7. (2024 兰州)如图 1 - X - 5，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 130°，DA ⊥ AC，则∠ADB 等于()

A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

7. B

8. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，下列条件中，可以判定△ABC 是等腰三角形的是()

A.∠A = 20°，∠B = 100°
B.a : b : c = 1 : 1 : 2
C.∠A : ∠B : ∠C = 1 : 1 : 2
D.∠A = ∠B + ∠C

8. C

9. (2023 江西)将含 30°角的透明三角尺和直尺按图 1 - X - 6 所示的方式放置，已知∠α = 60°，点 B，C 表示的刻度分别为 1 cm，3 cm，则线段 AB 的长为cm.

9. 2

10. 如图 1 - X - 7，在三角形钢架中，AB = AC，AD 是连接点 A 与 BC 的中点 D 的支架.若∠BAC = 100°，则∠BAD 的大小为.

10. $50°$

11. 如图 1 - X - 8，点 E 在△ABC 的 AC 边的延长线上，点 D 在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF = EF，BD = CE.
求证：△ABC 是等腰三角形.

证明：
过点D作$DG// AC$，交BC于点G。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGF=∠ ECF$，$∠ GDF=∠ E$。
在$△ DGF$和$△ ECF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DGF=∠ ECF\\∠ GDF=∠ E\\DF=EF\end{array} $
$\therefore △ DGF≌△ ECF$（AAS）。
$\therefore DG=CE$。
$\because BD=CE$，
$\therefore BD=DG$。
$\therefore ∠ B=∠ DGB$。
$\because DG// AC$，
$\therefore ∠ DGB=∠ ACB$。
$\therefore ∠ B=∠ ACB$。
$\therefore AB=AC$。
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。

12. 如图 1 - X - 9，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AD ⊥ BC 于点 D，BE 平分∠ABC，交 AC 于点 E.

若∠BAD = 34°，则∠AEB 的度数为()

A.56°
B.60°
C.62°
D.65°

12. C

13. (2024 淮安)如图 1 - X - 10，用 9 个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为 1.记这个图形的周长(实线部分)为 l，则下列整数与 l 最接近的是()


A.14
B.13
C.12
D.11

13. B

14. 如图 1 - X - 11，点 D，A，E 在直线 l 上，AB = CA，BD ⊥ l 于点 D，CE ⊥ l 于点 E，且 BD = AE.若 BD = 3，CE = 4，求 BC 的长.

解：
因为$BD⊥ l$，$CE⊥ l$，所以$∠ BDA=∠ AEC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ CAE$中，$\begin{cases}AB = CA\\∠ BDA=∠ AEC\\BD = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$△ ABD≌△ CAE$。
所以$AD = CE$，已知$CE = 4$，$BD = 3$，则$AD = 4$，$AE=BD = 3$。
所以$DE=AD + AE=4 + 3=7$。
又因为$△ ABD≌△ CAE$，所以$∠ BAD=∠ ACE$。
因为$∠ ACE+∠ CAE = 90°$，所以$∠ BAD+∠ CAE = 90°$，则$∠ BAC=180°-(∠ BAD+∠ CAE)=90°$。
根据勾股定理，在$Rt△ ABC$中，$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$，$AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，所以$AB = AC = 5$。
再根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{25 + 25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
综上，$BC$的长为$5\sqrt{2}$。