8. 如图,点 A,O,B 在同一条直线上,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠BOC 的平分线.若∠AOE=162°,则∠BOD=°.

8.108

【分析】
首先根据点A、O、B共线可得∠AOB为180°平角，结合已知∠AOE的度数，先求出∠BOE的度数；再利用OE是∠BOC的平分线，算出∠BOC的度数，进而得到∠AOC的度数；之后根据OD是∠AOC的平分线求出∠AOD的度数，最后利用邻补角的和为180°，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOB = 180°，
∵∠AOE = 162°，
∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 162° = 18°，
∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOC = 2∠BOE = 2×18° = 36°，
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 36° = 144°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×144° = 72°，
∴∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 72° = 108°。
【答案】
108
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度的和差计算
【点评】
本题属于角的计算的基础综合题，解题的核心是灵活运用平角的性质和角平分线的定义，逐步推导未知角的度数，计算过程中注意角度的和差关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

9.如图，OA的方向是北偏东$20°$，OC的方向是北偏西$40°$，若$∠ AOC = ∠ AOB$，则OB的方向是________.

9.北偏东$80°$

【分析】
解题时首先明确方位角的定义：方位角是以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向。第一步，先根据OA、OC的方位，计算出∠AOC的度数：OA北偏东20°说明OA与正北方向的夹角为20°（向东），OC北偏西40°说明OC与正北方向的夹角为40°（向西），二者相加就是∠AOC的大小。第二步，根据已知∠AOC=∠AOB，得到∠AOB的度数。第三步，结合OA的方位，计算OB与正北方向的夹角，最终确定OB的方位。
【解析】
解：由题意可知，OA与正北方向的夹角为20°，OC与正北方向的夹角为40°，
∴ $∠ AOC = 20° + 40° = 60°$，
∵ $∠ AOC = ∠ AOB$，
∴ $∠ AOB = 60°$，
∴ OB与正北方向的向东夹角为 $20° + 60° = 80°$，
即OB的方向是北偏东80°。
【答案】
北偏东$80°$
【知识点】
方位角的概念、角的和差计算
【点评】
本题是方位角相关的基础题型，解题核心是准确理解方位角的定义，结合已知的角的等量关系，通过角的和差运算即可求出结果，需注意描述方位角时要以正北或正南为基准。
【难度系数】
0.7

10.如图,已知∠1,∠2.求作∠AOB,使∠AOB=∠1+∠2.(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹)

10.解:如答图,$∠ AOB$即为所求.

【分析】
要构造出等于∠1+∠2的角，可借助已学的尺规作等角的方法分步完成：先利用尺规作一个角等于∠1，再在这个已作好的角的外侧，作一个等于∠2的角，两个角拼接形成的大角就是所求的∠AOB，作图全程要保留尺规作图的弧线痕迹。
【解析】
首先画射线OA作为角的起始边：
1. 用尺规作图的方法，以OA为边，作∠AOC=∠1；
2. 以OC为边，在∠AOC的外侧作∠COB=∠2，此时∠AOB=∠AOC+∠COB=∠1+∠2，就是所求作的角，保留对应作图痕迹即可。
【答案】
如答图,$∠ AOB$即为所求.

【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差关系
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，核心考查等角的作图方法以及角的和差的应用，作图时要注意第二个角需作在第一个角的外侧，同时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8

11. 如图，O为直线AB上一点，$∠ AOC=50°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ DOE=90°$。
(1)请写出图中小于平角的角；
(2)求$∠ BOD$的度数；
(3)请通过计算说明OE是否平分$∠ BOC$。

11.解:(1)图中小于平角的角有$∠ AOD,∠ AOC,∠ AOE,∠ DOC,∠ DOE,∠ DOB,∠ COE,∠ COB,∠ EOB$,共9个.
(2)因为$∠ AOC=50°$,OD平分$∠ AOC$,
所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=25°$,
所以$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-25°=155°$.
(3)因为$∠ DOE=90°,∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=25°$,
所以$∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=90°-25°=65°$.
又因为$∠ BOE=∠ BOD-∠ DOE=155°-90°=65°$,
所以$∠ COE=∠ BOE$,
即OE平分$∠ BOC$.

【分析】
（1）平角为180°，本题中平角是∠AOB，找小于平角的角时只需按固定顺序（从OA出发依次和右侧射线组合，再从OD出发和右侧射线组合，以此类推）列举所有顶点为O、两边不共线构成平角的角，可避免重复或遗漏。
（2）求∠BOD的度数，先根据角平分线的定义求出∠AOD的度数，再利用直线上邻补角和为180°的性质，用180°减去∠AOD即可得到结果。
（3）要判断OE是否平分∠BOC，只需验证∠COE和∠BOE的度数是否相等：先通过∠DOE与∠DOC的差求出∠COE，再通过∠BOD与∠DOE的差求出∠BOE，比较两个角的度数即可得出结论。
【解析】
(1) 按顺序列举小于平角的角：
以OA为一边的有$∠ AOD,∠ AOC,∠ AOE$；以OD为一边的有$∠ DOC,∠ DOE,∠ DOB$；以OC为一边的有$∠ COE,∠ COB$；以OE为一边的有$∠ EOB$，共9个。
(2) 已知$∠ AOC=50°$，OD平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
因为O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，所以：
$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-25°=155°$
(3) 先计算$∠ COE$的度数：
已知$∠ DOE=90°$，$∠ DOC=∠ AOD=25°$，所以$∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=90°-25°=65°$
再计算$∠ BOE$的度数：
$∠ BOE=∠ BOD-∠ DOE=155°-90°=65°$
可得$∠ COE=∠ BOE$，因此OE平分$∠ BOC$。
【答案】
(1) 小于平角的角有$∠ AOD,∠ AOC,∠ AOE,∠ DOC,∠ DOE,∠ DOB,∠ COE,∠ COB,∠ EOB$，共9个；
(2) $∠ BOD=155°$；
(3) OE平分$∠ BOC$。
【知识点】
角的分类，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度运算的基础题，综合考查了角的识别、角平分线性质和角度和差运算，解题时按顺序数角可避免漏错，理清图中各角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75

12.(1)如图，$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=30°$，$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数；
(2)如果(1)中$∠ AOB=α$，其他条件不变，求$∠ MON$的度数；
(3)如果(1)中$∠ BOC=β$（$β$为锐角），其他条件不变，求$∠ MON$的度数；
(4)从(1)(2)(3)的结果中能看出什么规律？

12.解:(1)因为OM平分$∠ AOC$,ON平分$∠ BOC$,
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC,∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC$,
所以$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = \frac{1}{2} ∠ AOC - \frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$.
(2)$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{α}{2}$.
(3)$∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$.
(4)从(1)(2)(3)的结果中可以看出$∠ MON$的度数总等于$∠ AOB$度数的一半,而与锐角$∠ BOC$的度数无关.

【分析】
解题时先观察待求角∠MON的构成，它等于∠MOC减去∠NOC；已知OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，根据角平分线定义可将∠MOC、∠NOC分别用∠AOC、∠BOC表示，代入后对式子化简，就能发现∠MON和∠AOB的数量关系，无需计算∠AOC的具体数值，用整体代换的思路即可求解；(2)(3)问只需将对应字母代入推导的关系即可，(4)问总结前面三问的共同特征得出规律。
【解析】
(1) 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
根据角平分线的定义，可得$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ MON = ∠ MOC - ∠ NOC = \frac{1}{2}∠ AOC - \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$，
又因为$∠ AOC - ∠ BOC = ∠ AOB = 90°$，
所以$∠ MON = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
(2) 当$∠ AOB=α$，其他条件不变时，同理可得：
$∠ MON = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC) = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{α}{2}$。
(3) 当$∠ BOC=β$（$β$为锐角），其他条件不变时：
$∠ MON = \frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC) = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$。
(4) 观察(1)(2)(3)的结果可得出规律：$∠ MON$的度数始终等于$∠ AOB$度数的一半，和锐角$∠ BOC$的度数大小无关。
【答案】
(1) $45°$；(2) $\frac{α}{2}$；(3) $45°$；(4) $∠ MON$的度数等于$∠ AOB$度数的一半，与锐角$∠ BOC$的度数无关
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，规律探究
【点评】
本题通过特殊角度到一般字母的推导，考查角平分线性质和角的运算能力，解题核心是利用整体代换思想化简角的数量关系，避免分步计算的繁琐，有助于培养从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.8