1.如图,线段AB上有两点C,D,且$AC:CD:DB=2:3:4$,E,F分别为AC,DB的中点,$EF=$48 cm. 求AB的长.

1.解:因为 $AC: CD: DB=2: 3: 4$,
所以设 $AC=2a\ \mathrm{cm},CD=3a\ \mathrm{cm},DB=4a\ \mathrm{cm}.$
因为 E,F 分别是AC,DB 的中点,
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=a\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}BD=2a\ \mathrm{cm},$
所以 $EF=a+3a+2a=6a=48,$ 解得 $a=8,$
所以 $AB=AC+CD+DB=2a+3a+4a=9a=9× 8=72(\mathrm{cm}).$

【分析】
遇到给出线段长度比例的计算问题，我们通常采用设参数的方法解题：第一步先根据比例关系，把各段线段用含同一个参数的式子表示；第二步结合线段中点的性质，得到中点分割线段所得的小段长度；第三步找到已知长度的线段EF的组成部分，写出EF关于参数的表达式，结合EF的已知长度列方程求出参数的值；最后根据AB是AC、CD、DB三段的和，代入参数的值即可算出AB的长度。
【解析】
解：因为 $AC:CD:DB=2:3:4$，
所以设 $AC=2a\ \mathrm{cm}$，$CD=3a\ \mathrm{cm}$，$DB=4a\ \mathrm{cm}$。
因为E、F分别是AC、DB的中点，根据线段中点的定义，
所以 $CE=\frac{1}{2}AC=a\ \mathrm{cm}$，$DF=\frac{1}{2}BD=2a\ \mathrm{cm}$。
由线段的和差关系可得 $EF=CE+CD+DF$，代入得：
$EF=a+3a+2a=6a$，
已知$EF=48\ \mathrm{cm}$，所以$6a=48$，解得$a=8$。
又因为$AB=AC+CD+DB=2a+3a+4a=9a$，
代入$a=8$得，$AB=9×8=72\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{72\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.线段中点定义
2.线段和差计算
3.比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的基础常考题，解题核心是利用参数法将比例关系转化为代数式，结合线段中点性质和线段和差关系建立方程求解，思路清晰，是线段计算的典型考法。
【难度系数】
0.75

2. 如图，A，O，B三点在一条直线上，$∠ AOC=3∠ COD$，OE平分$∠ BOD$，$∠ COE=80°$，求$∠ COD$的度数.

2.解:设$∠ COD=x°$,
因为$∠ AOC=3∠ COD$,所以$∠ AOC=3x°$,$∠ AOD=4x°$.
因为OE平分$∠ BOD$,所以$∠ BOE=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(180°-∠ AOD)=90°-2x°$.
由$∠ COE=∠ COD+∠ DOE$,得$x°+90°-2x°=80°$,
解得$x=10$,即$∠ COD=10°$.

【分析】
本题的隐含条件是A、O、B共线，故∠AOB为180°的平角。题中给出了角的倍数关系、角平分线以及∠COE的固定度数，我们可以采用设未知数列方程的方法求解：先设∠COD的度数为x，用含x的代数式依次表示出相关的角，再根据∠COE是∠COD与∠DOE的和这一和差关系列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设$∠ COD=x°$，
$\because ∠ AOC=3∠ COD$，
$\therefore ∠ AOC=3x°$，$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=3x°+x°=4x°$。
$\because$ A、O、B三点在同一直线上，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-4x°$。
$\because$ OE平分$∠ BOD$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(180°-4x°)=90°-2x°$。
又$\because ∠ COE=∠ COD+∠ DOE=80°$，
$\therefore x + 90 - 2x = 80$，
解得$x=10$。
【答案】
$∠ COD=10°$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，将方程思想融入几何计算中，降低了解题难度，解题的核心是理清图中各角之间的数量关系，结合已知条件正确列出等式。
【难度系数】
0.7

3. 如图,线段$AB=12\ \mathrm{cm}$,$C$为线段$AB$上的一个动点,$D,E$分别是$AC$和$BC$的中点.
(1)若$C$恰好是$AB$的中点,则$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)若$AC=4\ \mathrm{cm}$,求$DE$的长;
(3)试说明:无论$AC$取何值(不超过$12\ \mathrm{cm}$),$DE$的长不变.

3.(1)6
(2)解:因为 $AC=4\ \mathrm{cm},D$ 是 $AC$ 的中点,
所以 $CD=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}.$
因为 $AB=12\ \mathrm{cm},AC=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $BC=AB-AC=12-4=8(\mathrm{cm}).$
因为 $E$ 是 $BC$ 的中点,所以 $CE=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$,
所以 $DE=DC+CE=2+4=6(\mathrm{cm}).$
(3)解:因为 $D,E$ 分别是 $AC$ 和 $BC$ 的中点,
所以 $DC=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}CB$,
所以 $DC+CE=\frac{1}{2}(AC+CB)$,
即 $DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 12=6(\mathrm{cm}),$
故无论 $AC$ 取何值(不超过 12 cm),$DE$ 的长不变.

【分析】
本题围绕线段中点的性质与线段和差运算展开，解题思路清晰：(1)当C为AB中点时，先求出AC、BC的长度，再结合D、E分别是AC、BC中点，分别计算DC、CE的长度，二者相加即可得到DE；(2)已知AC的长度时，先根据中点定义求出CD，再通过AB与AC的差求出BC长度，接着由中点定义求出CE，最后将DC与CE求和得到DE；(3)要说明DE长度不变，可利用中点性质将DE拆分为DC+CE，进一步转化为$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC$，提取公因式后可得DE是AB长度的一半，AB长度固定，因此DE长度不随AC的变化而改变。
【解析】
(1) 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，C是AB中点，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$。
因为D是AC中点，E是BC中点，所以$DC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，$CE=\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$，
因此$DE=DC+CE=3+3=6\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为 $AC=4\ \mathrm{cm}$，$D$ 是 $AC$ 的中点，
所以 $CD=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$。
因为 $AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $BC=AB-AC=12-4=8(\mathrm{cm})$。
因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $CE=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $DE=DC+CE=2+4=6(\mathrm{cm})$。
(3) 因为 $D,E$ 分别是 $AC$ 和 $BC$ 的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}CB$，
所以 $DC+CE=\frac{1}{2}(AC+CB)$，
即 $DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 12=6(\mathrm{cm})$，
故无论 $AC$ 取何值(不超过 12 cm)，$DE$ 的长不变。
【答案】
(1)$\boldsymbol{6}$；(2)$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$；(3)无论$AC$取何值（不超过12cm），$DE$的长恒为6cm，保持不变。
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算；整体代换思想
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，核心考察线段中点性质的应用，通过将未知线段转化为已知线段的和差关系求解，第三问的定值推导用到整体代换的思想，能够帮助学生掌握此类线段定值问题的通用解法。
【难度系数】
0.8

4.如图,O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如图①,若∠AOC=30°,则∠DOE=;
(2)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置,其他条件不变,探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由;
(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置,其他条件不变,探究∠AOC和∠DOE之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.

4.(1)$15°$
(2)解:$∠ AOC=2∠ DOE.$
理由:因为$∠ COD$是直角,OE平分$∠ BOC$,
所以$∠ COE=∠ BOE=90°-∠ DOE$,
所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2∠ COE=180°-2(90°-∠ DOE)=2∠ DOE.$
(3)解:$∠ AOC=360°-2∠ DOE.$
理由:因为 OE 平分$∠ BOC$,
所以$∠ BOC=2∠ COE$,
则$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2∠ COE=180°-2(∠ DOE-90°)=360°-2∠ DOE.$

【分析】
(1) 先利用平角定义求出∠BOC的度数，结合角平分线性质得到∠COE的度数，再根据∠COD是直角，用∠COD减去∠COE即可求出∠DOE；
(2) 探究∠AOC和∠DOE的关系时，先由角平分线得∠COE=∠BOE，结合∠COD是直角，可得∠COE=90°-∠DOE，再利用平角定义∠AOC=180°-∠BOC，把∠BOC替换成2∠COE，代入化简即可得到二者的数量关系；
(3) 旋转到图③位置时，先明确∠COE=∠DOE-∠COD=∠DOE-90°，再结合角平分线性质得∠BOC=2∠COE，最后利用∠AOC=180°-∠BOC，代入化简即可得到对应数量关系。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，所以∠AOC+∠BOC=180°，已知∠AOC=30°，所以∠BOC=180°-30°=150°。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×150°=75°$。
又因为∠COD是直角，即∠COD=90°，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-75°=15°$。
(2) 结论：$∠ AOC=2∠ DOE$，理由如下：
因为∠COD是直角，所以∠COD=90°，则$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-∠ DOE$。
因为OE平分∠BOC，所以$∠ BOC=2∠ COE$。
又因为AB是直线，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2∠ COE=180°-2(90°-∠ DOE)=2∠ DOE$。
(3) 结论：$∠ AOC=360°-2∠ DOE$，理由如下：
因为OE平分∠BOC，所以$∠ BOC=2∠ COE$。
因为∠COD是直角，即∠COD=90°，所以$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=∠ DOE-90°$。
又因为AB是直线，$∠ AOC+∠ BOC=180°$，所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2∠ COE=180°-2(∠ DOE-90°)=360°-2∠ DOE$。
【答案】
(1)$15°$；(2)$∠ AOC=2∠ DOE$；(3)$∠ AOC=360°-2∠ DOE$
【知识点】
角平分线的性质，平角的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角的动态变换类问题，解题关键是抓住旋转过程中不变的条件（角平分线、直角、平角），准确分析不同位置下角的和差关系，通过代数代换推导角之间的数量关系，需注意旋转后角的位置变化避免出现和差计算错误。
【难度系数】
0.6