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1. 如图，$∠ MON$为锐角. 有下列说法：①$∠ MOP=\frac{1}{2}∠ MON$；②$∠ MOP=∠ NOP=\frac{1}{2}∠ MON$；③$∠ MOP=∠ NOP$；④$∠ MON=∠ MOP+∠ NOP$. 其中，能说明射线$OP$一定为$∠ MON$的平分线的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.A
解析
【分析】
要判断射线OP是否为∠MON的平分线，首先明确角平分线的核心判定条件：一是射线OP在∠MON的内部，二是OP将∠MON分成两个大小相等的角，即∠MOP=∠NOP且均等于$\frac{1}{2}∠MON$。我们只需逐个验证4个说法是否同时满足这两个条件，即可得出符合要求的个数。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，在角的内部，能将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，逐个分析如下：
①$∠MOP=\frac{1}{2}∠MON$：若OP在∠MON的外部，也可能满足∠MOP的大小是∠MON的一半，此时OP不是角平分线，故①不符合要求；
②$∠MOP=∠NOP=\frac{1}{2}∠MON$：该说法既说明∠MOP和∠NOP大小相等，又说明两个角的大小都是原角的一半，可推出OP一定在∠MON内部，完全符合角平分线的定义，故②符合要求；
③$∠MOP=∠NOP$：若OP在∠MON的外部，也可能存在∠MOP和∠NOP相等的情况（此时相等的角并非∠MON被分成的两个内角），不能确定OP在角内部，故③不符合要求；
④$∠MON=∠MOP+∠NOP$：仅能说明OP在∠MON的内部，但无法证明∠MOP和∠NOP大小相等，故④不符合要求。
综上，只有1个说法能说明OP一定是∠MON的平分线。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题考查角平分线的判定，易错点是容易忽略“射线必须在角的内部”这一前提条件，解题时牢牢抓住角平分线的两个核心要素，就能避免错判。
【难度系数】
0.6
要判断射线OP是否为∠MON的平分线，首先明确角平分线的核心判定条件：一是射线OP在∠MON的内部，二是OP将∠MON分成两个大小相等的角，即∠MOP=∠NOP且均等于$\frac{1}{2}∠MON$。我们只需逐个验证4个说法是否同时满足这两个条件，即可得出符合要求的个数。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，在角的内部，能将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，逐个分析如下：
①$∠MOP=\frac{1}{2}∠MON$：若OP在∠MON的外部，也可能满足∠MOP的大小是∠MON的一半，此时OP不是角平分线，故①不符合要求；
②$∠MOP=∠NOP=\frac{1}{2}∠MON$：该说法既说明∠MOP和∠NOP大小相等，又说明两个角的大小都是原角的一半，可推出OP一定在∠MON内部，完全符合角平分线的定义，故②符合要求；
③$∠MOP=∠NOP$：若OP在∠MON的外部，也可能存在∠MOP和∠NOP相等的情况（此时相等的角并非∠MON被分成的两个内角），不能确定OP在角内部，故③不符合要求；
④$∠MON=∠MOP+∠NOP$：仅能说明OP在∠MON的内部，但无法证明∠MOP和∠NOP大小相等，故④不符合要求。
综上，只有1个说法能说明OP一定是∠MON的平分线。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题考查角平分线的判定，易错点是容易忽略“射线必须在角的内部”这一前提条件，解题时牢牢抓住角平分线的两个核心要素，就能避免错判。
【难度系数】
0.6
2. 如图，O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，若∠BOD=40°，则∠BOC=
110°
.答案
2.$110°$
解析
【分析】
解题时首先根据O在直线AB上，可得出∠AOB为平角（180°），结合已知∠BOD=40°，先求出∠AOD的度数；再利用OC平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义求出∠COD的度数；最后将∠COD与∠BOD相加，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上的点，
∴∠AOB=180°（平角的定义），
∵∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD=180°-40°=140°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=½∠AOD=½×140°=70°（角平分线的定义），
∴∠BOC=∠COD + ∠BOD=70°+40°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题，核心是结合平角性质和角平分线定义推导未知角的度数，解题时只要理清各个角之间的和差关系即可快速求解，注意计算时不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据O在直线AB上，可得出∠AOB为平角（180°），结合已知∠BOD=40°，先求出∠AOD的度数；再利用OC平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义求出∠COD的度数；最后将∠COD与∠BOD相加，即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵O是直线AB上的点，
∴∠AOB=180°（平角的定义），
∵∠BOD=40°，
∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD=180°-40°=140°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=½∠AOD=½×140°=70°（角平分线的定义），
∴∠BOC=∠COD + ∠BOD=70°+40°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题，核心是结合平角性质和角平分线定义推导未知角的度数，解题时只要理清各个角之间的和差关系即可快速求解，注意计算时不要出错。
【难度系数】
0.8
3.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°，∠COE=40°，则∠BOD=
55
°.答案
3.55
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角。观察图形可知，要求的∠BOD由∠BOC和∠COD两部分组成，因此先根据OB是∠AOC的平分线求出∠BOC的度数，再根据OD是∠COE的平分线求出∠COD的度数，最后将两个角的度数相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵OB是∠AOC的平分线，∠AOC=70°，
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∵OD是∠COE的平分线，∠COE=40°，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=35°+20°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题核心是利用角平分线的性质得到等角关系，再结合图形中角的组成关系列式计算，熟练掌握角平分线的定义就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角。观察图形可知，要求的∠BOD由∠BOC和∠COD两部分组成，因此先根据OB是∠AOC的平分线求出∠BOC的度数，再根据OD是∠COE的平分线求出∠COD的度数，最后将两个角的度数相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵OB是∠AOC的平分线，∠AOC=70°，
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∵OD是∠COE的平分线，∠COE=40°，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COE=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=35°+20°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题核心是利用角平分线的性质得到等角关系，再结合图形中角的组成关系列式计算，熟练掌握角平分线的定义就能快速求解。
【难度系数】
0.85
4. 已知$∠ AOB=120°$，$∠ COD=90°$，$OE$平分$∠ AOD$.
(1) 如图①，当$∠ COD$的边$OD$在$∠ AOB$内部时，若$∠ COE=40°$，求$∠ BOD$的度数；
(2) 如图②，当$∠ COD$的边$OD$在$∠ AOB$外部，且$0°＜∠ BOD＜60°$时，设$∠ COE=α$，$∠ BOD=β$，用等式表示$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由.
(1) 如图①，当$∠ COD$的边$OD$在$∠ AOB$内部时，若$∠ COE=40°$，求$∠ BOD$的度数；
(2) 如图②，当$∠ COD$的边$OD$在$∠ AOB$外部，且$0°＜∠ BOD＜60°$时，设$∠ COE=α$，$∠ BOD=β$，用等式表示$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由.
答案
4.解:(1)因为$∠ COD=90°,∠ COE=40°$,
所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-40°=50°$.
因为OE平分$∠ AOD$,所以$∠ AOD=2∠ DOE=100°$.
因为$∠ AOB=120°$,
所以$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=120°-100°=20°$.
(2)数量关系为$2α+β=60°$.
理由:因为$∠ COD=90°,∠ COE=α$,
所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-α$.
因为OE平分$∠ AOD$,
所以$∠ AOD=2∠ DOE=2(90°-α)=180°-2α$.
因为$∠ AOB=120°$,
所以$β=∠ AOD-∠ AOB=180°-2α-120°=60°-2α$,
即$2α+β=60°$.
所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-40°=50°$.
因为OE平分$∠ AOD$,所以$∠ AOD=2∠ DOE=100°$.
因为$∠ AOB=120°$,
所以$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=120°-100°=20°$.
(2)数量关系为$2α+β=60°$.
理由:因为$∠ COD=90°,∠ COE=α$,
所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-α$.
因为OE平分$∠ AOD$,
所以$∠ AOD=2∠ DOE=2(90°-α)=180°-2α$.
因为$∠ AOB=120°$,
所以$β=∠ AOD-∠ AOB=180°-2α-120°=60°-2α$,
即$2α+β=60°$.
解析
【分析】
(1) 解题时先从已知的∠COD和∠COE的度数入手，利用角的和差关系求出∠DOE的度数；再结合OE平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义得到∠AOD的度数；最后用∠AOB的度数减去∠AOD的度数，即可求出∠BOD的度数。
(2) 第二问和第一问思路类似，先用含α的式子表示出∠DOE，再根据角平分线的定义用含α的式子表示∠AOD；接着结合图形确定∠AOD、∠AOB和∠BOD的和差关系，把相关量代入等量关系整理后，即可得到α和β的数量关系。
【解析】
(1) 因为∠COD=90°，∠COE=40°，
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-40°=50°。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2×50°=100°。
又因为∠AOB=120°，
所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-100°=20°。
(2) 数量关系为$2α+β=60°$，理由如下：
因为∠COD=90°，∠COE=α，
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2(90°-α)=180°-2α。
又因为∠AOB=120°，
所以$β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α$，
整理可得$2α+β=60°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{2α+β=60°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，正确运用角平分线的性质进行角度转化，计算时注意不要混淆不同位置角的和差关系。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先从已知的∠COD和∠COE的度数入手，利用角的和差关系求出∠DOE的度数；再结合OE平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义得到∠AOD的度数；最后用∠AOB的度数减去∠AOD的度数，即可求出∠BOD的度数。
(2) 第二问和第一问思路类似，先用含α的式子表示出∠DOE，再根据角平分线的定义用含α的式子表示∠AOD；接着结合图形确定∠AOD、∠AOB和∠BOD的和差关系，把相关量代入等量关系整理后，即可得到α和β的数量关系。
【解析】
(1) 因为∠COD=90°，∠COE=40°，
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-40°=50°。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2×50°=100°。
又因为∠AOB=120°，
所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-100°=20°。
(2) 数量关系为$2α+β=60°$，理由如下：
因为∠COD=90°，∠COE=α，
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α。
因为OE平分∠AOD，所以∠AOD=2∠DOE=2(90°-α)=180°-2α。
又因为∠AOB=120°，
所以$β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α$，
整理可得$2α+β=60°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{2α+β=60°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，正确运用角平分线的性质进行角度转化，计算时注意不要混淆不同位置角的和差关系。
【难度系数】
0.7
5. 用我们常用的一副三角尺可以拼出的角度是 （
A.$70°$
B.$135°$
C.$140°$
D.$55°$
A
D
F
B
）A.$70°$
B.$135°$
C.$140°$
D.$55°$
A
D
F
答案
5.B
解析
【分析】
首先要明确一副常用三角尺的所有内角度数分别为30°、45°、60°、90°，拼出的角一定是这几个角度通过相加或者相减得到的。解题时只需逐一验证每个选项的角度是否能由上述角度的和或差得到，即可选出正确答案。
【解析】
一副标准三角尺的内角分别为30°、45°、60°、90°，我们逐一分析选项：
A. 70°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
B. 135°=90°+45°，可以用直角和45°角拼出，符合要求；
C. 140°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
D. 55°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角尺角度特征；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟记常用三角尺的各个内角度数，通过简单的和差运算即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
首先要明确一副常用三角尺的所有内角度数分别为30°、45°、60°、90°，拼出的角一定是这几个角度通过相加或者相减得到的。解题时只需逐一验证每个选项的角度是否能由上述角度的和或差得到，即可选出正确答案。
【解析】
一副标准三角尺的内角分别为30°、45°、60°、90°，我们逐一分析选项：
A. 70°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
B. 135°=90°+45°，可以用直角和45°角拼出，符合要求；
C. 140°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求；
D. 55°无法通过上述角度的和或差计算得到，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角尺角度特征；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟记常用三角尺的各个内角度数，通过简单的和差运算即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在正方形ABCD中,E为DC边上一点,沿线段BE对折后,若∠ABF比∠EBF大15°,则∠EBC的度数是 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：第一，正方形的四个内角都是直角，可得∠ABC=90°；第二，折叠前后对应角相等，因此对折后∠EBF和∠EBC度数相等；第三，题目给出∠ABF比∠EBF大15°，我们可以设∠EBC的度数为未知数，根据三个角相加等于∠ABC的和差关系列方程，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°。
根据折叠的性质可得：∠EBF=∠EBC，
设∠EBC=x，则∠EBF=x，
∵∠ABF比∠EBF大15°，
∴∠ABF=x+15°，
又
∵∠ABF+∠EBF+∠EBC=∠ABC=90°，
将各角代入得：$(x+15°)+x+x=90°$，
整理得$3x=75°$，
解得$x=25°$，即∠EBC=25°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题型，解题核心是挖掘出折叠对应角相等的隐含条件，结合已知的角的数量关系，通过建立方程即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：第一，正方形的四个内角都是直角，可得∠ABC=90°；第二，折叠前后对应角相等，因此对折后∠EBF和∠EBC度数相等；第三，题目给出∠ABF比∠EBF大15°，我们可以设∠EBC的度数为未知数，根据三个角相加等于∠ABC的和差关系列方程，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°。
根据折叠的性质可得：∠EBF=∠EBC，
设∠EBC=x，则∠EBF=x，
∵∠ABF比∠EBF大15°，
∴∠ABF=x+15°，
又
∵∠ABF+∠EBF+∠EBC=∠ABC=90°，
将各角代入得：$(x+15°)+x+x=90°$，
整理得$3x=75°$，
解得$x=25°$，即∠EBC=25°。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算类基础题型，解题核心是挖掘出折叠对应角相等的隐含条件，结合已知的角的数量关系，通过建立方程即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
7. 已知$∠ AOB=30°$，自$∠ AOB$的顶点$O$引射线$OC$，若$∠ AOC:∠ AOB=4:3$，那么$∠ BOC$的度数是 （
A.$10°$
B.$40°$或$30°$
C.$70°$
D.$10°$或$70°$
D
）A.$10°$
B.$40°$或$30°$
C.$70°$
D.$10°$或$70°$
答案
7.D
解析
【分析】解题时先根据已知的角度比例关系求出∠AOC的度数，由于题目没有明确射线OC的位置，需分两种情况讨论：OC与OB在OA的同侧、OC与OB在OA的异侧，再结合角的和差关系分别计算两种情况下∠BOC的度数即可。
【解析】解：已知∠AOB=30°，∠AOC:∠AOB=4:3，
则$∠ AOC=\frac{4}{3}×∠ AOB=\frac{4}{3}×30°=40°$。
分两种情况讨论：
① 当OC和OB在OA的同侧时：
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=40°-30°=10°$；
② 当OC和OB在OA的异侧时：
$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=40°+30°=70°$。
综上，∠BOC的度数是10°或70°。
【答案】D
【知识点】角的和差计算；分类讨论思想；比例的应用
【点评】本题的易错点是忽略射线OC的位置不确定性，仅计算其中一种情况导致漏解，求解没有明确射线位置的角度问题时，要注意分类讨论所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】0.7
【解析】解：已知∠AOB=30°，∠AOC:∠AOB=4:3，
则$∠ AOC=\frac{4}{3}×∠ AOB=\frac{4}{3}×30°=40°$。
分两种情况讨论：
① 当OC和OB在OA的同侧时：
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=40°-30°=10°$；
② 当OC和OB在OA的异侧时：
$∠ BOC=∠ AOC+∠ AOB=40°+30°=70°$。
综上，∠BOC的度数是10°或70°。
【答案】D
【知识点】角的和差计算；分类讨论思想；比例的应用
【点评】本题的易错点是忽略射线OC的位置不确定性，仅计算其中一种情况导致漏解，求解没有明确射线位置的角度问题时，要注意分类讨论所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】0.7
