7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在 $AD$ 上,$∠ BCE=∠ ACD=90°,∠ BAC=∠ D,BC=CE$.
求证:$AC=CD$.

7.证明:
∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中,
$\begin{cases}∠BCA=∠ECD,\\∠BAC=∠D,\\BC=EC,\end{cases}$
∴△BCA≌△ECD(AAS),
∴AC=CD.

8. 如图, A C 平分 $∠ B A D, C B ⊥ A B, C D ⊥ A D$, 垂足分别为 B, D.
(1)求证: $△ A B C ≌ △ A D C$;
(2)若 $A B=4, C D=3$, 求四边形 A B C D 的面积.

8.(1)证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△ADC中,
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠BAC=∠DAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)解:由(1)知△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,$S_{△ABC}=S_{△ADC}$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}×4×3=6$,
∴$S_{△ADC}=6$,
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=12$.
即四边形ABCD的面积是12.

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=∠ ACB$.$D,E,F$分别是$AB,BC,AC$边上的点,$BE=CF$.
(1)若$∠ DEF=∠ ABC$,求证:$DE=EF$;
(2)若$∠ A+2∠ DEF=180°$,$BC=9$,$EC=2BE$,求$BD$的长.

9.(1)证明:
∵∠DEF=∠ABC,∠DEC=∠ABC+∠BDE=∠DEF+∠CEF,
∴∠BDE=∠CEF.
在△BDE和△CEF中,
$\begin{cases}∠DBE=∠ECF,\\∠BDE=∠CEF,\\BE=CF,\end{cases}$
∴△BDE≌△CEF(AAS),
∴DE=EF.
(2)解:
∵BC=9,EC=2BE,
∴BE=3,EC=6.
∵∠A+2∠DEF=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∠ABC=∠ACB,
∴∠DEF=∠ABC=∠ACB.
由(1)知△BDE≌△CEF,
∴BD=CE=6.

【模型】一线三等角
【条件】如图①，$∠ B=∠ ADE=∠ C,AD=ED$
【结论】$△ ABD≌△ DCE$
【条件】如图②，$∠ ABC=∠ ADE=∠ CFE,AB=BC$
【结论】$△ ABD≌△ BCF$

证明：
证明图①中$△ ABD ≌ △ DCE$
∵ $∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$，$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$，且$∠ B = ∠ ADE$
∴ $∠ BAD = ∠ CDE$
在$△ ABD$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \\∠ BAD = ∠ CDE \\AD = ED\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ DCE$（AAS）
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证明图②中$△ ABD ≌ △ BCF$
∵ 点$B,D,F,E$共线，$∠ ADF$是$△ ABD$的外角
∴ $∠ ADE = ∠ BAD + ∠ ABD$
又∵ $∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBF$，且$∠ ABC = ∠ ADE$
∴ $∠ BAD = ∠ CBF$
∵ $∠ ADB + ∠ ADE = 180°$，$∠ BFC + ∠ CFE = 180°$，且$∠ ADE = ∠ CFE$
∴ $∠ ADB = ∠ BFC$
在$△ ABD$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ CBF \\∠ ADB = ∠ BFC \\AB = BC\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ BCF$（AAS）