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一、选择题
1. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线$y=x$上的动点，$A(2,0)$，$B(4,0)$是x轴上的两点，则$PA+PB$的最小值为 （
A.$2+2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.6
1. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线$y=x$上的动点，$A(2,0)$，$B(4,0)$是x轴上的两点，则$PA+PB$的最小值为 （
B
）A.$2+2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.6
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：① 明确问题本质：直线y=x同侧有两点A、B，要在直线上找一点P使PA+PB最小，需用轴对称将同侧两点转化为异侧两点；② 利用轴对称性质：点P在y=x上，取其中一点关于y=x的对称点，即可将PA转化为与之相等的线段，将PA+PB转化为两条共端点线段的和；③ 根据“两点之间线段最短”，可知两条线段和的最小值就是对称点与另一点的线段长度，最后用勾股定理计算该长度即可。
【解析】
1. 作点A(2,0)关于直线$y=x$的对称点$A'$：根据关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换的规律，可得$A'$的坐标为$(0,2)$。
2. 由轴对称的性质可知：$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
3. 根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为线段$A'B$的长度。
4. 计算$A'B$的长度：已知$B(4,0)$，$A'(0,2)$，在$Rt△ A'OB$中，$OA'=2$，$OB=4$，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因此$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径的常考基础题型，解题核心是通过轴对称完成线段的等量转化，将动态的线段和最值问题转化为静态的定线段长度计算，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：① 明确问题本质：直线y=x同侧有两点A、B，要在直线上找一点P使PA+PB最小，需用轴对称将同侧两点转化为异侧两点；② 利用轴对称性质：点P在y=x上，取其中一点关于y=x的对称点，即可将PA转化为与之相等的线段，将PA+PB转化为两条共端点线段的和；③ 根据“两点之间线段最短”，可知两条线段和的最小值就是对称点与另一点的线段长度，最后用勾股定理计算该长度即可。
【解析】
1. 作点A(2,0)关于直线$y=x$的对称点$A'$：根据关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换的规律，可得$A'$的坐标为$(0,2)$。
2. 由轴对称的性质可知：$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$。
3. 根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取得最小值，最小值为线段$A'B$的长度。
4. 计算$A'B$的长度：已知$B(4,0)$，$A'(0,2)$，在$Rt△ A'OB$中，$OA'=2$，$OB=4$，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因此$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径的常考基础题型，解题核心是通过轴对称完成线段的等量转化，将动态的线段和最值问题转化为静态的定线段长度计算，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，点O为坐标原点，点B在轴正半轴上，点A的坐标为$(m, n)$，且$AO=AB$，若$□ AOBC$的面积为12，则$mn$的值为（
A.24
B.12
C.6
D.3
C
）A.24
B.12
C.6
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先根据已知AO=AB判断△AOB为等腰三角形，结合平面直角坐标系中点的坐标特征，利用等腰三角形三线合一的性质可求出底OB的长度与点A横坐标m的关系；再根据平行四边形的面积等于底乘高，高就是点A的纵坐标n，结合已知面积为12列出等式，整理即可求出mn的值。
【解析】
过点A作AD⊥OB于点D。
∵ AO=AB，AD⊥OB，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，D为OB的中点。
∵ 点A的坐标为(m,n)，OB在x轴正半轴上，
∴ 高AD = n，OD = m，
∴ OB = 2OD = 2m。
∵ 平行四边形AOBC的面积 = 底×高 = OB×AD = 12，
代入得：$2m·n = 12$，
解得：$mn = 6$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的面积计算，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质建立平行四边形的底与点A横坐标的关联，再结合面积公式求解，能够较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知AO=AB判断△AOB为等腰三角形，结合平面直角坐标系中点的坐标特征，利用等腰三角形三线合一的性质可求出底OB的长度与点A横坐标m的关系；再根据平行四边形的面积等于底乘高，高就是点A的纵坐标n，结合已知面积为12列出等式，整理即可求出mn的值。
【解析】
过点A作AD⊥OB于点D。
∵ AO=AB，AD⊥OB，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，D为OB的中点。
∵ 点A的坐标为(m,n)，OB在x轴正半轴上，
∴ 高AD = n，OD = m，
∴ OB = 2OD = 2m。
∵ 平行四边形AOBC的面积 = 底×高 = OB×AD = 12，
代入得：$2m·n = 12$，
解得：$mn = 6$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，平行四边形的面积计算，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质建立平行四边形的底与点A横坐标的关联，再结合面积公式求解，能够较好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 下列四个数中，是不等式$\frac{3-x}{2}＞2$的解的是（
A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解决这道题可分为两步：第一步先求解一元一次不等式$\frac{3-x}{2}＞2$，得到x的取值范围；第二步估算每个选项中无理数的近似值，判断哪个数值落在求得的解集范围内，即为不等式的解。
【解析】
1. 求解不等式$\frac{3-x}{2}＞2$：
① 不等式两边同时乘2去分母，得：$3-x＞4$
② 移项合并同类项，得：$-x＞1$
③ 两边同时乘-1，不等号方向改变，得解集：$x＜-1$
2. 逐一判断选项：
A. $\sqrt{3}\approx1.732＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解；
B. $-\sqrt{3}\approx-1.732＜-1$，符合解集要求，是不等式的解；
C. $2＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解；
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法，无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先正确求出不等式的解集，再结合常见无理数的近似值判断选项即可，注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
解决这道题可分为两步：第一步先求解一元一次不等式$\frac{3-x}{2}＞2$，得到x的取值范围；第二步估算每个选项中无理数的近似值，判断哪个数值落在求得的解集范围内，即为不等式的解。
【解析】
1. 求解不等式$\frac{3-x}{2}＞2$：
① 不等式两边同时乘2去分母，得：$3-x＞4$
② 移项合并同类项，得：$-x＞1$
③ 两边同时乘-1，不等号方向改变，得解集：$x＜-1$
2. 逐一判断选项：
A. $\sqrt{3}\approx1.732＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解；
B. $-\sqrt{3}\approx-1.732＜-1$，符合解集要求，是不等式的解；
C. $2＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解；
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＞-1$，不符合解集要求，不是不等式的解。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法，无理数的估算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先正确求出不等式的解集，再结合常见无理数的近似值判断选项即可，注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
4.12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛.如果小亮知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，小亮最应该关注的一个统计量是（
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
C
）.A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
4.C
解析
【分析】
解题的核心是明确需求：需要判断自己的成绩是否排在前6名，因此要找到能区分前6名和后6名的分界统计量。首先回忆四个统计量的含义：平均数反映整体平均水平，受极端值影响无法体现个体排名；众数是出现次数最多的数，本题所有成绩互不相同，无参考价值；方差反映数据的波动程度，和排名无关；12个不同的成绩排序后，中位数是第6名和第7名成绩的平均值，刚好是前6和后6的分界，若自己的成绩高于中位数就一定在前6名，因此只需关心中位数即可。
【解析】
逐一分析各统计量的作用：
1. 平均数：反映12位同学成绩的平均水平，受极端值影响较大，无法判断个人排名是否在前6，排除A选项；
2. 众数：是一组数据中出现次数最多的数值，本题12位同学成绩各不相同，所有数值都仅出现1次，没有参考意义，排除B选项；
3. 方差：用来衡量一组数据的波动大小，和成绩排名高低无关，排除D选项；
4. 中位数：将12个成绩从高到低排序后，中位数为第6名和第7名成绩的平均值，是前6名和后6名的分界值。若小亮的成绩高于中位数，则排名在前6，可以进入决赛；若低于中位数，则排名在第7名及以后，无法进入决赛，因此最应该关注中位数。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
中位数的意义，统计量的选择
【点评】
本题结合竞赛晋级的实际场景考查不同统计量的适用范围，解题关键是理解中位数可以反映数据的中间位次，能够用来判断个体在整体中的排名情况，侧重对统计概念的理解与实际运用。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确需求：需要判断自己的成绩是否排在前6名，因此要找到能区分前6名和后6名的分界统计量。首先回忆四个统计量的含义：平均数反映整体平均水平，受极端值影响无法体现个体排名；众数是出现次数最多的数，本题所有成绩互不相同，无参考价值；方差反映数据的波动程度，和排名无关；12个不同的成绩排序后，中位数是第6名和第7名成绩的平均值，刚好是前6和后6的分界，若自己的成绩高于中位数就一定在前6名，因此只需关心中位数即可。
【解析】
逐一分析各统计量的作用：
1. 平均数：反映12位同学成绩的平均水平，受极端值影响较大，无法判断个人排名是否在前6，排除A选项；
2. 众数：是一组数据中出现次数最多的数值，本题12位同学成绩各不相同，所有数值都仅出现1次，没有参考意义，排除B选项；
3. 方差：用来衡量一组数据的波动大小，和成绩排名高低无关，排除D选项；
4. 中位数：将12个成绩从高到低排序后，中位数为第6名和第7名成绩的平均值，是前6名和后6名的分界值。若小亮的成绩高于中位数，则排名在前6，可以进入决赛；若低于中位数，则排名在第7名及以后，无法进入决赛，因此最应该关注中位数。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
中位数的意义，统计量的选择
【点评】
本题结合竞赛晋级的实际场景考查不同统计量的适用范围，解题关键是理解中位数可以反映数据的中间位次，能够用来判断个体在整体中的排名情况，侧重对统计概念的理解与实际运用。
【难度系数】
0.8
5. 下列关于一次函数$y=-2x+2$的说法中，错误的是（
A.图象不经过第三象限
B.图象与直线$y=-4$的交点坐标为$(3,-4)$
C.当$x＞-1$时，$y＜4$
D.点$(x_1,-1),(x_2,1)$在函数图象上，则$x_1＜x_2$
D
）A.图象不经过第三象限
B.图象与直线$y=-4$的交点坐标为$(3,-4)$
C.当$x＞-1$时，$y＜4$
D.点$(x_1,-1),(x_2,1)$在函数图象上，则$x_1＜x_2$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查一次函数的相关性质，解题思路为：先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象特征、增减性等核心性质，再对四个选项逐一验证判断，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：一次函数$y=-2x+2$中，斜率$k=-2＜0$，函数图象过第二、四象限；截距$b=2＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A选项说法正确。
2. 分析选项B：求图象与直线$y=-4$的交点，将$y=-4$代入$y=-2x+2$，得：
$-4=-2x+2$
解得$x=3$，因此交点坐标为$(3,-4)$，B选项说法正确。
3. 分析选项C：当$y＜4$时，代入解析式得：
$-2x+2＜4$
移项得$-2x＜2$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＞-1$，即当$x＞-1$时，$y＜4$，C选项说法正确。
4. 分析选项D：一次函数$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。已知点$(x_1,-1)$、$(x_2,1)$在图象上，且$-1＜1$，即$y_1＜y_2$，根据增减性，y越小对应的x越大，因此$x_1＞x_2$，D选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查对一次函数增减性、图象象限特征的理解，解题时只要熟练掌握一次函数核心性质，逐项验证即可得出正确结论，解题时要注意解不等式除以负数时不等号方向改变、增减性应用时不要搞反x和y的变化关系。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的相关性质，解题思路为：先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象特征、增减性等核心性质，再对四个选项逐一验证判断，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：一次函数$y=-2x+2$中，斜率$k=-2＜0$，函数图象过第二、四象限；截距$b=2＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A选项说法正确。
2. 分析选项B：求图象与直线$y=-4$的交点，将$y=-4$代入$y=-2x+2$，得：
$-4=-2x+2$
解得$x=3$，因此交点坐标为$(3,-4)$，B选项说法正确。
3. 分析选项C：当$y＜4$时，代入解析式得：
$-2x+2＜4$
移项得$-2x＜2$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＞-1$，即当$x＞-1$时，$y＜4$，C选项说法正确。
4. 分析选项D：一次函数$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。已知点$(x_1,-1)$、$(x_2,1)$在图象上，且$-1＜1$，即$y_1＜y_2$，根据增减性，y越小对应的x越大，因此$x_1＞x_2$，D选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查对一次函数增减性、图象象限特征的理解，解题时只要熟练掌握一次函数核心性质，逐项验证即可得出正确结论，解题时要注意解不等式除以负数时不等号方向改变、增减性应用时不要搞反x和y的变化关系。
【难度系数】
0.7
6. 在同一平面直角坐标系中，若直线$y=kx+3$与直线$y=2x+b$平行，则 （
A.$k=2$，$b=3$
B.$k=2$，$b≠3$
C.$k≠2$，$b≠3$
D.$k≠2$，$b=3$
B
）A.$k=2$，$b=3$
B.$k=2$，$b≠3$
C.$k≠2$，$b≠3$
D.$k≠2$，$b=3$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数图象的相关性质：两条一次函数对应的直线平行时，倾斜程度相同，即一次项系数k相等；若两个一次函数的k和b都相等，则两条直线完全重合，不属于平行的范畴。因此我们可以先根据平行条件确定k的取值，再排除重合的情况确定b的取值，最终匹配正确选项。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$，$k$决定直线的倾斜程度，$b$决定直线与$y$轴交点的纵坐标。
已知直线$y=kx+3$与直线$y=2x+b$平行：
1. 两直线平行说明倾斜程度相同，因此一次项系数相等，即$k=2$；
2. 若$k=2$的同时$b=3$，则两条直线的表达式完全相同，属于同一条直线（重合），不符合平行的要求，因此$b≠3$。
综上可得$k=2$，$b≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质；两直线平行条件；一次函数系数意义
【点评】
本题是基础类考题，重点考查一次函数图象平行时的系数特征，解题时需特别注意区分“平行”和“重合”两种情况，避免遗漏$b$不相等的条件造成错选，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数图象的相关性质：两条一次函数对应的直线平行时，倾斜程度相同，即一次项系数k相等；若两个一次函数的k和b都相等，则两条直线完全重合，不属于平行的范畴。因此我们可以先根据平行条件确定k的取值，再排除重合的情况确定b的取值，最终匹配正确选项。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$，$k$决定直线的倾斜程度，$b$决定直线与$y$轴交点的纵坐标。
已知直线$y=kx+3$与直线$y=2x+b$平行：
1. 两直线平行说明倾斜程度相同，因此一次项系数相等，即$k=2$；
2. 若$k=2$的同时$b=3$，则两条直线的表达式完全相同，属于同一条直线（重合），不符合平行的要求，因此$b≠3$。
综上可得$k=2$，$b≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质；两直线平行条件；一次函数系数意义
【点评】
本题是基础类考题，重点考查一次函数图象平行时的系数特征，解题时需特别注意区分“平行”和“重合”两种情况，避免遗漏$b$不相等的条件造成错选，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
