10.已知一个角的补角比这个角的余角的 4 倍小$30°$,求这个角的度数.

10.解:设这个角的度数是x.根据题意,得
180°−x+30°=4(90°−x),解得x=50°.
答:这个角的度数为50°.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为x，用含x的式子分别表示出它的补角和余角，再根据题目中“补角比这个角的余角的4倍小30°”的数量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个角的度数是x，则它的补角为$180° - x$，余角为$90° - x$。
根据题意列方程：
$180° - x + 30° = 4(90° - x)$
展开等号右侧得：$210° - x = 360° - 4x$
移项得：$4x - x = 360° - 210°$
合并同类项得：$3x = 150°$
系数化为1得：$x = 50°$
【答案】
这个角的度数为$50°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础应用题，解题关键是准确理解余角、补角的概念，能将题干的文字描述转化为等量关系列方程求解，掌握相关概念和一元一次方程解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

11. 如图①，$∠ AOC$和$∠ BOD$都是直角.
(1)如果$∠ DOC=35°$，那么$∠ AOB=$ ______；
(2)找出图①中一组相等的锐角________；
(3)若$∠ DOC$变小，则$∠ AOB$将________；(填“变大”或“变小”)
(4)利用能够画直角的工具在图②中再画一个与$∠ BOC$相等的角，不写作法，保留作图痕迹.

11.(1)145° (2)∠AOD=∠BOC (3)变大
(4)解:如答图,∠EOF即为所求.

【分析】
本题围绕直角的性质、角的和差关系、余角的性质展开考查，解题思路如下：
(1) 首先明确直角为90°，要求∠AOB，可观察到∠AOB由∠AOD和∠BOD组成，先通过∠AOC减去∠DOC求出∠AOD，再加上∠BOD的度数即可；也可直接利用两个直角的和减去重叠部分∠DOC得到∠AOB。
(2) 找相等的锐角，观察两个锐角∠AOD和∠BOC，二者都与∠DOC相加等于90°，根据同角的余角相等即可得出二者相等。
(3) 由(1)的推导可得出∠AOB和∠DOC的数量关系为∠AOB=180°-∠DOC，据此即可判断∠DOC变小时∠AOB的变化趋势。
(4) 要画和∠BOC相等的角，根据同角的余角相等，只需构造两个分别与OB、OC垂直的射线，得到的与∠BOC对应同余的角即为所求。
【解析】
(1) 已知∠AOC和∠BOD都是直角，因此∠AOC=∠BOD=90°。
可得∠AOB=∠AOC+∠BOD-∠DOC=90°+90°-35°=145°。
(2) 因为∠AOD+∠DOC=∠AOC=90°，∠BOC+∠DOC=∠BOD=90°，根据同角的余角相等，可得∠AOD=∠BOC，二者均为锐角，符合要求。
(3) 由(1)的推导可得∠AOB=180°-∠DOC，因此当∠DOC变小时，180°减去的数值变小，计算结果会变大，即∠AOB变大。
(4) 过点O作OE⊥OB，作OF⊥OC，所得∠EOF与∠BOC均和∠BOF互余，因此∠EOF=∠BOC，即为所求角。
【答案】
(1)145° (2)∠AOD=∠BOC (3)变大
(4)解:如答图,∠EOF即为所求.
【知识点】
角的和差运算，余角的性质，直角的定义
【点评】
本题侧重考查角的基础运算和余角性质的应用，解题核心是掌握直角的度数特征，以及“同角的余角相等”这一常用性质，作图题需要灵活运用余角性质构造等角，整体属于基础题型，旨在巩固角的相关基础概念。
【难度系数】
0.8

12.已知O为直线AB上一点.
(1)如图①,过点O作射线OC,使∠AOC:∠BOC=3:2,求∠AOC与∠BOC的度数;
(2)如图②,射线OC为∠AOB内部任意一条射线,且∠COE=∠BOE,∠COD=∠AOD,则∠DOE=°,此时图中互余的角有对,互补的角有对;
(3)如图③,在(2)的情况下,保持∠DOE的度数不变,改变其他条件,使得∠COD=∠BOC,此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系?并说明理由.

12.(1)解:因为∠AOC:∠BOC=3:2,
所以设∠AOC=3x,则∠BOC=2x,
根据题意,得3x+2x=180°,解得x=36°,
所以∠AOC=108°,∠BOC=72°.
(2)90 4 5
(3)解:∠AOD=2∠COE.理由如下:
因为∠COD=∠BOC,
所以∠BOC=1/2∠BOD=1/2(180°−∠AOD)=90°−1/2∠AOD.
因为∠AOD+∠DOC+∠BOC=180°,
所以∠AOD+(90°−∠COE)+(90°−1/2∠AOD)=180°,
所以∠AOD=2∠COE.

【分析】
(1) 首先明确O在直线AB上，可得∠AOB是平角为180°，已知∠AOC和∠BOC的度数比，可通过设未知数，结合两个角的和为180°列方程求解。
(2) 根据角平分线的定义，∠DOE是∠AOC与∠BOC的一半之和，也就是平角∠AOB的一半，可直接算出度数；再根据余角（和为90°）、补角（和为180°）的定义，结合角的相等关系按顺序枚举计数即可。
(3) 推导∠AOD和∠COE的数量关系时，先保留(2)中∠DOE=90°的结论，结合已知∠COD=∠BOC，将相关角用∠AOD和∠COE代换，再通过平角的和为180°整理等式即可得到结果。
【解析】
(1) 解：因为O为直线AB上一点，所以∠AOB=180°，即$∠ AOC+∠ BOC=180°$。
已知$∠ AOC:∠ BOC=3:2$，设$∠ AOC=3x$，$∠ BOC=2x$，
代入得$3x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
所以$∠ AOC=3×36°=108°$，$∠ BOC=2×36°=72°$。
(2) 解：因为$∠ COD=∠ AOD$，$∠ COE=∠ BOE$，所以OD平分$∠ AOC$，OE平分$∠ BOC$，
则$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
互余的角有：$∠ AOD$与$∠ COE$、$∠ AOD$与$∠ BOE$、$∠ COD$与$∠ COE$、$∠ COD$与$∠ BOE$，共4对；
互补的角有：$∠ AOD$与$∠ BOD$、$∠ COD$与$∠ BOD$、$∠ BOE$与$∠ AOE$、$∠ COE$与$∠ AOE$、$∠ AOC$与$∠ BOC$，共5对。
(3) 解：$∠ AOD=2∠ COE$，理由如下：
因为$∠ COD=∠ BOC$，所以$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ BOD$，又$∠ BOD=180°-∠ AOD$，因此$∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-∠ AOD)=90°-\frac{1}{2}∠ AOD$。
由$∠ DOE=90°$可得$∠ COD+∠ COE=90°$，即$∠ COD=90°-∠ COE$。
结合平角性质$∠ AOD+∠ COD+∠ BOC=180°$，代入上述两个式子得：
$∠ AOD+(90°-∠ COE)+(90°-\frac{1}{2}∠ AOD)=180°$，
整理得$\frac{1}{2}∠ AOD=∠ COE$，即$∠ AOD=2∠ COE$。
【答案】
(1) $∠ AOC=108°$，$∠ BOC=72°$；
(2) $90$，$4$，$5$；
(3) $∠ AOD=2∠ COE$。
【知识点】
平角的性质，角平分线的定义，余角与补角
【点评】
本题综合考查角度计算与角的关系推导，基础部分涉及比例求角的常规方法，计数互余、互补角时需要按规律枚举避免漏错，推导角的数量关系时侧重考查等量代换的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6