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1. 图2是图1的俯视数阵图。请在方格图中画出图3的俯视数阵图。根据俯视数阵图，列式计算图3是由多少个图1搭成的。试一试！
答案
1. 12个
解析
【分析】
解题首先要明确俯视数阵图的含义：每个方格中的数字代表该位置上堆叠的小正方体的个数。我们要计算立体图形的总小正方体数量，只需要将俯视数阵图里所有格子的数字相加即可，相加时可以按行依次计算再求和，避免漏算、错算。
【解析】
首先按行累加俯视数阵图中所有数字：
第一行数字和：$3+2+1+1=7$
第二行数字和：$2+1+1=4$
第三行数字和：$1$
总个数：$7+4+1=12$（个）
【答案】
12个
【知识点】
立体图形计数、俯视数阵图的认识
【点评】
本题考查立体图形的计数方法，解题关键是理解俯视数阵图中数字的实际意义，计算时注意按顺序累加，避免遗漏数字，整体解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确俯视数阵图的含义：每个方格中的数字代表该位置上堆叠的小正方体的个数。我们要计算立体图形的总小正方体数量，只需要将俯视数阵图里所有格子的数字相加即可，相加时可以按行依次计算再求和，避免漏算、错算。
【解析】
首先按行累加俯视数阵图中所有数字：
第一行数字和：$3+2+1+1=7$
第二行数字和：$2+1+1=4$
第三行数字和：$1$
总个数：$7+4+1=12$（个）
【答案】
12个
【知识点】
立体图形计数、俯视数阵图的认识
【点评】
本题考查立体图形的计数方法，解题关键是理解俯视数阵图中数字的实际意义，计算时注意按顺序累加，避免遗漏数字，整体解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
2. 桌面上摆着一些大小相同的正方体木块，从正南方向看到的形状如图1所示，从正东方向看到的形状如图2所示。要摆出这样的立体图形，最多需要(
20
)个正方体木块，最少需要(6
)个正方体木块。答案
2. 最多需要20个(左下)，最少需要6个(右下)
解析
【分析】
首先从视图中提取信息：从正南方向看到的图1可知，立体图形左右共4列，左数第1、2列最高为2层，第3、4列最高为1层；从正东方向看到的图2可知，立体图形前后共4排，最前、最后排最高为2层，中间第2、3排最高为1层。
求最多木块数时，每个位置的木块数取该列、该排允许的最大层数的较小值，求和即可；求最少木块数时，要尽量让高层木块的位置同时满足列和排的最高层数要求，剩余1层的位置也尽量重叠，只要保证每列、每排的最高层数符合视图要求即可。
【解析】
计算最多需要的木块数
将立体图形看作4行（前后排）4列（左右列）的网格：
1. 列1、列2允许最高2层，列3、列4允许最高1层；行1、行4允许最高2层，行2、行3允许最高1层。
2. 行1、行4与列1、列2的交叉位置共4个，每个最多放2个，共$4×2=8$个；
3. 其余位置共$4×4-4=12$个，每个最多放1个，共$12×1=12$个；
4. 总最多数量：$8+12=20$个。
计算最少需要的木块数
1. 先满足2层的要求：安排(行1,列1)放2个、(行4,列2)放2个，就同时满足列1、列2有2层，行1、行4有2层的要求，共使用$2+2=4$个木块。
2. 再满足1层的要求：安排(行2,列3)放1个、(行3,列4)放1个，就同时满足列3、列4有1层，行2、行3有1层的要求，共使用$1+1=2$个木块。
3. 总最少数量：$4+2=6$个。
【答案】
最多需要20个，最少需要6个
【知识点】
1. 三视图观察
2. 立体图形拼搭
3. 空间想象
【点评】
本题是观察立体图形的典型题型，重点考察空间想象能力，解题核心是从两个方向的视图中提取行列的层数限制，求最大值时直接取每个位置的允许最大层数求和，求最小值时要尽可能让高层木块的位置重叠，减少总数量。
【难度系数】
0.5
首先从视图中提取信息：从正南方向看到的图1可知，立体图形左右共4列，左数第1、2列最高为2层，第3、4列最高为1层；从正东方向看到的图2可知，立体图形前后共4排，最前、最后排最高为2层，中间第2、3排最高为1层。
求最多木块数时，每个位置的木块数取该列、该排允许的最大层数的较小值，求和即可；求最少木块数时，要尽量让高层木块的位置同时满足列和排的最高层数要求，剩余1层的位置也尽量重叠，只要保证每列、每排的最高层数符合视图要求即可。
【解析】
计算最多需要的木块数
将立体图形看作4行（前后排）4列（左右列）的网格：
1. 列1、列2允许最高2层，列3、列4允许最高1层；行1、行4允许最高2层，行2、行3允许最高1层。
2. 行1、行4与列1、列2的交叉位置共4个，每个最多放2个，共$4×2=8$个；
3. 其余位置共$4×4-4=12$个，每个最多放1个，共$12×1=12$个；
4. 总最多数量：$8+12=20$个。
计算最少需要的木块数
1. 先满足2层的要求：安排(行1,列1)放2个、(行4,列2)放2个，就同时满足列1、列2有2层，行1、行4有2层的要求，共使用$2+2=4$个木块。
2. 再满足1层的要求：安排(行2,列3)放1个、(行3,列4)放1个，就同时满足列3、列4有1层，行2、行3有1层的要求，共使用$1+1=2$个木块。
3. 总最少数量：$4+2=6$个。
【答案】
最多需要20个，最少需要6个
【知识点】
1. 三视图观察
2. 立体图形拼搭
3. 空间想象
【点评】
本题是观察立体图形的典型题型，重点考察空间想象能力，解题核心是从两个方向的视图中提取行列的层数限制，求最大值时直接取每个位置的允许最大层数求和，求最小值时要尽可能让高层木块的位置重叠，减少总数量。
【难度系数】
0.5
3. 用一些棱长是1厘米的小正方体摆放成一个立体图形，从上向下看到的形状如图1所示，从正面看到的形状如图2所示。这个立体图形的表面积最多是多少平方厘米？
答案
3. 34cm²
解析
【分析】
要计算这个立体图形的最大表面积，可按以下思路思考：
1. 先根据俯视图确定底层小正方体的数量：俯视图有多少个正方形，底层就对应有多少个小正方体，每个位置固定1个。
2. 再结合主视图确定第二层小正方体的摆放：主视图里高度为2层的列，对应俯视图的同列所有位置都可以放第二层小正方体，这种摆放方式重合面最少，露出的面最多，表面积最大。
3. 用“总面数减重合面数”的方法计算表面积：每个小正方体有6个面，每有一处两个小正方体重合，就会遮挡2个面，用所有小正方体的总面数减去所有重合遮挡的面数，就是最终的表面积。
【解析】
1. 确定小正方体总数量：
从俯视图（图1）可知，底层共有6个小正方体；从主视图（图2）可知，左数第1列、第4列最高可放2层。要使表面积最大，左数第1列的前后2个底层上方各放1个第二层小正方体，第4列的底层上方放1个第二层小正方体，总共有小正方体：$6+2+1=9$（个）。
2. 计算所有小正方体的总面数：
每个小正方体棱长1厘米，1个面面积是1平方厘米，总面数为：$9×6=54$（平方厘米）。
3. 计算重合遮挡的总面积：
每处两个小正方体重合会遮挡2个面：
① 底层相邻小正方体共6对重合：前行4个有3对相邻，后行2个有1对相邻，左数第1、2列各有1对前后相邻，共$3+1+1+1=6$对；
② 第二层和底层重合共3对：3个第二层小正方体各和下方1个底层小正方体重合；
③ 第二层左列的2个小正方体前后相邻，共1对重合。
总重合对数：$6+3+1=10$对，遮挡总面积：$10×2=20$（平方厘米）。
4. 计算最终表面积：
$54-20=34$（平方厘米）。
【答案】
$34\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别，正方体表面积计算，立体图形拼接
【点评】
这道题需要结合三视图判断小正方体的最优摆放方式，核心是理解重合面越少，立体图形表面积越大，既考察了空间想象能力，也考察了表面积计算的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要计算这个立体图形的最大表面积，可按以下思路思考：
1. 先根据俯视图确定底层小正方体的数量：俯视图有多少个正方形，底层就对应有多少个小正方体，每个位置固定1个。
2. 再结合主视图确定第二层小正方体的摆放：主视图里高度为2层的列，对应俯视图的同列所有位置都可以放第二层小正方体，这种摆放方式重合面最少，露出的面最多，表面积最大。
3. 用“总面数减重合面数”的方法计算表面积：每个小正方体有6个面，每有一处两个小正方体重合，就会遮挡2个面，用所有小正方体的总面数减去所有重合遮挡的面数，就是最终的表面积。
【解析】
1. 确定小正方体总数量：
从俯视图（图1）可知，底层共有6个小正方体；从主视图（图2）可知，左数第1列、第4列最高可放2层。要使表面积最大，左数第1列的前后2个底层上方各放1个第二层小正方体，第4列的底层上方放1个第二层小正方体，总共有小正方体：$6+2+1=9$（个）。
2. 计算所有小正方体的总面数：
每个小正方体棱长1厘米，1个面面积是1平方厘米，总面数为：$9×6=54$（平方厘米）。
3. 计算重合遮挡的总面积：
每处两个小正方体重合会遮挡2个面：
① 底层相邻小正方体共6对重合：前行4个有3对相邻，后行2个有1对相邻，左数第1、2列各有1对前后相邻，共$3+1+1+1=6$对；
② 第二层和底层重合共3对：3个第二层小正方体各和下方1个底层小正方体重合；
③ 第二层左列的2个小正方体前后相邻，共1对重合。
总重合对数：$6+3+1=10$对，遮挡总面积：$10×2=20$（平方厘米）。
4. 计算最终表面积：
$54-20=34$（平方厘米）。
【答案】
$34\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别，正方体表面积计算，立体图形拼接
【点评】
这道题需要结合三视图判断小正方体的最优摆放方式，核心是理解重合面越少，立体图形表面积越大，既考察了空间想象能力，也考察了表面积计算的灵活运用。
【难度系数】
0.6
