15. 如图 1 - X - 12，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 20°，分别以点 A，B 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧，两弧分别相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数为.

15. $50°$

16. （2024 苏州）如图 1 - X - 13，在△ABC 中，AB = AC，分别以点 B，C 为圆心，大于 $\frac{1}{2}BC$ 的长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD，CD，AD，AD 与 BC 交于点 E.
（1）求证：△ABD ≌ △ACD；
（2）若 BD = 2，∠BDC = 120°，求 BC 的长.

1. （1）证明：
由作图可知，$BD = CD$。
已知$AB = AC$，$AD = AD$（公共边）。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，根据全等三角形判定定理$SSS$（三边对应相等的两个三角形全等）：
$\{\begin{array}{l}AB = AC\\BD = CD\\AD = AD\end{array} $。
所以$△ ABD≌△ ACD$。
2. （2）求$BC$的长：
因为$BD = CD$，$∠ BDC = 120°$，所以$∠ DBC=∠ DCB=\frac{180°-∠ BDC}{2}$。
把$∠ BDC = 120°$代入$∠ DBC=∠ DCB=\frac{180°-∠ BDC}{2}$，得$∠ DBC=∠ DCB=\frac{180 - 120}{2}=30°$。
又因为$△ ABD≌△ ACD$，所以$∠ ADB=∠ ADC=\frac{1}{2}∠ BDC = 60°$，$AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），即$∠ BED = 90°$。
在$Rt△ BDE$中，$\cos∠ DBC=\frac{BE}{BD}$。
已知$BD = 2$，$∠ DBC = 30°$，根据$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\cos∠ DBC=\frac{BE}{BD}$可得$BE = BD\cos∠ DBC$。
把$BD = 2$，$\cos∠ DBC=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入$BE = BD\cos∠ DBC$，得$BE = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
因为$AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三线合一），所以$BC = 2BE$。
把$BE=\sqrt{3}$代入$BC = 2BE$，得$BC = 2\sqrt{3}$。
综上，（1）已证$△ ABD≌△ ACD$；（2）$BC$的长为$2\sqrt{3}$。

17. 如图 1 - X - 14，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DC = 3，则△ABD 中 AB 边上的高是.

17. 3

18. 如图 1 - X - 15，已知∠AOB = 30°，P 是∠AOB 的平分线上一点，CP // OB，交 OA 于点 C，PD ⊥ OB，垂足为 D，且 PC = 4，则 PD =.

18. 2

19. 如图 1 - X - 16（a），已知点 B（0，6），C 为 x 轴上一动点，连接 BC，△ODC 和△EBC 都是等边三角形.
（1）求证：BO = ED.
（2）如图（b），当点 D 恰好落在 BC 上时，
①求 OC 的长及点 E 的坐标.
②在 x 轴上是否存在点 P，使△PEC 为等腰三角形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
③如图（c），M 是线段 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），过点 M 作 MG ⊥ BE 于点 G，MH ⊥ CE 于点 H，当点 M 运动时，MH + MG 的值是否会发生变化？若不发生变化，请直接写出 MH + MG 的值；若发生变化，请简要说明理由.

19. 解：(1)证明：$\because△ ODC$和$△ EBC$都是等边三角形，$\therefore OC = DC$，$BC = EC$，$∠ OCD = ∠ BCE = 60°$，$\therefore ∠ BCO = ∠ ECD$，
$\therefore △ OBC≌△ DEC(SAS)$，$\therefore BO = ED$。
(2)①$OC = 2\sqrt{3}$，点$E$的坐标为$(4\sqrt{3},6)$。
②存在。点$P$的坐标为$(-2\sqrt{3},0)$或$(6\sqrt{3},0)$。
③$MH + MG$的值不会发生变化，$MH + MG = 6$。