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10.[2026烟台期末] 某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为85分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为
$m＞n$
.答案
10. $m＞n$
解析
【分析】
要比较m和n的大小，需先明确方差的含义与计算方法：方差是衡量一组数据波动大小的量，计算时先求数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。首先计算原5个数据的平均数，发现新增的两个成绩均等于原平均数，此时两组数据的离均差平方和不变，但数据总个数增加，根据方差公式可判断方差的大小变化，也可分别计算m、n的具体数值比较。
【解析】
第一步：计算原5位同学成绩的平均数
$\overline{x}_\mathrm{原}=\frac{81+83+89+85+87}{5}=85$（分）
第二步：计算原方差m
$m=\frac{1}{5}×[(81-85)^2+(83-85)^2+(89-85)^2+(85-85)^2+(87-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(16+4+16+0+4)=\frac{40}{5}=8$
第三步：计算加入两人后7位同学成绩的平均数
$\overline{x}_\mathrm{新}=\frac{81+83+89+85+87+85+85}{7}=85$（分）
第四步：计算新方差n
$n=\frac{1}{7}×[(81-85)^2+(83-85)^2+(89-85)^2+(85-85)^2+(87-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2]$
$=\frac{1}{7}×(16+4+16+0+4+0+0)=\frac{40}{7}\approx5.71$
因为$8＞\frac{40}{7}$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＞n$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是先求出原数据的平均数，发现新增数据等于原平均数时，离均差平方和不变，数据量增大，方差减小，既可以通过公式计算数值比较，也可以根据方差的意义直接判断波动变化，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
要比较m和n的大小，需先明确方差的含义与计算方法：方差是衡量一组数据波动大小的量，计算时先求数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均数。首先计算原5个数据的平均数，发现新增的两个成绩均等于原平均数，此时两组数据的离均差平方和不变，但数据总个数增加，根据方差公式可判断方差的大小变化，也可分别计算m、n的具体数值比较。
【解析】
第一步：计算原5位同学成绩的平均数
$\overline{x}_\mathrm{原}=\frac{81+83+89+85+87}{5}=85$（分）
第二步：计算原方差m
$m=\frac{1}{5}×[(81-85)^2+(83-85)^2+(89-85)^2+(85-85)^2+(87-85)^2]$
$=\frac{1}{5}×(16+4+16+0+4)=\frac{40}{5}=8$
第三步：计算加入两人后7位同学成绩的平均数
$\overline{x}_\mathrm{新}=\frac{81+83+89+85+87+85+85}{7}=85$（分）
第四步：计算新方差n
$n=\frac{1}{7}×[(81-85)^2+(83-85)^2+(89-85)^2+(85-85)^2+(87-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2]$
$=\frac{1}{7}×(16+4+16+0+4+0+0)=\frac{40}{7}\approx5.71$
因为$8＞\frac{40}{7}$，所以$m＞n$。
【答案】
$m＞n$
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是先求出原数据的平均数，发现新增数据等于原平均数时，离均差平方和不变，数据量增大，方差减小，既可以通过公式计算数值比较，也可以根据方差的意义直接判断波动变化，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
11. 已知一组数据$x_1 -1, x_2 -1, \dots, x_n -1$的平均数是$m$，方差是$k$，则另一组数据$2x_1 +3, 2x_2 +3, \dots, 2x_n +3$的平均数是
$2m+5$
，方差是$4k$
。答案
11. $2m+5;4k$ 【点拨】因为$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的平均数是$m$,方差是$k$,所以数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$m+1$,方差是$k$,所以数据$2x_1+3,2x_2+3,\dots,2x_n+3$的平均数是$2(m+1)+3=2m+5$,方差是$2^2·k=4k$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用平均数和方差的变换规律逐步推导：首先从已知的$x_i-1$的平均数、方差出发，先推导原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数和方差：平均数的变化规律为一组数据所有元素加减同一个常数时，平均数也对应加减该常数；方差的变化规律为一组数据所有元素加减同一个常数时，方差不变，因为数据的离散程度没有改变。得到原数据的统计量后，再推导$2x_i+3$的统计量：此时平均数会对应乘2再加3，方差只需乘2的平方即可，因为加减常数不影响方差。
【解析】
解：①先求原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数和方差：
已知$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的平均数为$m$，根据平均数的性质，一组数据每个数都减1，平均数也减1，因此原数据的平均数为$m+1$；
已知$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的方差为$k$，根据方差的性质，一组数据每个数加减同一个常数，方差不变，因此原数据的方差为$k$。
②再求新数据$2x_1+3,2x_2+3,\dots,2x_n+3$的平均数和方差：
根据平均数的性质，若一组数据每个数都乘$a$再加$b$，新平均数为原平均数$× a + b$，因此新数据的平均数为：
$2×(m+1)+3=2m+5$
根据方差的性质，若一组数据每个数都乘$a$再加$b$，新方差为原方差$× a^2$（加减常数不改变方差），因此新数据的方差为：
$2^2× k=4k$
【答案】
$2m+5$；$4k$
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换下平均数和方差的变化规律，解题核心是明确加减常数、乘常数对两类统计量的不同影响，尤其要注意方差的变化是乘常数的平方，不要和平均数的变化规律混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用平均数和方差的变换规律逐步推导：首先从已知的$x_i-1$的平均数、方差出发，先推导原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数和方差：平均数的变化规律为一组数据所有元素加减同一个常数时，平均数也对应加减该常数；方差的变化规律为一组数据所有元素加减同一个常数时，方差不变，因为数据的离散程度没有改变。得到原数据的统计量后，再推导$2x_i+3$的统计量：此时平均数会对应乘2再加3，方差只需乘2的平方即可，因为加减常数不影响方差。
【解析】
解：①先求原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数和方差：
已知$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的平均数为$m$，根据平均数的性质，一组数据每个数都减1，平均数也减1，因此原数据的平均数为$m+1$；
已知$x_1-1,x_2-1,\dots,x_n-1$的方差为$k$，根据方差的性质，一组数据每个数加减同一个常数，方差不变，因此原数据的方差为$k$。
②再求新数据$2x_1+3,2x_2+3,\dots,2x_n+3$的平均数和方差：
根据平均数的性质，若一组数据每个数都乘$a$再加$b$，新平均数为原平均数$× a + b$，因此新数据的平均数为：
$2×(m+1)+3=2m+5$
根据方差的性质，若一组数据每个数都乘$a$再加$b$，新方差为原方差$× a^2$（加减常数不改变方差），因此新数据的方差为：
$2^2× k=4k$
【答案】
$2m+5$；$4k$
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换下平均数和方差的变化规律，解题核心是明确加减常数、乘常数对两类统计量的不同影响，尤其要注意方差的变化是乘常数的平方，不要和平均数的变化规律混淆。
【难度系数】
0.7
12. [2026南京玄武区期末] 体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表：
(1)根据所给数据完成上表.
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义.
(3)如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变.你认为小明的说法对吗？请说出你的理由.
(1)根据所给数据完成上表.
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义.
(3)如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变.你认为小明的说法对吗？请说出你的理由.
答案
12.【解】(1)$\frac{119}{3};93$ 【点拨】$s_甲^2=\frac{1}{6}[(96-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(94-92)^2+(101-92)^2+(81-92)^2]=\frac{119}{3}$.乙组6号同学在规定时间内的跳绳次数为$6×93-(95+96+87+93+94)=93$.
(2)甲组中第一个92表示:甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92;第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92.
(3)不对.理由如下:因为乙组的平均数为93,所以如果乙组中再增加一名学生,且他在规定时间内的跳绳次数为93,则平均数不会变化.增加一名学生后的$s_乙^2=\frac{1}{7}×[(95-93)^2+(96-93)^2+(87-93)^2+(93-93)^2×3+(94-93)^2]=\frac{50}{7}$,所以方差发生改变.
(2)甲组中第一个92表示:甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92;第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92.
(3)不对.理由如下:因为乙组的平均数为93,所以如果乙组中再增加一名学生,且他在规定时间内的跳绳次数为93,则平均数不会变化.增加一名学生后的$s_乙^2=\frac{1}{7}×[(95-93)^2+(96-93)^2+(87-93)^2+(93-93)^2×3+(94-93)^2]=\frac{50}{7}$,所以方差发生改变.
解析
【分析】
(1) 计算甲组方差时，直接套用方差公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，已知甲组平均数为92，共6个数据，代入计算即可；求乙组6号的成绩，利用“总数=平均数×个数”先算出乙组6人的总次数，减去已知5人的次数和就能得到结果。
(2) 区分数据所在位置的意义：第一个92在2号对应的成绩栏，是单个同学的跳绳成绩；第二个92在甲组平均数栏，是甲组所有同学成绩的平均水平。
(3) 判断小明的说法时，先分析平均数：新增数据等于原平均数，因此新的平均数不变；再分析方差：新增数据后统计的总个数变化，虽然新增数据的离差平方为0，但是方差公式中分母变大，因此方差会变小，由此可判断小明的说法错误。
【解析】
(1) 计算甲组的方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入甲组数据：
$s^2_甲=\frac{1}{6}[(96-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(94-92)^2+(101-92)^2+(81-92)^2]$
$=\frac{1}{6}[16+0+16+4+81+121]$
$=\frac{238}{6}=\frac{119}{3}$
计算乙组6号的跳绳次数：
乙组6人总次数为$6×93=558$，已知5人次数和为$95+96+87+93+94=465$，
因此6号的次数为$558-465=93$。
(2) 甲组第一个92在2号同学的成绩对应位置，意义为：甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92；
第二个92在甲组平均数对应位置，意义为：甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92。
(3) 小明的说法不对，理由如下：
① 平均数：原乙组平均数为93，新增成绩为93，因此新的平均数为$\frac{6×93+93}{7}=93$，平均数不变；
② 方差：原乙组离差平方和为$6×\frac{25}{3}=50$，新增数据的离差平方为$(93-93)^2=0$，因此新的离差平方和仍为50，新方差为$s^2_{乙新}=\frac{50}{7}$，和原方差$\frac{25}{3}$不相等，因此方差发生改变。
【答案】
(1) $\frac{119}{3}$；$93$
(2) 第一个92表示甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92；第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92。
(3) 不对，平均数不变，方差发生改变。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际跳绳比赛的场景，考查了平均数、方差的计算和概念理解，需要注意区分个体数据和统计量的不同意义，在判断新增数据对方差的影响时，不要忽略数据个数变化对方差结果的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 计算甲组方差时，直接套用方差公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，已知甲组平均数为92，共6个数据，代入计算即可；求乙组6号的成绩，利用“总数=平均数×个数”先算出乙组6人的总次数，减去已知5人的次数和就能得到结果。
(2) 区分数据所在位置的意义：第一个92在2号对应的成绩栏，是单个同学的跳绳成绩；第二个92在甲组平均数栏，是甲组所有同学成绩的平均水平。
(3) 判断小明的说法时，先分析平均数：新增数据等于原平均数，因此新的平均数不变；再分析方差：新增数据后统计的总个数变化，虽然新增数据的离差平方为0，但是方差公式中分母变大，因此方差会变小，由此可判断小明的说法错误。
【解析】
(1) 计算甲组的方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入甲组数据：
$s^2_甲=\frac{1}{6}[(96-92)^2+(92-92)^2+(88-92)^2+(94-92)^2+(101-92)^2+(81-92)^2]$
$=\frac{1}{6}[16+0+16+4+81+121]$
$=\frac{238}{6}=\frac{119}{3}$
计算乙组6号的跳绳次数：
乙组6人总次数为$6×93=558$，已知5人次数和为$95+96+87+93+94=465$，
因此6号的次数为$558-465=93$。
(2) 甲组第一个92在2号同学的成绩对应位置，意义为：甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92；
第二个92在甲组平均数对应位置，意义为：甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92。
(3) 小明的说法不对，理由如下：
① 平均数：原乙组平均数为93，新增成绩为93，因此新的平均数为$\frac{6×93+93}{7}=93$，平均数不变；
② 方差：原乙组离差平方和为$6×\frac{25}{3}=50$，新增数据的离差平方为$(93-93)^2=0$，因此新的离差平方和仍为50，新方差为$s^2_{乙新}=\frac{50}{7}$，和原方差$\frac{25}{3}$不相等，因此方差发生改变。
【答案】
(1) $\frac{119}{3}$；$93$
(2) 第一个92表示甲组2号同学在规定时间内的跳绳次数为92；第二个92表示甲组六名同学在规定时间内跳绳次数的平均数为92。
(3) 不对，平均数不变，方差发生改变。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际跳绳比赛的场景，考查了平均数、方差的计算和概念理解，需要注意区分个体数据和统计量的不同意义，在判断新增数据对方差的影响时，不要忽略数据个数变化对方差结果的影响。
【难度系数】
0.7
13. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位:cm)，数据如下：
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175.
(1)求这16名学生身高的平均数和众数.
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在下列两组学生中，
甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166
乙组学生的身高/cm
162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168 cm,168 cm,172 cm，他们的身高的方差为$s^2=\frac{32}{9}$，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为多少？
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175.
(1)求这16名学生身高的平均数和众数.
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在下列两组学生中，
甲
组舞台呈现效果更好.甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166
乙组学生的身高/cm
162 164 165 175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168 cm,168 cm,172 cm，他们的身高的方差为$s^2=\frac{32}{9}$，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为多少？
答案
13.【解】(1)这组数据中出现次数最多的数是165,出现了3次,所以这16名学生身高的众数为165 cm.
这16名学生身高的平均数为$(161+162+162+164+165+165+165+166+166+167+168+168+170+172+172+175)÷16=166.75(cm)$.
(2)甲 【点拨】甲组身高的平均数为$\frac{1}{5}(162+165+165+166+166)=164.8(cm)$,
则甲组身高的方差为$\frac{1}{5}[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$.
乙组身高的平均数为$\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4(cm)$,
则乙组身高的方差为$\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$.
因为$25.04＞2.16$,
所以舞台呈现效果更好的是甲组.
(3)因为168,168,172的平均数为$\frac{1}{3}×(168+168+172)=169\frac{1}{3}$,且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$且五名学生身高的平均数尽可能大,所以数据的差别要小.所以可供选择的有170和172,此时平均数为$\frac{1}{5}×(168+168+170+172+172)=170$,方差为$\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2＜\frac{32}{9}$,符合题意.故选出的另外两名学生的身高分别为170 cm和172 cm.
这16名学生身高的平均数为$(161+162+162+164+165+165+165+166+166+167+168+168+170+172+172+175)÷16=166.75(cm)$.
(2)甲 【点拨】甲组身高的平均数为$\frac{1}{5}(162+165+165+166+166)=164.8(cm)$,
则甲组身高的方差为$\frac{1}{5}[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$.
乙组身高的平均数为$\frac{1}{5}(161+162+164+165+175)=165.4(cm)$,
则乙组身高的方差为$\frac{1}{5}[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$.
因为$25.04＞2.16$,
所以舞台呈现效果更好的是甲组.
(3)因为168,168,172的平均数为$\frac{1}{3}×(168+168+172)=169\frac{1}{3}$,且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$且五名学生身高的平均数尽可能大,所以数据的差别要小.所以可供选择的有170和172,此时平均数为$\frac{1}{5}×(168+168+170+172+172)=170$,方差为$\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2＜\frac{32}{9}$,符合题意.故选出的另外两名学生的身高分别为170 cm和172 cm.
解析
【分析】
(1) 求众数只需统计每个身高数据出现的次数，出现次数最多的即为众数；求平均数将所有身高的总和除以总人数16即可。
(2) 要判断哪组舞台呈现效果更好，根据题意需比较两组身高的方差：先分别计算甲、乙两组的平均身高，再依据方差公式计算两组方差，方差更小的组效果更好。
(3) 首先计算已确定的三名学生的平均身高，要使五人方差变小，选择的身高需尽量接近这个平均值；同时要让五人的平均数尽可能大，因此在剩余可选身高中优先选择数值较大且和平均身高偏差小的两个，再代入验证方差是否符合要求即可。
【解析】
(1) 统计16个身高数据：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175，其中165出现次数最多，共3次，因此众数为165 cm。
平均数计算：
$\overline{x}=\frac{161+162+162+164+165+165+165+166+166+167+168+168+170+172+172+175}{16}=166.75(\mathrm{cm})$
(2) 计算甲组平均身高：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8(\mathrm{cm})$
甲组方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$
计算乙组平均身高：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4(\mathrm{cm})$
乙组方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$2.16＜25.04$，即甲组方差更小，所以甲组舞台呈现效果更好。
(3) 已确定的三名学生身高的平均数为：$\overline{x}_3=\frac{168+168+172}{3}=169\frac{1}{3}$。
要使五人方差小于$\frac{32}{9}$且平均数尽可能大，需选择尽量接近$169\frac{1}{3}$且数值较大的身高，选择170和172验证：
此时五人的平均身高为：$\overline{x}_5=\frac{168+168+170+172+172}{5}=170(\mathrm{cm})$
方差为：
$s^2_5=\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2$
因为$3.2＜\frac{32}{9}\approx3.56$，满足方差变小的要求，且平均数达到较大值，符合条件。
【答案】
(1) 平均数为166.75 cm，众数为165 cm；
(2) 甲；
(3) 170 cm和172 cm。
【知识点】
平均数计算、众数判定、方差的计算与应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计量相关知识，解题核心是理解各统计量的实际意义，能根据需求选择合适的统计量进行计算判断，既考查基础计算能力，也考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求众数只需统计每个身高数据出现的次数，出现次数最多的即为众数；求平均数将所有身高的总和除以总人数16即可。
(2) 要判断哪组舞台呈现效果更好，根据题意需比较两组身高的方差：先分别计算甲、乙两组的平均身高，再依据方差公式计算两组方差，方差更小的组效果更好。
(3) 首先计算已确定的三名学生的平均身高，要使五人方差变小，选择的身高需尽量接近这个平均值；同时要让五人的平均数尽可能大，因此在剩余可选身高中优先选择数值较大且和平均身高偏差小的两个，再代入验证方差是否符合要求即可。
【解析】
(1) 统计16个身高数据：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175，其中165出现次数最多，共3次，因此众数为165 cm。
平均数计算：
$\overline{x}=\frac{161+162+162+164+165+165+165+166+166+167+168+168+170+172+172+175}{16}=166.75(\mathrm{cm})$
(2) 计算甲组平均身高：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8(\mathrm{cm})$
甲组方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$
计算乙组平均身高：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4(\mathrm{cm})$
乙组方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$2.16＜25.04$，即甲组方差更小，所以甲组舞台呈现效果更好。
(3) 已确定的三名学生身高的平均数为：$\overline{x}_3=\frac{168+168+172}{3}=169\frac{1}{3}$。
要使五人方差小于$\frac{32}{9}$且平均数尽可能大，需选择尽量接近$169\frac{1}{3}$且数值较大的身高，选择170和172验证：
此时五人的平均身高为：$\overline{x}_5=\frac{168+168+170+172+172}{5}=170(\mathrm{cm})$
方差为：
$s^2_5=\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2$
因为$3.2＜\frac{32}{9}\approx3.56$，满足方差变小的要求，且平均数达到较大值，符合条件。
【答案】
(1) 平均数为166.75 cm，众数为165 cm；
(2) 甲；
(3) 170 cm和172 cm。
【知识点】
平均数计算、众数判定、方差的计算与应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计量相关知识，解题核心是理解各统计量的实际意义，能根据需求选择合适的统计量进行计算判断，既考查基础计算能力，也考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
