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9. ★★ 某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动.由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分.
A节目演出后各个评委所给分数如表：
评分方案如下：
方案一:从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分,再取其余八个评委所给分数的平均数.
方案二:为了既突出专业评委的权威性又尊重大众评委的喜爱度,先计算1至4号评委所给分数的平均分$\bar{x}_1$和5至10号评委所给分数的平均分$\bar{x}_2$,再根据比赛的需求设置相应的权重($f_1$表示专业评委的权重,$f_2$表示大众评委的权重,且$f_1+f_2=1$)求该节目的得分.
(1)若按照“方案二”评分,$f_1=0.6$,求A节目的得分；
(2)关于评分方案,下列说法正确的有
①当$f_1=0.5$时,A节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同；
②当$f_1＞0.5$时,说明按照“方案二”评分更注重节目的专业性；
③当$f_1=0.3$时,A节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高.
A节目演出后各个评委所给分数如表：
评分方案如下：
方案一:从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分,再取其余八个评委所给分数的平均数.
方案二:为了既突出专业评委的权威性又尊重大众评委的喜爱度,先计算1至4号评委所给分数的平均分$\bar{x}_1$和5至10号评委所给分数的平均分$\bar{x}_2$,再根据比赛的需求设置相应的权重($f_1$表示专业评委的权重,$f_2$表示大众评委的权重,且$f_1+f_2=1$)求该节目的得分.
(1)若按照“方案二”评分,$f_1=0.6$,求A节目的得分；
(2)关于评分方案,下列说法正确的有
②③
.①当$f_1=0.5$时,A节目按照“方案二”和“方案一”评分结果相同；
②当$f_1＞0.5$时,说明按照“方案二”评分更注重节目的专业性；
③当$f_1=0.3$时,A节目按照“方案二”评分的结果比“方案一”高.
答案
9. 【解】(1)因为 $f_1=0.6$,所以 $f_2=1-0.6=0.4$.
因为 $\bar x_1=\frac{7.2+7.5+7.8+7.5}{4}=7.5$ (分), $\bar x_2=\frac{8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4}{6}=8.4$(分),
所以$\bar x=f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86$(分),
所以 A 节目的得分为 7.86 分.
(2)②③ 【点拨】按照“方案一”评分,A 节目的得分为
$\frac{7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4}{8}=8.0$(分).
由(1)知$\bar x_1=7.5$分,$\bar x_2=8.4$分.①当 $f_1=0.5$ 时,$f_2=1-f_1=0.5$.按照“方案二”评分,A 节目的得分为 $f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.5×7.5+0.5×8.4=7.95$(分),与按照“方案一”评分结果不同,故①说法错误; ②当$f_1＞0.5$时,说明专业评委的权重大于大众评委的权重,即按照“方案二”评分更注重节目的专业性,故②说法正确; ③当$f_1=0.3$时,$f_2=1-f_1=0.7$.按照“方案二”评分,A 节目的得分为 $f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.3×7.5+0.7×8.4=8.13$(分),比“方案一”高,故③说法正确.综上所述,②③正确.
因为 $\bar x_1=\frac{7.2+7.5+7.8+7.5}{4}=7.5$ (分), $\bar x_2=\frac{8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4}{6}=8.4$(分),
所以$\bar x=f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86$(分),
所以 A 节目的得分为 7.86 分.
(2)②③ 【点拨】按照“方案一”评分,A 节目的得分为
$\frac{7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4}{8}=8.0$(分).
由(1)知$\bar x_1=7.5$分,$\bar x_2=8.4$分.①当 $f_1=0.5$ 时,$f_2=1-f_1=0.5$.按照“方案二”评分,A 节目的得分为 $f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.5×7.5+0.5×8.4=7.95$(分),与按照“方案一”评分结果不同,故①说法错误; ②当$f_1＞0.5$时,说明专业评委的权重大于大众评委的权重,即按照“方案二”评分更注重节目的专业性,故②说法正确; ③当$f_1=0.3$时,$f_2=1-f_1=0.7$.按照“方案二”评分,A 节目的得分为 $f_1 \bar x_1 + f_2 \bar x_2=0.3×7.5+0.7×8.4=8.13$(分),比“方案一”高,故③说法正确.综上所述,②③正确.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需先按方案二的要求，分别计算1-4号专业评委的平均分$\bar{x}_1$与5-10号大众评委的平均分$\bar{x}_2$，再根据$f_1+f_2=1$求出$f_2$，最后代入加权平均数公式计算最终得分即可。
(2) 判断三个说法的正误，首先需要先计算出方案一的最终得分，再逐个验证：①计算$f_1=0.5$时方案二的得分，与方案一得分对比判断；②权重越高代表该部分的占比越大，$f_1$为专业评委权重，若$f_1＞0.5$说明更侧重专业评分；③计算$f_1=0.3$时方案二的得分，与方案一得分对比判断。
【解析】
(1) 已知$f_1=0.6$，则$f_2=1-f_1=1-0.6=0.4$
先计算专业评委平均分：$\bar{x}_1=\frac{7.2+7.5+7.8+7.5}{4}=7.5$（分）
再计算大众评委平均分：$\bar{x}_2=\frac{8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4}{6}=8.4$（分）
根据加权平均数公式，节目得分：$\bar{x}=f_1\bar{x}_1+f_2\bar{x}_2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86$（分）
(2) 先计算方案一的得分：去掉最高分9.7分和最低分6.7分，剩余8个分数的平均分为
$\frac{7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4}{8}=8.0$（分）
逐一判断说法：
①当$f_1=0.5$时，$f_2=0.5$，方案二得分：$0.5×7.5+0.5×8.4=7.95$分，与方案一的8.0分不相等，故①错误；
②权重越高对应部分的重视程度越高，当$f_1＞0.5$时，专业评委权重大于大众评委权重，说明更注重节目的专业性，故②正确；
③当$f_1=0.3$时，$f_2=0.7$，方案二得分：$0.3×7.5+0.7×8.4=8.13$分，$8.13＞8.0$，比方案一得分高，故③正确。
综上，正确的是②③。
【答案】
(1) A节目的得分为7.86分；(2) $\boldsymbol{②③}$
【知识点】
算术平均数计算，加权平均数计算，权重的意义
【点评】
本题结合实际比赛评分的场景考查平均数的相关应用，既要求熟练掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，也需要理解权重的实际含义，解题时按照规则分步计算、逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问需先按方案二的要求，分别计算1-4号专业评委的平均分$\bar{x}_1$与5-10号大众评委的平均分$\bar{x}_2$，再根据$f_1+f_2=1$求出$f_2$，最后代入加权平均数公式计算最终得分即可。
(2) 判断三个说法的正误，首先需要先计算出方案一的最终得分，再逐个验证：①计算$f_1=0.5$时方案二的得分，与方案一得分对比判断；②权重越高代表该部分的占比越大，$f_1$为专业评委权重，若$f_1＞0.5$说明更侧重专业评分；③计算$f_1=0.3$时方案二的得分，与方案一得分对比判断。
【解析】
(1) 已知$f_1=0.6$，则$f_2=1-f_1=1-0.6=0.4$
先计算专业评委平均分：$\bar{x}_1=\frac{7.2+7.5+7.8+7.5}{4}=7.5$（分）
再计算大众评委平均分：$\bar{x}_2=\frac{8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4}{6}=8.4$（分）
根据加权平均数公式，节目得分：$\bar{x}=f_1\bar{x}_1+f_2\bar{x}_2=0.6×7.5+0.4×8.4=7.86$（分）
(2) 先计算方案一的得分：去掉最高分9.7分和最低分6.7分，剩余8个分数的平均分为
$\frac{7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4}{8}=8.0$（分）
逐一判断说法：
①当$f_1=0.5$时，$f_2=0.5$，方案二得分：$0.5×7.5+0.5×8.4=7.95$分，与方案一的8.0分不相等，故①错误；
②权重越高对应部分的重视程度越高，当$f_1＞0.5$时，专业评委权重大于大众评委权重，说明更注重节目的专业性，故②正确；
③当$f_1=0.3$时，$f_2=0.7$，方案二得分：$0.3×7.5+0.7×8.4=8.13$分，$8.13＞8.0$，比方案一得分高，故③正确。
综上，正确的是②③。
【答案】
(1) A节目的得分为7.86分；(2) $\boldsymbol{②③}$
【知识点】
算术平均数计算，加权平均数计算，权重的意义
【点评】
本题结合实际比赛评分的场景考查平均数的相关应用，既要求熟练掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，也需要理解权重的实际含义，解题时按照规则分步计算、逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
