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18. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，四边形$OABC$的顶点是$O(0,0)$，$A(2,2)$，$B(4,2)$，$C(4,0)$，点$P$是$x$轴上一动点，连接$OB$，$AP$.
(1)求直线$OB$的解析式；
(2)若$∠ PAO=∠ AOB$，求点$P$的坐标；
(3)当点$P$在线段$OC$(点$P$不与点$C$重合)上运动时，设$PA$与线段$OB$相交于点$D$，以$DA$，$DC$为边作平行四边形$ADCE$，连接$BE$，求$BE$的最小值.
(1)求直线$OB$的解析式；
(2)若$∠ PAO=∠ AOB$，求点$P$的坐标；
(3)当点$P$在线段$OC$(点$P$不与点$C$重合)上运动时，设$PA$与线段$OB$相交于点$D$，以$DA$，$DC$为边作平行四边形$ADCE$，连接$BE$，求$BE$的最小值.
答案
18. (1) $y=\frac{1}{2}x$
(2) $(1,0)$或$(-2,0)$
(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2) $(1,0)$或$(-2,0)$
(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
(1) 直线OB过原点，可设解析式为正比例函数形式$y=kx$，代入B点坐标求出k值即可得到解析式。
(2) $∠ PAO=∠ AOB$分两种情况：一是AP平行于OB，利用内错角相等满足条件；二是P在x轴正半轴，此时AP与OB交点和O、A构成等腰三角形，两种情况分别计算即可，避免漏解。
(3) 利用平行四边形对角线互相平分的性质，推导得出E点的运动轨迹为固定直线，再通过二次函数求最值的方法计算B到轨迹上点的最小距离，即为BE的最小值。
【解析】
(1) 设直线OB的解析式为$y=kx$（$k≠0$），
将$B(4,2)$代入解析式得：$2=4k$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
∴直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
(2) 设点P的坐标为$(p,0)$，分两种情况讨论：
① 当点P在原点左侧时，若$AP// OB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ PAO=∠ AOB$。
已知直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$，设直线AP的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$，将$A(2,2)$代入得：
$2=\frac{1}{2}×2 + b$，解得$b=1$，
∴直线AP的解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$，令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x + 1$，解得$x=-2$，即$P(-2,0)$。
② 当点P在原点右侧时，设AP与OB交于点E，若$∠ PAO=∠ AOB$，则$△ OAE$为等腰三角形，$AE=OE$。
设点E坐标为$(m,\frac{1}{2}m)$，则$OE^2=m^2 + (\frac{1}{2}m)^2=\frac{5}{4}m^2$，
$AE^2=(m-2)^2 + (\frac{1}{2}m - 2)^2$，
由$AE=OE$得$AE^2=OE^2$，即：
$(m-2)^2 + (\frac{1}{2}m - 2)^2=\frac{5}{4}m^2$，
展开化简得：$-6m +8=0$，解得$m=\frac{4}{3}$，
∴E点坐标为$(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$，设直线AP的解析式为$y=kx + c$，代入$A(2,2)$和$E(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$得：
$\begin{cases}2=2k + c\\\frac{2}{3}=\frac{4}{3}k + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\c=-2\end{cases}$，
∴直线AP的解析式为$y=2x -2$，令$y=0$，得$0=2x -2$，解得$x=1$，即$P(1,0)$。
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(-2,0)$。
(3)
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴对角线AC、DE互相平分，即AC的中点与DE的中点重合。
已知$A(2,2)$，$C(4,0)$，
∴AC的中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{2+0}{2})=(3,1)$。
设点D在OB上，坐标为$(d,\frac{1}{2}d)$，点E坐标为$(x,y)$，
由中点坐标公式得：$\frac{d+x}{2}=3$，$\frac{\frac{1}{2}d + y}{2}=1$，
解得：$d=6-x$，代入第二个式子得$y=2-\frac{1}{2}d=2-\frac{1}{2}(6-x)=\frac{1}{2}x -1$，即点E在直线$y=\frac{1}{2}x -1$上运动。
则$BE^2=(x-4)^2 + (y-2)^2$，将$y=\frac{1}{2}x -1$代入得：
$BE^2=(x-4)^2 + (\frac{1}{2}x -3)^2$
$=x^2-8x+16 + \frac{1}{4}x^2 -3x +9$
$=\frac{5}{4}x^2 -11x +25$，
这是开口向上的二次函数，当$x=\frac{11}{2×\frac{5}{4}}=\frac{22}{5}$时，$BE^2$取得最小值$\frac{4}{5}$，
∴$BE$的最小值为$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x$
(2) $(1,0)$或$(-2,0)$
(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，考查分类讨论思想和动点轨迹的推导，需要熟练掌握一次函数、平行四边形的性质，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 直线OB过原点，可设解析式为正比例函数形式$y=kx$，代入B点坐标求出k值即可得到解析式。
(2) $∠ PAO=∠ AOB$分两种情况：一是AP平行于OB，利用内错角相等满足条件；二是P在x轴正半轴，此时AP与OB交点和O、A构成等腰三角形，两种情况分别计算即可，避免漏解。
(3) 利用平行四边形对角线互相平分的性质，推导得出E点的运动轨迹为固定直线，再通过二次函数求最值的方法计算B到轨迹上点的最小距离，即为BE的最小值。
【解析】
(1) 设直线OB的解析式为$y=kx$（$k≠0$），
将$B(4,2)$代入解析式得：$2=4k$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
∴直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
(2) 设点P的坐标为$(p,0)$，分两种情况讨论：
① 当点P在原点左侧时，若$AP// OB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ PAO=∠ AOB$。
已知直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$，设直线AP的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$，将$A(2,2)$代入得：
$2=\frac{1}{2}×2 + b$，解得$b=1$，
∴直线AP的解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$，令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x + 1$，解得$x=-2$，即$P(-2,0)$。
② 当点P在原点右侧时，设AP与OB交于点E，若$∠ PAO=∠ AOB$，则$△ OAE$为等腰三角形，$AE=OE$。
设点E坐标为$(m,\frac{1}{2}m)$，则$OE^2=m^2 + (\frac{1}{2}m)^2=\frac{5}{4}m^2$，
$AE^2=(m-2)^2 + (\frac{1}{2}m - 2)^2$，
由$AE=OE$得$AE^2=OE^2$，即：
$(m-2)^2 + (\frac{1}{2}m - 2)^2=\frac{5}{4}m^2$，
展开化简得：$-6m +8=0$，解得$m=\frac{4}{3}$，
∴E点坐标为$(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$，设直线AP的解析式为$y=kx + c$，代入$A(2,2)$和$E(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$得：
$\begin{cases}2=2k + c\\\frac{2}{3}=\frac{4}{3}k + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\c=-2\end{cases}$，
∴直线AP的解析式为$y=2x -2$，令$y=0$，得$0=2x -2$，解得$x=1$，即$P(1,0)$。
综上，点P的坐标为$(1,0)$或$(-2,0)$。
(3)
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴对角线AC、DE互相平分，即AC的中点与DE的中点重合。
已知$A(2,2)$，$C(4,0)$，
∴AC的中点坐标为$(\frac{2+4}{2},\frac{2+0}{2})=(3,1)$。
设点D在OB上，坐标为$(d,\frac{1}{2}d)$，点E坐标为$(x,y)$，
由中点坐标公式得：$\frac{d+x}{2}=3$，$\frac{\frac{1}{2}d + y}{2}=1$，
解得：$d=6-x$，代入第二个式子得$y=2-\frac{1}{2}d=2-\frac{1}{2}(6-x)=\frac{1}{2}x -1$，即点E在直线$y=\frac{1}{2}x -1$上运动。
则$BE^2=(x-4)^2 + (y-2)^2$，将$y=\frac{1}{2}x -1$代入得：
$BE^2=(x-4)^2 + (\frac{1}{2}x -3)^2$
$=x^2-8x+16 + \frac{1}{4}x^2 -3x +9$
$=\frac{5}{4}x^2 -11x +25$，
这是开口向上的二次函数，当$x=\frac{11}{2×\frac{5}{4}}=\frac{22}{5}$时，$BE^2$取得最小值$\frac{4}{5}$，
∴$BE$的最小值为$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x$
(2) $(1,0)$或$(-2,0)$
(3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，考查分类讨论思想和动点轨迹的推导，需要熟练掌握一次函数、平行四边形的性质，对逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
19. 如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点(不与B，C重合)，CM是外角∠DCN的平分线，点F在射线CM上.
(1)当∠CEF=∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论.
(2)若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式$CF=\sqrt{2}BE$. 设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积.
(1)当∠CEF=∠BAE时，判断AE与EF是否垂直，并证明结论.
(2)若在点E运动过程中，线段CF与BE始终满足关系式$CF=\sqrt{2}BE$. 设AF与CD的交点为G，△CEG的周长为a，求正方形ABCD的面积.
答案
19. (1) $AE⊥EF$；证明：因为四边形ABCD是正方形，所以$∠B=90°$，所以$∠BEA+∠BAE=90°$。因为$∠CEF=∠BAE$，所以$∠BEA+∠CEF=90°$，所以$∠AEF=90°$，即$AE⊥EF$。
(2) $\frac{1}{4}a^2$
(2) $\frac{1}{4}a^2$
解析
【分析】
(1) 要判断AE与EF是否垂直，即证明$∠ AEF=90°$。已知正方形ABCD中$∠ B=90°$，因此$Rt△ ABE$中$∠ BAE+∠ BEA=90°$，结合题给条件$∠ CEF=∠ BAE$，通过角的代换即可推出$∠ BEA+∠ CEF=90°$，进而得到$∠ AEF=90°$，得证垂直。
(2) 要求正方形的面积，需要先求出正方形的边长。首先根据CM是外角平分线，可得$∠ FCQ=45°$，结合$CF=\sqrt{2}BE$，可推出$CQ=FQ=BE$，进而证得$△ ABE≌△ EQF$，得到$AE=EF$，即$△ AEF$为等腰直角三角形。再通过旋转构造全等三角形，可证得$EG=BE+DG$，此时$△ CEG$的周长可转化为2倍正方形边长，结合周长为$a$即可求出边长，进而计算面积。
【解析】
(1) $AE⊥EF$，证明如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ B=90°$，
∴ 在$△ ABE$中，$∠ BEA + ∠ BAE = 90°$，
又
∵ $∠ CEF = ∠ BAE$，
∴ $∠ BEA + ∠ CEF = 90°$，
∴ $∠ AEF = 180° - (∠ BEA + ∠ CEF) = 90°$，
即 $AE⊥EF$。
(2) 解：过点F作$FQ⊥ BN$于点Q，
∵ CM平分正方形的外角$∠ DCN$，$∠ DCN=90°$，
∴ $∠ FCQ=45°$，即$△ FCQ$是等腰直角三角形，
∴ $CF=\sqrt{2} CQ=\sqrt{2} FQ$，
又
∵ $CF=\sqrt{2} BE$，
∴ $CQ=FQ=BE$。
设正方形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$，
∴ $EQ=EC+CQ=EC+BE=BC=x$，即$AB=EQ$，
由(1)知$∠ AEF=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ QEF$，
又
∵ $∠ B=∠ EQF=90°$，
∴ $△ ABE ≌ △ EQF$（ASA），
∴ $AE=EF$，即$△ AEF$是等腰直角三角形，$∠ EAF=45°$。
将$△ ADG$绕点A顺时针旋转$90°$，使AD与AB重合，得到$△ ABH$，
则$AH=AG$，$∠ HAB=∠ GAD$，$BH=DG$，
∵ $∠ BAD=90°$，$∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAE + ∠ GAD = 45°$，即$∠ HAE=∠ EAG=45°$，
又
∵ $AE=AE$，
∴ $△ AHE ≌ △ AGE$（SAS），
∴ $EG=EH=BE+BH=BE+DG$。
∵ $△ CEG$的周长为$a$，
∴ $CE+EG+CG = CE + BE + DG + CG = BC+CD = 2x=a$，
解得$x=\frac{a}{2}$，
∴ 正方形ABCD的面积为$x^2=(\frac{a}{2})^2=\frac{1}{4}a^2$。
【答案】
(1) $AE⊥EF$，证明见解析；
(2) $\boxed{\dfrac{1}{4}a^2}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于正方形综合题型，第一问基础，利用直角三角形两锐角互余和角的等量代换即可证明垂直；第二问需要结合角平分线性质构造全等三角形，通过旋转法转化线段关系，找到三角形周长和正方形边长的关联，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AE与EF是否垂直，即证明$∠ AEF=90°$。已知正方形ABCD中$∠ B=90°$，因此$Rt△ ABE$中$∠ BAE+∠ BEA=90°$，结合题给条件$∠ CEF=∠ BAE$，通过角的代换即可推出$∠ BEA+∠ CEF=90°$，进而得到$∠ AEF=90°$，得证垂直。
(2) 要求正方形的面积，需要先求出正方形的边长。首先根据CM是外角平分线，可得$∠ FCQ=45°$，结合$CF=\sqrt{2}BE$，可推出$CQ=FQ=BE$，进而证得$△ ABE≌△ EQF$，得到$AE=EF$，即$△ AEF$为等腰直角三角形。再通过旋转构造全等三角形，可证得$EG=BE+DG$，此时$△ CEG$的周长可转化为2倍正方形边长，结合周长为$a$即可求出边长，进而计算面积。
【解析】
(1) $AE⊥EF$，证明如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ B=90°$，
∴ 在$△ ABE$中，$∠ BEA + ∠ BAE = 90°$，
又
∵ $∠ CEF = ∠ BAE$，
∴ $∠ BEA + ∠ CEF = 90°$，
∴ $∠ AEF = 180° - (∠ BEA + ∠ CEF) = 90°$，
即 $AE⊥EF$。
(2) 解：过点F作$FQ⊥ BN$于点Q，
∵ CM平分正方形的外角$∠ DCN$，$∠ DCN=90°$，
∴ $∠ FCQ=45°$，即$△ FCQ$是等腰直角三角形，
∴ $CF=\sqrt{2} CQ=\sqrt{2} FQ$，
又
∵ $CF=\sqrt{2} BE$，
∴ $CQ=FQ=BE$。
设正方形ABCD的边长为$x$，则$AB=BC=x$，
∴ $EQ=EC+CQ=EC+BE=BC=x$，即$AB=EQ$，
由(1)知$∠ AEF=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ QEF$，
又
∵ $∠ B=∠ EQF=90°$，
∴ $△ ABE ≌ △ EQF$（ASA），
∴ $AE=EF$，即$△ AEF$是等腰直角三角形，$∠ EAF=45°$。
将$△ ADG$绕点A顺时针旋转$90°$，使AD与AB重合，得到$△ ABH$，
则$AH=AG$，$∠ HAB=∠ GAD$，$BH=DG$，
∵ $∠ BAD=90°$，$∠ EAF=45°$，
∴ $∠ BAE + ∠ GAD = 45°$，即$∠ HAE=∠ EAG=45°$，
又
∵ $AE=AE$，
∴ $△ AHE ≌ △ AGE$（SAS），
∴ $EG=EH=BE+BH=BE+DG$。
∵ $△ CEG$的周长为$a$，
∴ $CE+EG+CG = CE + BE + DG + CG = BC+CD = 2x=a$，
解得$x=\frac{a}{2}$，
∴ 正方形ABCD的面积为$x^2=(\frac{a}{2})^2=\frac{1}{4}a^2$。
【答案】
(1) $AE⊥EF$，证明见解析；
(2) $\boxed{\dfrac{1}{4}a^2}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于正方形综合题型，第一问基础，利用直角三角形两锐角互余和角的等量代换即可证明垂直；第二问需要结合角平分线性质构造全等三角形，通过旋转法转化线段关系，找到三角形周长和正方形边长的关联，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
