore$点$A$的坐标是$(0,-2)$.
对于直线$l_2$,当$y=0$时,由$0=\frac{1}{2}x-1$,得$x=2$,
$\therefore$点$B$的坐标是$(2,0)$.
(2)由题意,得$\begin{cases} y=2x-2,\\ y=\frac{1}{2}x-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{2}{3},\\ y=-\frac{2}{3}, \end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$.
(3)如答图,连接$AB$,设直线$l_1$与$x$轴交于点$C$,当$y=0$时,由$0=2x-2$,得$x=1$,则点$C$的坐标为$(1,0)$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ ABC}-S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$.
【知识点】
一次函数坐标轴交点求解，两直线交点坐标计算，割补法求三角形面积
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，围绕一次函数的性质展开考察，解题的关键是掌握坐标轴上点的坐标特征、两直线交点与二元一次方程组的关系，以及利用割补法求解不规则三角形面积的方法，属于常考题型。
【难度系数】
0.7