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1.为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分如下(单位:分)：89，88，90，90，93，则这组数据的离差平方和是
14
。答案
1. 14
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和，需按照固定步骤思考：首先明确离差平方和的定义，第一步先求出这组数据的平均数，第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值相加，最终得到的和就是离差平方和。
【解析】
①先计算5名选手得分的平均数：
$\bar{x}=\frac{89+88+90+90+93}{5}=\frac{450}{5}=90$
②再根据定义计算离差平方和：
离差平方和$=(89-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(90-90)^2+(93-90)^2$
$=(-1)^2+(-2)^2+0^2+0^2+3^2$
$=1+4+0+0+9$
$=14$
【答案】
14
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，重点考查离差平方和的运算规则，只要牢记计算流程，准确求出平均数后按步骤运算即可，难度较低，需注意避免求和、平方运算的低级失误。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和，需按照固定步骤思考：首先明确离差平方和的定义，第一步先求出这组数据的平均数，第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值相加，最终得到的和就是离差平方和。
【解析】
①先计算5名选手得分的平均数：
$\bar{x}=\frac{89+88+90+90+93}{5}=\frac{450}{5}=90$
②再根据定义计算离差平方和：
离差平方和$=(89-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(90-90)^2+(93-90)^2$
$=(-1)^2+(-2)^2+0^2+0^2+3^2$
$=1+4+0+0+9$
$=14$
【答案】
14
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，重点考查离差平方和的运算规则，只要牢记计算流程，准确求出平均数后按步骤运算即可，难度较低，需注意避免求和、平方运算的低级失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知甲组数据为1,2,3,4,5,乙组数据为6,7,8,9,x,如果两组数据的离差平方和相等,那么x=
5或10
.答案
2. 5或10 【点拨】甲组数据都加上4,得5,6,7,8,9,或甲组数据都加上5,得6,7,8,9,10.因为乙组数据是6,7,8,9,x,两组数据的离差平方和相等,所以x=5或10.
解析
【分析】
解题时我们可以利用离差平方和的核心性质：一组数据中每个数据同时加上（或减去）同一个常数，所得新数据的离差平方和与原数据相等，原因是每个数据与对应平均数的差值不变，因此平方和也不变。我们观察到乙组已有数据为6,7,8,9，只要将甲组数据整体加上同一个常数，得到的新数组包含6,7,8,9这四个数，剩下的数就是x的值，这样可以不用复杂计算快速解题。
【解析】
首先明确离差平方和的性质：将一组数据的所有数据加上同一个常数，离差平方和不变。
已知甲组数据为1,2,3,4,5：
1. 若将甲组每个数都加4，得到新数据5,6,7,8,9，该组数据的离差平方和与甲组相等，且包含乙组已有的6,7,8,9四个数，此时x=5；
2. 若将甲组每个数都加5，得到新数据6,7,8,9,10，该组数据的离差平方和也与甲组相等，同样包含乙组已有的四个数，此时x=10。
综上，x的值为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
离差平方和的性质、平均数的性质、数据平移规律
【点评】
本题考查离差平方和性质的灵活运用，相比于直接计算离差平方和列方程求解，利用数据平移后离差平方和不变的性质解题更简便，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.65
解题时我们可以利用离差平方和的核心性质：一组数据中每个数据同时加上（或减去）同一个常数，所得新数据的离差平方和与原数据相等，原因是每个数据与对应平均数的差值不变，因此平方和也不变。我们观察到乙组已有数据为6,7,8,9，只要将甲组数据整体加上同一个常数，得到的新数组包含6,7,8,9这四个数，剩下的数就是x的值，这样可以不用复杂计算快速解题。
【解析】
首先明确离差平方和的性质：将一组数据的所有数据加上同一个常数，离差平方和不变。
已知甲组数据为1,2,3,4,5：
1. 若将甲组每个数都加4，得到新数据5,6,7,8,9，该组数据的离差平方和与甲组相等，且包含乙组已有的6,7,8,9四个数，此时x=5；
2. 若将甲组每个数都加5，得到新数据6,7,8,9,10，该组数据的离差平方和也与甲组相等，同样包含乙组已有的四个数，此时x=10。
综上，x的值为5或10。
【答案】
5或10
【知识点】
离差平方和的性质、平均数的性质、数据平移规律
【点评】
本题考查离差平方和性质的灵活运用，相比于直接计算离差平方和列方程求解，利用数据平移后离差平方和不变的性质解题更简便，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.65
3. 已知一组数据1,2,3,5,x,它的平均数是3,则这组数据的方差是 （
A.2
B.3
C.4
D.10
A
）A.2
B.3
C.4
D.10
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路分两步：首先，题目给出了这组数据的平均数，我们可以利用“数据总和=平均数×数据个数”的关系，先求出未知数据x的值；其次，求方差需要知道所有数据，得到x后，再代入方差的计算公式就能算出结果。
【解析】
第一步：求未知数据x
这组数据共有5个，平均数是3，因此数据总和为：$3×5=15$
已知数据的和为：$1+2+3+5=11$
因此$x=15-11=4$
第二步：计算方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n=5$，平均数$\overline{x}=3$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[4+1+0+1+4]\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
因此方差是2，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.平均数的计算
2.方差的计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考查平均数和方差的公式应用，只要熟记两个基本公式，先求出未知数据再代入计算，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：首先，题目给出了这组数据的平均数，我们可以利用“数据总和=平均数×数据个数”的关系，先求出未知数据x的值；其次，求方差需要知道所有数据，得到x后，再代入方差的计算公式就能算出结果。
【解析】
第一步：求未知数据x
这组数据共有5个，平均数是3，因此数据总和为：$3×5=15$
已知数据的和为：$1+2+3+5=11$
因此$x=15-11=4$
第二步：计算方差
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n=5$，平均数$\overline{x}=3$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[4+1+0+1+4]\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
因此方差是2，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.平均数的计算
2.方差的计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是考查平均数和方差的公式应用，只要熟记两个基本公式，先求出未知数据再代入计算，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 母题 教材P₁₅₀素材 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为$s^2_甲$和$s^2_乙$，则$s^2_甲$和$s^2_乙$的大小关系是 （
A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.无法确定
A
）A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.无法确定
答案
4. A
解析
【分析】方差是衡量一组数据波动大小的统计量，数据波动越大、越分散，对应的方差就越大。解题时可以先观察两人成绩的离散程度初步判断，也可以分别提取两人的射击成绩，计算平均数后再根据方差公式算出具体方差值进行比较。
【解析】
方法1（根据方差意义判断）：
从统计图可直观看出，甲的成绩从5环到10环，分布更分散，波动幅度明显更大；乙的成绩从7环到10环，分布更集中，波动幅度更小。根据“波动越大，方差越大”的性质，可得甲的方差大于乙的方差。
方法2（计算验证）：
1. 甲的8次成绩为：5、10、9、5、8、7、6、6
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+5+8+7+6+6}{8}=7$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{8}×24=3$
2. 乙的8次成绩为：8、7、9、7、7、8、8、10
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+7+9+7+7+8+8+10}{8}=8$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{8}×8=1$
显然$3＞1$，即$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】A
【知识点】方差的意义、方差的计算
【点评】本题既可以通过观察数据离散程度快速判断，也可以通过计算准确比较，理解方差代表数据波动大小的性质是解题的核心。
【难度系数】0.8
【解析】
方法1（根据方差意义判断）：
从统计图可直观看出，甲的成绩从5环到10环，分布更分散，波动幅度明显更大；乙的成绩从7环到10环，分布更集中，波动幅度更小。根据“波动越大，方差越大”的性质，可得甲的方差大于乙的方差。
方法2（计算验证）：
1. 甲的8次成绩为：5、10、9、5、8、7、6、6
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+5+8+7+6+6}{8}=7$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{8}×24=3$
2. 乙的8次成绩为：8、7、9、7、7、8、8、10
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+7+9+7+7+8+8+10}{8}=8$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{8}×8=1$
显然$3＞1$，即$s^2_甲＞s^2_乙$。
【答案】A
【知识点】方差的意义、方差的计算
【点评】本题既可以通过观察数据离散程度快速判断，也可以通过计算准确比较，理解方差代表数据波动大小的性质是解题的核心。
【难度系数】0.8
5.某小组五位同学参加某次考试(满分20分)的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（
A.$\sqrt{3}$分
B.2分
C.$\sqrt{6}$分
D.6分
B
）A.$\sqrt{3}$分
B.2分
C.$\sqrt{6}$分
D.6分
答案
5. B 【点拨】设三位男生的成绩分别为a分、b分、c分.因为两位女生的成绩分别为17分、15分,所以三位男生成绩的平均数是(16×5−17−15)÷3=16(分).所以三位男生成绩的方差=$\frac{1}{3}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2]=6$,所以$(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2=18$,所以这五位同学成绩的方差=$\frac{1}{5}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2+(17-16)^2+(15-16)^2]=\frac{1}{5}×(18+1+1)=4$,所以这五位同学成绩的标准差是$\sqrt{4}=2$(分).
解析
【分析】
要计算五位同学成绩的标准差，需先求出这组数据的方差，标准差是方差的算术平方根。计算方差需要得到所有数据与总平均数差的平方和，我们可以将数据拆分为男生、女生两部分分别计算：首先根据五位同学的平均成绩算出总成绩，减去两名女生的成绩得到三名男生的总成绩，进而得到男生的平均成绩；再结合已知的男生方差求出男生成绩与均值差的平方和，最后加上女生成绩与总均值差的平方和，代入方差公式算出整体方差后开方即可得到标准差。
【解析】
设三位男生的成绩分别为$a$分、$b$分、$c$分。
1. 计算三位男生的平均成绩：
五位同学的平均成绩为16分，因此五位同学总成绩为$16×5=80$分，
两位女生成绩为17分、15分，因此三位男生总成绩为$80-17-15=48$分，
三位男生的平均成绩为$48÷3=16$分，与总平均成绩相等。
2. 计算三位男生成绩的离均差平方和：
已知三位男生成绩的方差为6，根据方差公式可得：
$\frac{1}{3}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2]=6$，
因此$(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2=6×3=18$。
3. 计算五位同学成绩的方差：
根据方差公式，五位同学成绩的方差为：
$\frac{1}{5}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2+(17-16)^2+(15-16)^2]$
$=\frac{1}{5}×(18+1+1)=4$
4. 计算标准差：
标准差为方差的算术平方根，因此标准差为$\sqrt{4}=2$分。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、标准差的计算
【点评】
本题核心考查方差和标准差的计算，解题时不需要单独求出每位男生的成绩，利用整体思想计算男生成绩的离均差平方和可大幅简化计算过程，需注意计算整体方差时除数为数据总个数，不要和部分数据的方差计算规则混淆。
【难度系数】
0.6
要计算五位同学成绩的标准差，需先求出这组数据的方差，标准差是方差的算术平方根。计算方差需要得到所有数据与总平均数差的平方和，我们可以将数据拆分为男生、女生两部分分别计算：首先根据五位同学的平均成绩算出总成绩，减去两名女生的成绩得到三名男生的总成绩，进而得到男生的平均成绩；再结合已知的男生方差求出男生成绩与均值差的平方和，最后加上女生成绩与总均值差的平方和，代入方差公式算出整体方差后开方即可得到标准差。
【解析】
设三位男生的成绩分别为$a$分、$b$分、$c$分。
1. 计算三位男生的平均成绩：
五位同学的平均成绩为16分，因此五位同学总成绩为$16×5=80$分，
两位女生成绩为17分、15分，因此三位男生总成绩为$80-17-15=48$分，
三位男生的平均成绩为$48÷3=16$分，与总平均成绩相等。
2. 计算三位男生成绩的离均差平方和：
已知三位男生成绩的方差为6，根据方差公式可得：
$\frac{1}{3}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2]=6$，
因此$(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2=6×3=18$。
3. 计算五位同学成绩的方差：
根据方差公式，五位同学成绩的方差为：
$\frac{1}{5}×[(a-16)^2+(b-16)^2+(c-16)^2+(17-16)^2+(15-16)^2]$
$=\frac{1}{5}×(18+1+1)=4$
4. 计算标准差：
标准差为方差的算术平方根，因此标准差为$\sqrt{4}=2$分。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、标准差的计算
【点评】
本题核心考查方差和标准差的计算，解题时不需要单独求出每位男生的成绩，利用整体思想计算男生成绩的离均差平方和可大幅简化计算过程，需注意计算整体方差时除数为数据总个数，不要和部分数据的方差计算规则混淆。
【难度系数】
0.6
6. 甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位:厘米)如下:
甲队: 178，177，179，178，177，178，177，179，178,179；
乙队: 178，179，176，178，180，178，176，178，177,180.
(1)将下表填完整:
(2)甲队队员身高的平均数为
(3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐?请从方差的角度说明理由.
甲队: 178，177，179，178，177，178，177，179，178,179；
乙队: 178，179，176，178，180，178，176，178，177,180.
(1)将下表填完整:
(2)甲队队员身高的平均数为
178
厘米,乙队队员身高的平均数为178
厘米.(3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐?请从方差的角度说明理由.
答案
6.【解】(1)3;4;2
(2)178;178
(3)$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2+4×(178-178)^2+3×(179-178)^2]=0.6$,
$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2+(177-178)^2+4×(178-178)^2+(179-178)^2+2×(180-178)^2]=1.8$.
因为$s_甲^2＜s_乙^2$,
所以甲仪仗队身高更为整齐.
(2)178;178
(3)$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2+4×(178-178)^2+3×(179-178)^2]=0.6$,
$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2+(177-178)^2+4×(178-178)^2+(179-178)^2+2×(180-178)^2]=1.8$.
因为$s_甲^2＜s_乙^2$,
所以甲仪仗队身高更为整齐.
解析
【分析】
(1) 填表题只需分别统计对应身高的出现次数：先统计甲队中身高179cm的人数，再统计乙队中身高178cm、180cm的人数，逐个计数即可。
(2) 计算平均数使用加权平均数公式更简便：将各身高值乘以对应人数求和，再除以总人数10就能得到结果。
(3) 判断哪支队伍身高更整齐需要用到方差的性质：方差越小，数据波动越小，身高越整齐。先分别计算两队身高的方差，再比较方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 统计甲队身高数据，179cm共出现3次，故甲队179对应栏填3；统计乙队身高数据，178cm共出现4次，180cm共出现2次，故乙队178、180对应栏分别填4、2。
(2) 计算两队平均身高：
甲队平均身高：$\bar{x}_甲=\frac{177×3 + 178×4 + 179×3}{10}=\frac{1780}{10}=178$（厘米）
乙队平均身高：$\bar{x}_乙=\frac{176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2}{10}=\frac{1780}{10}=178$（厘米）
(3) 计算两队身高的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2+4×(178-178)^2+3×(179-178)^2]=\frac{1}{10}×(3×1+0+3×1)=0.6$
$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2+(177-178)^2+4×(178-178)^2+(179-178)^2+2×(180-178)^2]=\frac{1}{10}×(2×4+1×1+0+1×1+2×4)=1.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲队身高波动更小，因此甲仪仗队身高更为整齐。
【答案】
(1)3；4；2
(2)178；178
(3)甲仪仗队身高更为整齐，理由：甲队身高方差小于乙队，身高波动更小。
【知识点】
加权平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查统计相关知识，解题时需准确统计频数，熟练掌握平均数和方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质即可解答，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 填表题只需分别统计对应身高的出现次数：先统计甲队中身高179cm的人数，再统计乙队中身高178cm、180cm的人数，逐个计数即可。
(2) 计算平均数使用加权平均数公式更简便：将各身高值乘以对应人数求和，再除以总人数10就能得到结果。
(3) 判断哪支队伍身高更整齐需要用到方差的性质：方差越小，数据波动越小，身高越整齐。先分别计算两队身高的方差，再比较方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 统计甲队身高数据，179cm共出现3次，故甲队179对应栏填3；统计乙队身高数据，178cm共出现4次，180cm共出现2次，故乙队178、180对应栏分别填4、2。
(2) 计算两队平均身高：
甲队平均身高：$\bar{x}_甲=\frac{177×3 + 178×4 + 179×3}{10}=\frac{1780}{10}=178$（厘米）
乙队平均身高：$\bar{x}_乙=\frac{176×2 + 177×1 + 178×4 + 179×1 + 180×2}{10}=\frac{1780}{10}=178$（厘米）
(3) 计算两队身高的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{10}[3×(177-178)^2+4×(178-178)^2+3×(179-178)^2]=\frac{1}{10}×(3×1+0+3×1)=0.6$
$s_乙^2=\frac{1}{10}[2×(176-178)^2+(177-178)^2+4×(178-178)^2+(179-178)^2+2×(180-178)^2]=\frac{1}{10}×(2×4+1×1+0+1×1+2×4)=1.8$
因为$s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲队身高波动更小，因此甲仪仗队身高更为整齐。
【答案】
(1)3；4；2
(2)178；178
(3)甲仪仗队身高更为整齐，理由：甲队身高方差小于乙队，身高波动更小。
【知识点】
加权平均数计算，方差计算，方差的意义
【点评】
本题结合生活场景考查统计相关知识，解题时需准确统计频数，熟练掌握平均数和方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的性质即可解答，是统计部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7.用计算器求数据65,67,69,70,71,73,75,68,66,71的方差为
8.85
，标准差是2.975
（标准差精确到0.001）。答案
7. 8.85;2.975
解析
【分析】
求解本题需要遵循方差、标准差的计算逻辑：①先计算这组数据的平均数；②依次计算每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和；③用离差平方和除以数据总个数，得到方差；④对求得的方差取算术平方根，按要求精确到0.001即为标准差。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
数据共有10个，总和为：$65+67+69+70+71+73+75+68+66+71=695$
平均数$\bar{x}=\frac{695}{10}=69.5$
步骤2：计算方差$s^2$
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}[(65-69.5)^2+(67-69.5)^2+(69-69.5)^2+(70-69.5)^2+(71-69.5)^2+(73-69.5)^2+(75-69.5)^2+(68-69.5)^2+(66-69.5)^2+(71-69.5)^2]\\&=\frac{1}{10}(20.25+6.25+0.25+0.25+2.25+12.25+30.25+2.25+12.25+2.25)\\&=\frac{1}{10}×88.5\\&=8.85\end{aligned}$
步骤3：计算标准差$s$
标准差是方差的算术平方根，因此$s=\sqrt{8.85}\approx2.975$
【答案】
8.85；2.975
【知识点】
平均数计算；方差计算；标准差计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是牢记方差、标准差的计算步骤，计算过程中要注意运算准确性，尤其是离差平方求和、开方运算的结果要符合题目精度要求。
【难度系数】
0.8
求解本题需要遵循方差、标准差的计算逻辑：①先计算这组数据的平均数；②依次计算每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和；③用离差平方和除以数据总个数，得到方差；④对求得的方差取算术平方根，按要求精确到0.001即为标准差。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
数据共有10个，总和为：$65+67+69+70+71+73+75+68+66+71=695$
平均数$\bar{x}=\frac{695}{10}=69.5$
步骤2：计算方差$s^2$
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}[(65-69.5)^2+(67-69.5)^2+(69-69.5)^2+(70-69.5)^2+(71-69.5)^2+(73-69.5)^2+(75-69.5)^2+(68-69.5)^2+(66-69.5)^2+(71-69.5)^2]\\&=\frac{1}{10}(20.25+6.25+0.25+0.25+2.25+12.25+30.25+2.25+12.25+2.25)\\&=\frac{1}{10}×88.5\\&=8.85\end{aligned}$
步骤3：计算标准差$s$
标准差是方差的算术平方根，因此$s=\sqrt{8.85}\approx2.975$
【答案】
8.85；2.975
【知识点】
平均数计算；方差计算；标准差计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是牢记方差、标准差的计算步骤，计算过程中要注意运算准确性，尤其是离差平方求和、开方运算的结果要符合题目精度要求。
【难度系数】
0.8
8. 淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：
。关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；③众数是5；④$n=3$。其中不 正 确 的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
。关于这组数据，下列结论：①平均数是4；②离差平方和是1.5；③众数是5；④$n=3$。其中B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. B 【点拨】由题意可知这组数据为2,4,5,5,所以平均数为$\frac{2+4+5+5}{4}=4$,故①正确;所以离差平方和为$(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2=6$,故②不正确;因为5出现的次数最多,所以众数为5,故③正确;共有4个数,所以n=4,故④不正确.所以不正确的结论有2个,故选B.
解析
【分析】
要判断各个结论是否正确，首先需要根据方差的计算公式还原原始数据、确定数据个数n：方差的算式中，分子是每个数据与平均数差的平方和，有几个平方项就对应几个数据，平方项里被减的数就是原始数据。之后再依次计算平均数、离差平方和、众数，逐一核对四个结论即可。
【解析】
首先根据给出的方差算式可知，分子共有4个平方项，因此这组数据为2、4、5、5，数据个数$n=4$，故结论④“$n=3$”错误。
1. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+4+5+5}{4}=4$，故结论①正确。
2. 计算离差平方和：$(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2=1+4+1+0=6$，故结论②“离差平方和是1.5”错误。
3. 求众数：数据5出现的次数最多（2次），因此众数是5，故结论③正确。
综上，不正确的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的概念
【点评】
本题核心是考查对方差计算公式的理解，需要学生能从方差的未化简表达式中提取原始数据，再结合平均数、众数、离差平方和的定义逐一判断，属于基础的统计概念应用题。
【难度系数】
0.7
要判断各个结论是否正确，首先需要根据方差的计算公式还原原始数据、确定数据个数n：方差的算式中，分子是每个数据与平均数差的平方和，有几个平方项就对应几个数据，平方项里被减的数就是原始数据。之后再依次计算平均数、离差平方和、众数，逐一核对四个结论即可。
【解析】
首先根据给出的方差算式可知，分子共有4个平方项，因此这组数据为2、4、5、5，数据个数$n=4$，故结论④“$n=3$”错误。
1. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{2+4+5+5}{4}=4$，故结论①正确。
2. 计算离差平方和：$(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2=1+4+1+0=6$，故结论②“离差平方和是1.5”错误。
3. 求众数：数据5出现的次数最多（2次），因此众数是5，故结论③正确。
综上，不正确的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的概念
【点评】
本题核心是考查对方差计算公式的理解，需要学生能从方差的未化简表达式中提取原始数据，再结合平均数、众数、离差平方和的定义逐一判断，属于基础的统计概念应用题。
【难度系数】
0.7
9.[2026邢台期中]在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是$s^2$，则
（
A.$s^2=3.64$
B.$s^2＜3.64$
C.$s^2＞3.64$
D.无法判断
（
B
）A.$s^2=3.64$
B.$s^2＜3.64$
C.$s^2＞3.64$
D.无法判断
答案
9. B 【点拨】由题意可知,录入有误的两个数的和为9+17=26,实际的两个数的和为12+14=26,所以更正后实际成绩的平均数与原来的平均数相同,为13.8秒.因为$|9-13.8|＞|12-13.8|$,$|17-13.8|＞|14-13.8|$,所以更正后方差变小,即$s^2＜3.64$.
解析
【分析】
解题时先围绕方差的计算逻辑思考：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，要比较更正后方差和原方差的大小，分三步推导：第一步，先验证更正的两个成绩的和是否相等，结合漏掉的成绩等于原平均数，判断新的平均数是否和原平均数一致；第二步，对比错误成绩和正确成绩的离均差平方的大小，结合漏掉的成绩的离均差平方为0，判断总离均差平方和的变化；第三步，结合数据总数从19变为20，根据方差公式判断最终方差的大小。
【解析】
1. 判断更正后的平均数：
错误录入的2个成绩和为$9+17=26$，更正后的2个成绩和为$12+14=26$，二者相等，因此原来19个录入数据更正这两个成绩后总和不变，仍为$19×13.8$。
漏掉的运动员成绩为13.8，和原平均成绩相同，因此更正后20个运动员的总成绩为$19×13.8 +13.8=20×13.8$，可得更正后的平均成绩仍为13.8秒，和原平均成绩一致。
2. 分析离均差平方和的变化：
原错误的两个成绩与平均数的差的平方和为：$(9-13.8)^2 + (17-13.8)^2=33.28$；
更正后的两个成绩与平均数的差的平方和为：$(12-13.8)^2 + (14-13.8)^2=3.28$，明显小于错误的平方和。
新增的漏掉的成绩是13.8，与平均数的差为0，对应的离均差平方为0，因此更正后20个数据的总离均差平方和，比原来19个数据的总离均差平方和小。
3. 比较方差大小：
原方差$3.64=\frac{\mathrm{原19个数据的总离均差平方和}}{19}$，更正后方差$s^2=\frac{\mathrm{更正后的总离均差平方和}}{20}$，分子变小、分母变大，因此$s^2＜3.64$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的定义，方差的性质
【点评】
本题考查方差的意义与计算逻辑，解题核心是先确定更正前后平均数不变，再通过对比离均差平方和的变化、结合数据总数的变化推导方差大小，无需复杂计算即可得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时先围绕方差的计算逻辑思考：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，要比较更正后方差和原方差的大小，分三步推导：第一步，先验证更正的两个成绩的和是否相等，结合漏掉的成绩等于原平均数，判断新的平均数是否和原平均数一致；第二步，对比错误成绩和正确成绩的离均差平方的大小，结合漏掉的成绩的离均差平方为0，判断总离均差平方和的变化；第三步，结合数据总数从19变为20，根据方差公式判断最终方差的大小。
【解析】
1. 判断更正后的平均数：
错误录入的2个成绩和为$9+17=26$，更正后的2个成绩和为$12+14=26$，二者相等，因此原来19个录入数据更正这两个成绩后总和不变，仍为$19×13.8$。
漏掉的运动员成绩为13.8，和原平均成绩相同，因此更正后20个运动员的总成绩为$19×13.8 +13.8=20×13.8$，可得更正后的平均成绩仍为13.8秒，和原平均成绩一致。
2. 分析离均差平方和的变化：
原错误的两个成绩与平均数的差的平方和为：$(9-13.8)^2 + (17-13.8)^2=33.28$；
更正后的两个成绩与平均数的差的平方和为：$(12-13.8)^2 + (14-13.8)^2=3.28$，明显小于错误的平方和。
新增的漏掉的成绩是13.8，与平均数的差为0，对应的离均差平方为0，因此更正后20个数据的总离均差平方和，比原来19个数据的总离均差平方和小。
3. 比较方差大小：
原方差$3.64=\frac{\mathrm{原19个数据的总离均差平方和}}{19}$，更正后方差$s^2=\frac{\mathrm{更正后的总离均差平方和}}{20}$，分子变小、分母变大，因此$s^2＜3.64$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的定义，方差的性质
【点评】
本题考查方差的意义与计算逻辑，解题核心是先确定更正前后平均数不变，再通过对比离均差平方和的变化、结合数据总数的变化推导方差大小，无需复杂计算即可得出结论。
【难度系数】
0.7
